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组合：不用列举也能计数

在巴西的 Mega-Sena 彩票中，你要从 60 个号码里选 6 个。一共有多少种不同的选法？要全部列出来得花上一辈子：超过五千万种。但我们可以不列举也能计数，帕斯卡就展示了怎么做。 不计顺序地选取 先从一个小例子开始：从 5 个人中选 2 个人组成委员会，有多少种选法？ 如果顺序有关系，第一个人有 $5$ 种选择，第二个人有 $4$ 种：$5\cdot4=20$。但在委员会里，“安娜和布鲁诺”与“布鲁诺和安娜”是一样的，每一对都被算了两次。所以委员会共有 $20/2=10$ 种。 一般地，从 $n$ 个东西中不计顺序地选出 $k$ 个，方法数是 $$\binom nk=\frac{n!}{k!\,(n-k)!},$$其中 $n!=n\cdot(n-1)\cdots2\cdot1$。读作“从 $n$ 中取 $k$ 的组合数”。对于那个委员会，$\binom52=\frac{120}{2\cdot6}=10$。 为什么它们就是三角形里的数 帕斯卡注意到，$\binom nk$ 恰好就是算术三角形中的数 $C(n,k)$。原因是同一条加法规则。 在这群人中挑出一个人，比如安娜。从 $n$ 个人中选出的每个 $k$ 人委员会，要么包含安娜，要么不包含。如果包含，就还要从其余 $n-1$ 人中选 $k-1$ 个；如果不包含，这 $k$ 个人就全部来自其余的 $n-1$ 人。所以 $$\binom nk=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k},$$这正是三角形的规则。两者的边上都是同样的 $1$，又遵守同样的规则，所以它们是同一张表。 Mega-Sena 现在大数目的计算就容易了： $$\binom{60}{6}=\frac{60\cdot59\cdot58\cdot57\cdot56\cdot55}{6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}=50\,063\,860.$$买一注的中奖机会是五千多万分之一。如果你每周买一注，平均要等将近一百万年才能中一次。 和的乘方 同样的推理解释了三角形的另一次出场。把 $$(a+b)^3=(a+b)(a+b)(a+b)$$乘开时，结果中的每一项都是从三个括号里各取 $a$ 或 $b$ 得到的。要得到 $a^2b$，必须恰好在三个括号中的一个里取 $b$：有 $\binom31=3$ 种取法。因此 $$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3,$$一般地， $$(a+b)^n=\sum_{k=0}^n\binom nk a^{n-k}b^k.$$取 $a=b=1$，左边就是 $2^n$：又是第 $n$ 行的和。这个公式适用于整数指数。十年后，牛顿发现了指数为分数时会怎样：见广义二项式。

October 8, 2026 阅读
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哈密顿力学

1788 年，拉格朗日把牛顿力学变成了一组在任何坐标下都成立的方程。哈密顿很欣赏这本书，称它为“一种科学的诗篇”。1834 年和 1835 年，他在两篇《论动力学中的一般方法》中把这一思想向前推进，把他从光线中学到的东西带进了力学。 位置与动量 拉格朗日用位置 $q$ 和速度 $\dot q$ 描述一个系统。哈密顿把速度换成了动量 $p$（对简单的粒子，就是质量乘以速度，$p = m\dot q$），并把一个单一的函数放在一切的中心，即哈密顿量 $H(q, p)$。在大多数情况下，它就是总能量，动能加势能： $$H = T + V.$$整个运动都来自两个几乎完全对称的方程： $$\frac{dq}{dt} = \frac{\partial H}{\partial p}, \qquad \frac{dp}{dt} = -\frac{\partial H}{\partial q}.$$弹簧 对一个连在劲度系数为 $k$ 的弹簧上的质量 $m$， $$H = \frac{p^2}{2m} + \frac{k q^2}{2}.$$哈密顿方程给出 $$\frac{dq}{dt} = \frac{p}{m}, \qquad \frac{dp}{dt} = -kq.$$第一个方程说动量是质量乘以速度；第二个是胡克定律，即弹簧的力。两者合起来给出 $m\ddot q = -kq$：熟悉的振动。又因为 $\frac{dH}{dt} = \frac{\partial H}{\partial q}\frac{dq}{dt} + \frac{\partial H}{\partial p}\frac{dp}{dt} = \frac{\partial H}{\partial q}\frac{\partial H}{\partial p} - \frac{\partial H}{\partial p}\frac{\partial H}{\partial q} = 0$，能量自动守恒。

October 27, 2026 阅读
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希尔伯特空间中的量子力学

