我们知道，当三角形的一个内角是直角时，它就是矩形。在本章中，我们将发展一种几何三角理论，使我们能够基于最少的数据来计算直角三角形的线段和角度的测量值。

故事

直角三角形的度量关系是数学中最古老的度量关系之一。公元前 1800 左右的巴比伦泥板，例如著名的 Plimpton 322，列出了满足 $a^2 = b^2 + c^2$ 的数字组，而 YBC 7289 泥板给出了 $\sqrt{2}$ 的极好近似值，即正方形边上 1 的对角线。然而，该定理的第一个已知证明是希腊语：它出现在欧几里得几何原本第一卷的命题47（大约公元前300），传统上将其归因于毕达哥拉斯学派。

萨摩斯岛的毕达哥拉斯（公元前 570–495），后来的艺术表现。
萨摩斯岛的毕达哥拉斯（公元前 570–495），后来的艺术表现。作者身份不明 · 维基共享资源 · 公共领域
几何原本的命题I.47的图形。虚线从$A$垂直于斜边延伸，将红色正方形分成两个矩形：欧几里得证明每个矩形都有一个较小正方形的面积，因此$a^2 = b^2 + c^2$。

来源： 巴比伦数学中的毕达哥拉斯定理 (MacTutor) · 毕达哥拉斯 (MacTutor) · 欧几里得，几何原本，第一本书，命题 47。

在日常生活中

  • 瓦工方格。 要检查两堵墙是否形成直角，请在一侧标记 3 m，在另一侧标记 4 m，并测量对角线：您必须给出 5 m。
  • 捷径。 沿对角线穿过 30 米 x 40 米的土地，路线为 50 米，而不是沿着两侧的 70 米。
  • 天线保持不动。 将高度为 $h$ 的塔连接到地面上距离底座 $d$ 的一点的电缆尺寸为 $\sqrt{h^2 + d^2}$。
瓦工方格：一面墙为 3 米，另一面墙为 4 米；如果对角线给出 5 m，则角是直的，因为 $3^2 + 4^2 = 5^2$。

理论

主要内容

对于三角形 $ABC$ 的元素，我们将使用通常的符号：

元素 符号
侧面 $\overline{AB}$, $\overline{BC}$, $\overline{AC}$
内角 $B\hat{A}C$, $A\hat{B}C$, $A\hat{C}B$
侧面测量 $a = BC$, $b = AC$, $c = AB$
角度测量 $\hat{A}$, $\hat{B}$, $\hat{C}$

每条边都有相对顶点的（小写）名称。每当我们处理直角三角形 $ABC$ 时，我们都会认为角度 $\hat{A}$ 的尺寸是 $90^\circ$。与直角相对的边 $\overline{BC}$ 是斜边；与直角相邻的边 $\overline{AB}$ 和 $\overline{AC}$ 是腿。为了简化语言，我们会说三角形有斜边 $a$ 和边 $b$ 和 $c$，从而混淆了边及其尺寸。

几何性质

让我们在 $A$ 处取一个直角三角形 $ABC$，并垂直于 $\overline{BC}$ 传导 $\overline{AD}$，在 $\overline{BC}$ 处传导 $D$。我们得到：

  • $\overline{AD}$，相对于斜边的高度（测量值$h$）；
  • $\overline{BD}$，腿 $\overline{AB}$ 到斜边的投影（测量值 $m$）；
  • $\overline{CD}$，边 $\overline{AC}$ 到斜边的投影（测量值 $n$）。

角度 $\hat{B}$ 和 $D\hat{A}C$ 相等（两者都是 $\hat{C}$ 的补角），$\hat{C} \equiv B\hat{A}D$ 也是如此。因此，三个三角形 $ABC$、$DBA$ 和 $DAC$ 相似，因为它们有两个全等的角。从这种相似性中得出度量关系。

Teorema直角三角形中的度量关系

  1. $c^2 = a \cdot m$ 和 $b^2 = a \cdot n$：每条边是斜边与其投影之间的几何平均值。
  2. $b \cdot c = a \cdot h$：腿的乘积等于斜边和相对于它的高度的乘积。
  3. $h^2 = m \cdot n$：相对于斜边的高度是它在斜边上确定的线段之间的几何平均值。
  4. 勾股定理： $a^2 = b^2 + c^2$。
查看演示

1) $\triangle ABC \sim \triangle DBA$ 给出 $\dfrac{a}{c} = \dfrac{c}{m}$，即 $c^2 = am$。 $\triangle ABC \sim \triangle DAC$ 给出 $\dfrac{a}{b} = \dfrac{b}{n}$，即 $b^2 = an$。

2) $\triangle ABC \sim \triangle DBA$ 还给出 $\dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{h}$，即 $bc = ah$。

3) $\triangle DBA \sim \triangle DAC$ 给出 $\dfrac{h}{n} = \dfrac{m}{h}$，即 $h^2 = mn$。

4) 将成员添加到成员(1)的两个关系：

$$b^2 + c^2 = an + am = a(n + m) = a \cdot a = a^2.$$

中位数相对于斜边

Teorema中线相对于斜边

在每个直角三角形中，相对于斜边的中位数测量斜边的一半。因此，每个直角三角形都可以内接于一个直径为斜边的圆。

查看演示

是 $M$, $N$ 和 $O$ 的中点 $\overline{AB}$, $\overline{AC}$ 和 $\overline{BC}$。由平均基定理， $\overline{OM} \parallel \overline{AC}$ 和 $\overline{ON} \parallel \overline{AB}$;作为 $\hat{A}$ 是直的，四边形 $AMON$ 是一个 长方形。长方形的对角线相等，所以

$$OA = MN = \frac{BC}{2}.$$

然后是$OA = OB = OC = \frac{a}{2}$，以$O$为圆心，以$\frac{a}{2}$为半径的圆经过三个顶点。

本节中的练习是[章节列表]中的编号321到330（/cn/posts/basic/trigonometria/livro/cap09-triangulos-retangulos/04-exercicios/).