1925 年和 1926 年，量子力学的两个版本几乎同时诞生。海森堡的版本使用无穷矩阵；薛定谔的版本使用一个波动方程。两者在实验中给出相同的结果，却像是在谈论不同的东西，而且物理学家们使用的一些技巧，比如狄拉克的 delta“函数”，在数学家看来是不可接受的。 在哥廷根，冯·诺依曼与希尔伯特合作，证明了二者是同一个理论在不同坐标下的写法，并用一种统一的语言重写了全部内容。1932 年出版的《量子力学的数学基础》至今仍是想要完全严格地了解这一理论的人的参考书。 态是向量 在冯·诺依曼的语言里，一个物理系统的态是希尔伯特空间中长度为 1 的向量。希尔伯特空间是带有内积的空间，就像平面或三维空间，但可以有无穷多维。举一个最简单的例子：一个测量时只能给出“上”或“下”两种结果的系统，它的态位于平面上： $$\psi = a\,\mathbf{e}_\uparrow + b\,\mathbf{e}_\downarrow, \qquad a^2 + b^2 = 1.$$把向量与实验室联系起来的规则由马克斯·玻恩提出、冯·诺依曼加以整理：每种结果的概率是对应分量的平方。取 $a = \frac35$，$b = \frac45$， $$P(\uparrow) = \left(\tfrac35\right)^2 = \tfrac{9}{25} = 36\%, \qquad P(\downarrow) = \left(\tfrac45\right)^2 = \tfrac{16}{25} = 64\%.$$条件 $a^2 + b^2 = 1$，即向量长度为 1，就是勾股定理在说：各个概率加起来等于 100%。 测量就是投影 测量之后，系统不再停留在 $\psi$：它转入与所得结果对应的态，$\mathbf{e}_\uparrow$ 或 $\mathbf{e}_\downarrow$。冯·诺依曼把这写成向量在某个轴上的投影，并把被测量的量，比如能量或位置，称为算子。测量可能得到的值就是这些算子的特征值。这是第一次完全用无穷维线性代数来描述实验室物理，冯·诺依曼也正是为此创造了今天研究生数学课程中讲授的大部分算子理论。 有漏洞的证明 在 1932 年的书中，冯·诺依曼给出了一个证明，说量子力学不能用“隐变量”，即可以让结果变得可预测的隐藏信息，来补全。作者的权威使这个证明被接受了几十年。1935 年，德国哲学家和数学家格蕾特·赫尔曼指出其中一条假设过强，但她的论文几乎无人阅读。直到 1966 年，物理学家约翰·贝尔重提这一批评，才使它为人所知。贝尔后来证明，某些隐变量理论确实不可能，但走的是另一条路，用的是另一些假设，并在此后几十年里经受了实验室的检验。 练习：把态归一化某个态正比于 $\mathbf{e}_\uparrow + \mathbf{e}_\downarrow$。把它写成长度为 1 的形式，并计算概率。 $(1, 1)$ 的长度是 $\sqrt{2}$，所以这个态是 $\psi = \frac{1}{\sqrt2}\mathbf{e}_\uparrow + \frac{1}{\sqrt2}\mathbf{e}_\downarrow$。每种结果的概率都是 $\left(\frac{1}{\sqrt2}\right)^2 = \frac12$：一枚公平的量子硬币。

October 26, 2026 阅读
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分子的速度：麦克斯韦分布

我最近一直在研究完全弹性球的运动和碰撞的一些问题，作为力学练习。 — 詹姆斯·克拉克·麦克斯韦致乔治·斯托克斯的信（1859 年 5 月 30 日） 一升空气里大约有 $2.5\times10^{22}$ 个分子，它们都在运动，每秒碰撞几十亿次。追踪每一个分子是不可能的。1859 年，麦克斯韦有了一个改变物理学的想法：不去问 每个 分子在做什么，而是问 有多大比例 的分子具有某个速度。这是第一次在物理定律中使用概率。他在 1859 年阿伯丁的一次会议上报告了这一结果，并于 1860 年发表。 对称性论证 麦克斯韦的推理简短而巧妙。把分子速度的 $x$ 分量的概率密度记为 $p(v_x)$，$y$ 和 $z$ 分量也一样。他做了两个假设： 三个分量相互独立。 知道 $v_x$ 对 $v_y$ 毫无影响。所以联合密度是乘积 $p(v_x)\,p(v_y)\,p(v_z)$。 没有哪个方向是特殊的。 联合密度只能取决于速度的大小 $v^2=v_x^2+v_y^2+v_z^2$，而与方向无关。 把两者结合起来，我们需要一个函数满足 $$p(v_x)\,p(v_y)\,p(v_z)=\Phi(v_x^2+v_y^2+v_z^2).$$乘积变成了 和 的函数：这正是指数函数的性质，$e^ae^be^c=e^{a+b+c}$。唯一合理的解是 $$p(v_x)=A\,e^{-\beta v_x^2},$$一条 钟形曲线，即高斯的正态曲线。常数 $\beta$ 取决于温度和分子质量；今天写作 $\beta=\frac{m}{2k_BT}$，其中 $k_B$ 是玻尔兹曼常数，$T$ 是绝对温度。 速率分布 钟形曲线对每个可正可负的分量都成立。那么 速率，即速度的大小 $v$ 呢？大小在 $v$ 与 $v+dv$ 之间的速度构成一个半径为 $v$、厚度为 $dv$ 的球壳，体积为 $4\pi v^2\,dv$。相乘得： $$\boxed{f(v)=4\pi\left(\frac m{2\pi k_BT}\right)^{3/2}v^2\,e^{-mv^2/(2k_BT)}.}$$这就是 麦克斯韦分布。因子 $v^2$ 使曲线从零开始：几乎没有分子是静止的。指数使曲线迅速下降：几乎没有分子非常快。中间有一个峰。

October 14, 2026 阅读
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狭义相对论：用光做的钟

如果我以速度 c（真空中的光速）追赶一束光，我应当看到这束光是一个在空间中振荡着的静止电磁场。可是，似乎并不存在这样的东西。 — 阿尔伯特·爱因斯坦，《自述》（1949） 16 岁时，在阿劳的中学里，爱因斯坦问了自己一个问题：如果我以同样的速度在一束光旁边奔跑，我会看到什么？按照牛顿的物理学，光看起来会是静止的，就像公路上与我们并排行驶的汽车。但 麦克斯韦 的方程不允许静止的光：在这些方程里，光总是以 $c\approx300\,000$ km/s 传播。总有一方错了。爱因斯坦花了十年才弄清是哪一方。 两条公设 1905 年 6 月，爱因斯坦把论文《论动体的电动力学》寄给了《物理学年鉴》。他从两条假设出发： 对所有做匀速运动的观察者，物理定律都相同。 在一列平稳行驶的火车里，在车厢内做的任何实验都无法判断火车是静止还是在运动。 对所有这些观察者，真空中的光速都相同，都是 $c$，不论光源或观察者如何运动。 第二条看似无害，其实令人震惊。如果你以 100 000 km/s 的速度追赶一束光，你测得那束光离你而去的速度仍然是 300 000 km/s。要让这成为可能，必须有什么东西让步。爱因斯坦证明，让步的是 时间。 光钟 设想一座钟，由两面相距 $L$ 的平行镜子构成，一个光脉冲在两镜之间来回反射。每往返一次就是一个"嘀嗒"。对站在钟旁边的人来说，一个嘀嗒持续 $$\Delta\tau=\frac{2L}{c}.$$现在把钟放进一列以速度 $v$ 从你身边驶过的火车。对站在站台上的你来说，光不是竖直地上下走：在光从一面镜子走到另一面镜子的过程中，火车向前开了，光走的是一条斜线，更长。 从站台上看光钟。光从下镜面走到上镜面时，钟前进了 v Δt/2。光走的是斜线 c Δt/2，比 L 长。Euler’s Eyes 绘图 如果你测得一个嘀嗒持续 $\Delta t$，那么在半个嘀嗒里，光走了 $c\frac{\Delta t}2$，火车走了 $v\frac{\Delta t}2$。高度仍是 $L$。由 毕达哥拉斯定理， $$\left(\frac{c\,\Delta t}2\right)^2=L^2+\left(\frac{v\,\Delta t}2\right)^2.$$因为 $L=\frac{c\,\Delta\tau}2$，代入并把各项除以 $\frac{c^2}4$： $$\Delta t^2=\Delta\tau^2+\frac{v^2}{c^2}\Delta t^2\quad\Longrightarrow\quad \Delta t^2\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)=\Delta\tau^2.$$于是得到 时间膨胀 公式：

October 11, 2026 阅读
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德·梅雷骑士的骰子与公平的分配

安托万·贡博自称德·梅雷骑士，是法国宫廷里的一位作家，也是一个狂热的赌徒。大约在 1654 年，他向帕斯卡提出了两个关于赌注的问题。帕斯卡觉得这两个问题非常好，就写信给皮埃尔·德·费马，概率论就从这些信中诞生了。 谈到这位朋友，帕斯卡对费马说： 他很有头脑，但不是几何学家；而您知道，这是一个很大的缺点。 — 布莱兹·帕斯卡，致费马的信（1654 年 7 月 29 日） 第一个问题：一个六点和两个六点 德·梅雷知道一种有利可图的赌法：把一颗骰子掷 4 次，赌至少出现一次六点。他赢的次数比输的多。 于是他推想：用两颗骰子时，同时出现两个六点比一颗骰子出现六点要少见 6 倍。为了弥补，只要多掷 6 倍就行：$4\cdot6=24$ 次。“两颗骰子掷 24 次，至少出现一次双六”这个赌法，应该和第一个一样好。 结果并非如此。德·梅雷输了钱，却不明白为什么。 正确的算法要从反面入手。一颗骰子不出六点的概率是 $\frac56$。独立地掷 4 次，一次六点都不出现的概率是 $\left(\frac56\right)^4$。所以 $$P(\text{4 次中至少一个六点})=1-\left(\frac56\right)^4=1-\frac{625}{1296}\approx0.518.$$两颗骰子共有 $36$ 种结果，其中只有一种是双六。掷一次不出现双六的概率是 $\frac{35}{36}$： $$P(\text{24 次中至少一个双六})=1-\left(\frac{35}{36}\right)^{24}\approx0.491.$$第一种赌法有 51.8% 的机会赢；第二种只有 49.1%。德·梅雷的比例法则看起来很合理，但概率不是这样相加的。掷 25 次时，机会才超过一半：$1-\left(\frac{35}{36}\right)^{25}\approx0.506$。 光靠赌能看出来吗？ 几乎不能。49.1% 和 50% 的差别太小了，要赌上几千次才能可靠地察觉。所以历史学家认为，德·梅雷怀疑的是算法，而不是自己的钱包：他认为都正确的两条规则给出了不同的答案，他想知道哪一条错了。 第二个问题：中断的赌局 两个玩家各押 32 枚皮斯托尔金币，共 64 枚。谁先赢 3 局，谁就拿走全部。比赛在 A 赢了 2 局、B 赢了 1 局时中断了。这 64 枚金币该怎样公平地分？ 费马的解法是数出所有可能的序列。帕斯卡的做法不同：他只看下一局。 如果 A 赢了下一局，他就达到 3 局，拿走全部 64 枚。 如果 B 赢了，比分变成 2 比 2，两人打平：每人应得 32 枚。 下一局两人赢的机会相同。所以不管发生什么，A 都稳拿 32 枚，另外 32 枚不确定，两人各有一半机会。帕斯卡的结论是 A 应该得到

October 8, 2026 阅读
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麦克斯韦方程组：从法拉第的力线到矢量

起初，看到这么强大的数学力量被施加在这个问题上，我几乎吓了一跳；后来我又惊讶地发现，这个问题竟然承受得这么好。 — 迈克尔·法拉第致麦克斯韦的信（1857 年 3 月 25 日） 1820 年以前，电和磁是两门不相干的学问。电会产生火花，让人头发竖起；磁让指南针指向北方。那一年，丹麦人汉斯·克里斯蒂安·奥斯特在哥本哈根大学的一堂课上把电池接到一根导线上，看到旁边的磁针动了。电流产生了磁。 法拉第的力线 迈克尔·法拉第（1791–1867），想象出力线的铁匠之子。作者不详，1850 年代 · Wikimedia Commons · 公有领域 在伦敦，铁匠的儿子迈克尔·法拉第——他 13 岁就离开学校去当装订学徒——把这一发现推进了一步。1821 年，他造出了第一台电动机：一根绕着磁铁转动的导线。1831 年，他发现了奥斯特效应的反面：一块在导线附近 运动 的磁铁会产生电流。这就是 电磁感应，所有电站发电机和自行车发电机的原理。 法拉第除了算术之外不懂数学。他思考时，想象磁铁和电荷周围的空间充满了 力线，就像铁屑在磁铁周围画出的线条那样。重要的是力线，而不是磁铁。数学家们认为这个想法很幼稚：在他们看来，力是超距作用的，就像牛顿的引力一样。 麦克斯韦认真对待法拉第的力线。1855 年，24 岁的他发表了《论法拉第的力线》，把图像翻译成了方程。1861 年和 1862 年，他在《论物理力线》中设想了一个空间的力学模型：旋转的流体管，管与管之间隔着像齿轮一样的小球。这个模型很奇特，但起到了脚手架的作用。借助它，麦克斯韦找到了 位移电流 和 波的速度。1865 年，在《电磁场的动力学理论》中，他拆掉了脚手架：只剩下方程，共 二十个，含二十个未知量，按分量一个个写出。 四元数还是矢量？ 二十个方程很难读。需要一种更好的记号，而且已经有一个候选者：爱尔兰人威廉·罗恩·哈密顿的 四元数，一种由四部分组成的数，$q=w+ai+bj+ck$。麦克斯韦的中学同学彼得·格思里·泰特是四元数的大力倡导者，在 1870 年至 1871 年两人的通信中，他试图说服麦克斯韦在《通论》里使用四元数。 麦克斯韦只接受了一半。他喜欢含三个分量的部分 $ai+bj+ck$，它能很好地表示有方向的量，比如磁场；但他看不出第四部分 $w$ 有什么物理意义。在《电磁通论》（1873）中，他把标量部分与矢量部分分开，并且只是适度地使用四元数。在 1871 年的一篇论文中，他为场的运算起了一些我们至今仍在使用的名字：curl，即旋度，衡量一个场绕某点旋转的程度；还有 convergence，衡量场向某点汇聚的程度，它与今天的散度正好相反。 《电磁通论》第一卷扉页（牛津，1873）。Wikimedia Commons · 公有领域 下一步是由两位自学成才的《通论》读者迈出的。英国人奥利弗·亥维赛，一位 16 岁辍学的电报员，和耶鲁大学的美国人约西亚·威拉德·吉布斯，抛弃了四元数，各自独立地创立了现代 矢量分析，包括点积和叉积。1884 年和 1885 年，亥维赛把麦克斯韦的二十个方程改写成了 四个。今天每本教科书里出现的都是这种形式。

October 14, 2026 阅读
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E = mc²：藏在质量里的能量

我又想到了电动力学论文的一个推论。相对性原理加上麦克斯韦方程，要求质量是物体所含能量的直接量度。这个想法既有趣又诱人；但我不知道上帝是不是正在笑话这件事，牵着我的鼻子走。 — 阿尔伯特·爱因斯坦致康拉德·哈比希特的信（1905 年夏） 1905 年 9 月，在相对论论文发表三个月后，爱因斯坦给《物理学年鉴》寄去一篇只有三页的补充，标题是一个问句：“物体的惯性取决于它所含的能量吗？“答案是肯定的，而结论——用文字和别的字母写出——就是物理学中最著名的公式： $$\boxed{E=mc^2.}$$简化的论证 爱因斯坦设想一个静止的物体，同时向相反方向发出两个相同的光脉冲，每个能量为 $\frac E2$。由于两个脉冲相互抵消，物体保持静止。到这里没什么奇怪：物体损失了能量 $E$。 现在让一个以很小速度 $v$ 经过的人来看同一场景。对这位观察者来说，物体前后都在以同一速度 $v$ 运动。但按照相对论，向前发出的光看起来能量稍大，向后发出的稍小，对于很小的 $v$，总共是 $$E\left(1+\frac{v^2}{2c^2}\right).$$对这位观察者来说，总能量也必须守恒。物体除了 $E$ 之外还多损失了 $E\frac{v^2}{2c^2}$，而这份损失只能来自它的运动能量 $\frac12mv^2$。既然速度没变，变的就是 质量： $$\frac12(\Delta m)\,v^2=E\,\frac{v^2}{2c^2}\quad\Longrightarrow\quad \Delta m=\frac{E}{c^2}.$$一个物体以任何形式损失能量 $E$，就损失质量 $\frac E{c^2}$。爱因斯坦的结论是：“物体的质量是它所含能量的量度”。质量就是储存起来的能量。 那是多少？ 数 $c^2$ 非常巨大：$(3\times10^8)^2=9\times10^{16}$ m²/s²。所以很小的质量对应着巨大的能量。仅仅一克： $$E=0.001\ \text{kg}\cdot9\times10^{16}\ \text{m}^2/\text{s}^2\approx9\times10^{13}\ \text{J}.$$这相当于约 2.1 万吨 TNT 的能量，比广岛原子弹还多，或者一座约 1 万人口的城镇一年的全部用电量。 反过来，日常的能量对应的质量小得可笑。把一升水从 20 °C 加热到 100 °C，水获得约 335 000 J，它的质量增加 $$\Delta m=\frac{335\,000}{9\times10^{16}}\approx3.7\times10^{-12}\ \text{kg},$$大约十亿分之四克。没有哪台秤能察觉。所以几个世纪以来，质量看起来是严格守恒的。 太阳与恒星 质量真正变成能量的地方，是原子核。在太阳中心，四个氢核聚变成一个氦核。但账算不平： $$4\times1.00783\ \text{u}=4.03130\ \text{u}\quad\text{对比}\quad\text{氦的}\ 4.00260\ \text{u}.$$少了 $0.0287$ u，约为质量的 0.7%。这部分消失的质量以能量 $\Delta m\,c^2$ 的形式释放出来，太阳就是因此发光的。太阳的辐射功率为 $3.8\times10^{26}$ 瓦；除以 $c^2$，它每秒损失

October 12, 2026 阅读
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帕斯卡计算器：用齿轮做加法

1640 年，艾蒂安·帕斯卡被任命为诺曼底的税务官。这份工作就是一直到深夜累加一列又一列的数字，17 岁的儿子布莱兹也来帮忙。更麻烦的是，当时法国的货币不是十进制的： $$1\ \text{里弗尔}=20\ \text{苏},\qquad 1\ \text{苏}=12\ \text{德尼耶}.$$把 $3$ 里弗尔 $15$ 苏 $8$ 德尼耶和 $2$ 里弗尔 $7$ 苏 $9$ 德尼耶相加，需要三种进位： 德尼耶：$8+9=17$，即 $1$ 苏 $5$ 德尼耶； 苏：$15+7+1=23$，即 $1$ 里弗尔 $3$ 苏； 里弗尔：$3+2+1=6$。 结果是 $6$ 里弗尔 $3$ 苏 $5$ 德尼耶。一晚上算一千次，你一定会出错。1642 年，布莱兹开始制造一台不会出错的机器。 会计数的轮子 帕斯卡计算器的原理很简单。数字的每一位都有一个轮子，上面标着 $0$ 到 $9$。要加 $7$，就把一支尖笔插进 $7$ 的孔里，转动轮子直到碰到挡块。数字会显示在一个小窗口里。 一台十进制的帕斯卡计算器，有六个轮子，收藏于巴黎工艺博物馆。用于算钱的型号还有 20 格和 12 格的轮子，分别用来计算苏和德尼耶。David Monniaux，2005 年 · Wikimedia Commons · CC BY-SA 3.0 难的是进位。当个位轮从 $9$ 转到 $0$ 时，十位轮必须自己前进一格。有时进位还会连续传递下去：

October 8, 2026 阅读
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位移电流：缺失的一项

麦克斯韦的四个方程中，有三个在他之前就以某种形式为人所知：高斯定律、磁场定律和法拉第定律。第四个，安培定律，也是已知的，但它是 不完整的。麦克斯韦给它加上的只是一项：$\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\mathbf E}{\partial t}$。看起来微不足道。正是这一项让电和磁变成了光。 安培定律 1826 年，法国人安德烈-马里·安培找到了电流与其周围磁场之间的规律。用今天的语言说：沿着导线周围的一条闭合路径，把磁场沿路径的分量加起来，结果与穿过以这条路径为边界的 任意 曲面的电流 $I$ 成正比： $$\oint\mathbf B\cdot d\boldsymbol\ell=\mu_0 I.$$“任意"这个词很重要。想一想捕蝶网的网圈：网可以短也可以长，但穿过网圈的导线也穿过网。穿过网的电流与网的形状无关。 打破规则的电容器 现在在电路里接一个 电容器：两块平行金属板，中间隔着空气或真空。电容器充电时，电流 $I$ 沿一根导线流到一块板上，另一股电流从另一块板流出。但两板之间没有电流：那里没有导线，只有空隙。 在电容器前面，绕导线取一条圆形路径。如果网是 平的，切过导线，穿过它的电流是 $I$。如果网是 长的，像一个口袋从两板之间穿过而不碰到导线，穿过它的电流就是 零。同一条路径，同一个磁场积分，两个不同的答案。在这种情况下，安培定律不可能是对的。 两板之间变化的东西 两板之间没有电荷通过，但有东西在变化：电场。当极板积累电荷 $Q$ 时，面积为 $A$ 的两板之间的电场增大： $$E=\frac{Q}{\varepsilon_0A}.$$穿过极板面积的电场通量为 $\Phi_E=EA=\frac Q{\varepsilon_0}$，它的变化率为 $$\varepsilon_0\frac{d\Phi_E}{dt}=\frac{dQ}{dt}=I.$$恰好等于导线中流来的电流！麦克斯韦提出，变化的电场就像电流一样起作用。他称之为 位移电流，$I_d=\varepsilon_0\frac{d\Phi_E}{dt}$，并把它加进安培定律： $$\boxed{\oint\mathbf B\cdot d\boldsymbol\ell=\mu_0\left(I+\varepsilon_0\frac{d\Phi_E}{dt}\right).}$$现在两张网的结果一致了。穿过平网的只有导线中的电流 $I$。穿过长网的没有电流，但有两板之间变化的电场，它贡献的量完全相同。 为什么叫"位移”？ 这个名字来自 1861 年的力学模型。麦克斯韦设想，即使在真空中也存在一种介质——以太，当电场变化时，其中的带电粒子会稍稍 位移，就像被拉伸的弹簧。这种微小的位移就是一种真实的电流。以太并不存在，迈克耳孙、莫雷和 爱因斯坦 后来证明了这一点，但这一项比模型活得更久：即使力学解释是错的，自然界仍然遵守这个方程。 电荷守恒 这一项必须存在还有另一个理由。在微分形式下，未经修正的安培定律是 $\nabla\times\mathbf B=\mu_0\mathbf J$。但旋度的散度总是零，所以它会迫使 $\nabla\cdot\mathbf J=0$：电流永远不能在任何地方积累，任何电容器都无法充电。加上麦克斯韦的一项， $$0=\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf B)=\mu_0\nabla\cdot\mathbf J+\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial}{\partial t}(\nabla\cdot\mathbf E).$$由高斯定律，$\nabla\cdot\mathbf E=\frac\rho{\varepsilon_0}$，剩下 $$\frac{\partial\rho}{\partial t}+\nabla\cdot\mathbf J=0.$$这就是 电荷守恒：一个区域里的电荷只有在电流流入时才会增加。麦克斯韦的修正正好是让方程组遵守这一原理所需要的。 自我维持的一项 位移电流有一个惊人的推论。由法拉第定律，变化的磁场产生电场。由修正后的安培定律，变化的电场产生磁场。于是两种场可以相互维持，一个产生另一个，完全不需要电荷和电流，并在真空中传播。这就是波。在 下一篇 中，我们来计算它的速度。 练习：一个电容器在 2 毫秒内积累了 6 微库电荷。两板之间的平均位移电流是多少？导线中的平均电流为 $\frac{\Delta Q}{\Delta t}=\frac{6\times10^{-6}}{2\times10^{-3}}=3\times10^{-3}$ A，即 3 mA。两板之间的平均位移电流也是 3 mA，尽管没有一个电子穿过两板之间的空间。

October 14, 2026 阅读
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广义相对论：从电梯到索布拉尔日食

我正坐在伯尔尼专利局的椅子上，突然想到：一个人如果自由下落，他就感觉不到自己的重量。我吃了一惊。这个简单的想法给我留下了深刻的印象，它推动我走向一种引力理论。 — 阿尔伯特·爱因斯坦，谈 1907 年的一个想法 1905 年的相对论有一个缺陷：它没有包括引力。牛顿定律说，太阳隔着 1.5 亿千米瞬间吸引地球；而相对论说，没有什么比光传得更快。爱因斯坦花了八年时间试图解决这个问题。出发点是他所说的"一生中最快乐的想法"。 下坠的电梯 设想你在一部缆绳断了的电梯里。你和电梯里的一切以相同的加速度一起下落。如果你松手放开一个苹果，它就飘在你面前。在电梯里，就好像没有引力一样。空间站上的宇航员时时刻刻都在体验这一点：他们飘浮不是因为远离地球，而是因为在绕着地球下落。 反过来也一样：在远离一切的太空中，一枚以 $9.8$ m/s² 加速的火箭里，你会感到双脚紧压着地板，和在地球上一模一样。在一个小舱室里做的任何实验，都无法区分引力和加速度。这就是 等效原理。 现在在加速的火箭里水平打开一支手电筒。在光穿过舱室的过程中，火箭向上运动，光到达对面舱壁的位置比出发点略低：在火箭里，光走的是一条曲线。既然引力与加速度无法区分，那么 引力也会使光弯曲。 引力就是几何 爱因斯坦把这个想法推到了极致：引力不是一种力，而是 空间和时间的形状。像太阳这样的大质量物体使周围的时空弯曲，自由下落的物体——包括光——只是沿着这个弯曲空间中尽可能直的线，即 测地线 运动。地球绕太阳转，不是因为被拉着，而是因为它在被太阳弯曲的空间里"走直线"。 要把这一点写出来，爱因斯坦需要弯曲空间的几何，那是 高斯 开创、黎曼推广的，而他并不熟悉。他请朋友马塞尔·格罗斯曼帮忙，经历了多年的尝试和失败。1915 年 11 月 25 日，他向普鲁士科学院提交了 场方程： $$G_{\mu\nu}=\frac{8\pi G}{c^4}\,T_{\mu\nu}.$$左边的 $G_{\mu\nu}$ 描述时空的 曲率；右边的 $T_{\mu\nu}$ 描述那里的 物质和能量。物理学家约翰·惠勒总结道：“物质告诉空间如何弯曲；空间告诉物质如何运动。” 这是十个相互交织的方程，解起来很难；但在弱场下，它们又回到了牛顿的引力。 第一个检验：水星 水星的轨道不是一个完全固定的椭圆：椭圆本身在缓慢地绕太阳转动。这种转动几乎全部可以用其他行星的吸引来解释，但还剩下 每世纪 43 角秒，牛顿物理学解释不了。有人提出在水星和太阳之间有一颗看不见的行星，叫作"火神星"。 1915 年 11 月，爱因斯坦用他的方程计算了这个效应，得到的恰好是每世纪 43 角秒。他写信告诉一位朋友，他好几天都"高兴得忘乎所以"，感到心跳加快。 第二个检验：偏折的光 对于掠过太阳的一束光，理论预言的偏折角为 $$\alpha=\frac{4GM_\odot}{R_\odot c^2}.$$取 $GM_\odot\approx1.327\times10^{20}$ m³/s²，太阳半径 $R_\odot\approx6.96\times10^8$ m， $$\alpha\approx\frac{4\cdot1.327\times10^{20}}{6.96\times10^8\cdot9\times10^{16}}\approx8.5\times10^{-6}\ \text{rad}\approx1.75''.$$这相当于从 3 千米外看一枚硬币的视大小。要测出它，就得拍摄出现在太阳旁边的恒星，再与几个月后夜里太阳移到天空别处时这些恒星的位置作比较。但太阳旁边的星星只有在 日全食 时才看得见。 英国考察队在塞阿拉州索布拉尔架设的望远镜，为 1919 年 5 月 29 日的日食做好了准备。Charles Davidson · Wikimedia Commons · 公有领域 索布拉尔，1919 年 5 月 29 日 1919 年 5 月 29 日的日食条件理想：太阳正好位于一群明亮的恒星——毕星团前面。全食带经过巴西北部和非洲沿岸。英国皇家天文学会派出两支考察队：阿瑟·爱丁顿去了几内亚湾的普林西比岛，安德鲁·克罗姆林和查尔斯·戴维森去了塞阿拉州的 索布拉尔。里约热内卢国家天文台的天文学家也在索布拉尔，研究日冕。

October 12, 2026 阅读
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神秘六边形：圆锥曲线上的六个点

1640 年 2 月，巴黎流传着一张只印了一面的纸，像一张告示，标题是《圆锥曲线论》。上面没有证明，只有定义、三个引理和一串结论。作者 16 岁，名叫布莱兹·帕斯卡。 梅森神父把这张纸拿给笛卡儿看，笛卡儿的反应是怀疑：他认为这个年轻人的东西全是从吉拉尔·德萨格那里学来的。德萨格是帕斯卡敬佩的建筑师和几何学家。德萨格的影响确实存在，帕斯卡本人也承认这一点。但这张纸上的核心结论是全新的。 圆锥曲线 用一个平面去截一个圆锥。根据倾斜的角度不同，截口的边缘会是椭圆、抛物线或双曲线；圆是椭圆的一种特殊情况。这些曲线统称圆锥曲线，从公元前 3 世纪的阿波罗尼奥斯起就有人研究。 德萨格有一个改变了这门学问的想法：把圆锥曲线看作圆的影子。用手电筒照一个圆，它投在墙上的影子可以是椭圆、抛物线或双曲线。所以，圆的某个性质如果只涉及点和直线，不涉及距离和角度的测量，那它在影子里也会保留下来，对所有圆锥曲线都成立。这就是射影几何的思想。 六边形定理 在一条圆锥曲线上按顺序标出六个点 $A,B,C,D,E,F$，把它们连成一个六边形。相对的边是 $AB$ 和 $DE$、$BC$ 和 $EF$、$CD$ 和 $FA$。把每一对延长，直到它们相交： $$P=AB\cap DE,\qquad Q=BC\cap EF,\qquad R=CD\cap FA.$$帕斯卡定理说：$P$、$Q$、$R$ 三点总在同一条直线上。 这六个点在曲线上可以按任意顺序排列，六边形甚至可以自己和自己相交。如果两条对边平行，它们就交于一个“无穷远点”，而那条直线就与它们平行。帕斯卡把这个图形叫作神秘六边形。 请启用 JavaScript 以使用这个交互图形。完整的推理见正文。 四百条推论 据梅森说，帕斯卡从这一条定理推出了大约四百条推论，其中包括阿波罗尼奥斯关于圆锥曲线的几乎全部成果。大约在 1654 年，他写成了一部完整的论著。1676 年，莱布尼茨在巴黎读到了这份手稿，认为写得极好，并建议帕斯卡的家人出版。可是没有人出版它，这部论著就这样失传了。 在抛物线上验证 我们用计算来检验这条定理。在抛物线 $y=x^2$ 上取横坐标为 $0,1,2,3,4,7$ 的六个点： $$A=(0,0),\ B=(1,1),\ C=(2,4),\ D=(3,9),\ E=(4,16),\ F=(7,49).$$先介绍一个捷径。经过抛物线上横坐标为 $u$ 和 $v$ 的两点的直线是 $$y=(u+v)x-uv.$$确实，在 $x=u$ 处它的值是 $u^2+uv-uv=u^2$，在 $x=v$ 处是 $v^2$。下面计算三个交点。 点 P。 $AB$ 的 $u=0,v=1$：$y=x$。$DE$ 的 $u=3,v=4$：$y=7x-12$。令两者相等，$x=7x-12$，所以 $x=2$，$P=(2,2)$。

October 8, 2026 阅读