以黎曼命名的这个函数，欧拉早先就研究过。对大于 1 的实数 $s$，级数 $$\zeta(s) = 1 + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{4^s} + \cdots = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}$$是收敛的。欧拉算出了它的好几个值，比如 $\zeta(2) = \frac{\pi^2}{6}$，也就是巴塞尔问题的答案。 欧拉乘积 欧拉最深刻的发现是在 1737 年：同一个函数可以写成对所有素数的乘积： $$\zeta(s) = \prod_{p \text{ 为素数}} \frac{1}{1 - p^{-s}} = \frac{1}{1 - 2^{-s}}\cdot\frac{1}{1 - 3^{-s}}\cdot\frac{1}{1 - 5^{-s}}\cdots$$原因在于唯一分解定理。每个因子都是一个等比级数：$\frac{1}{1 - 2^{-s}} = 1 + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{4^s} + \frac{1}{8^s} + \cdots$。把所有素数的因子乘起来再展开，每个整数 $n$ 恰好出现一次，作为它的各个素因子的幂的乘积。例如，$\frac{1}{12^s}$ 来自在 2 的因子中选 $\frac{1}{4^s}$、在 3 的因子中选 $\frac{1}{3^s}$。左边只谈整数，右边只谈素数。这个公式是连接二者的桥梁，欧拉正是用它给出了素数有无穷多个的新证明。 复变量 黎曼的博士论文研究的就是复变函数，他在 1859 年的论文中迈出了决定性的一步：让 $s$ 取复数，$s = \sigma + it$。只要实部 $\sigma$ 大于 1，级数仍然收敛，因为 $|n^{-s}| = n^{-\sigma}$。
素数看起来是随机出现的：2、3、5、7、11、13，然后空了一段到 17、19、23，又空一段到 29。但从远处看，它们遵循一个规律。把不超过 $x$ 的素数个数记作 $\pi(x)$。高斯还是少年时，查阅数表就注意到，在 $x$ 附近，素数的密度约为 $\frac{1}{\ln x}$，于是提出了估计 $$\pi(x) \approx \operatorname{li}(x) = \int_0^x \frac{dt}{\ln t},$$即对数积分。当时没有人知道怎样证明这个估计是好的，也没有人能解释其中的偏差。 一篇八页的论文 1859 年 11 月，黎曼当选柏林科学院院士时，提交了他唯一一篇数论论文：《论小于给定数值的素数个数》，只有八页。在这篇论文中，黎曼用 zeta 函数和欧拉乘积写出了素数计数的精确公式。 这个想法最简洁的形式用的是一种稍加修改的计数，黎曼记作 $f(x)$：每个素数计 1，每个素数的平方计 $\frac{1}{2}$，每个立方计 $\frac{1}{3}$，依此类推。黎曼的公式是 $$f(x) = \operatorname{li}(x) - \sum_{\rho}\operatorname{li}(x^{\rho}) - \ln 2 + \int_x^{\infty}\frac{dt}{t(t^2 - 1)\ln t},$$其中求和遍及 zeta 函数的非平凡零点 $\rho$。第一项是高斯的估计，最后两项很小。把光滑曲线 $\operatorname{li}(x)$ 与素数那不规则的阶梯区分开来的，正是对零点的求和。 零点的波 每个零点 $\rho = \frac{1}{2} + i\gamma$（假定黎曼猜想成立）贡献一个大小约为 $\frac{\sqrt{x}}{\ln x}$ 的振荡，以频率 $\gamma$ 起伏。零点就像一件乐器的音符：加进越来越多的零点，光滑曲线就不断弯折，直到一级一级地重现素数的阶梯。所以人们说，zeta 函数的零点蕴藏着“素数的音乐”。 把加权计数还原，黎曼得到了真正计数的一个近似，即函数 $$R(x) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\mu(n)}{n}\operatorname{li}\!\left(x^{1/n}\right) = \operatorname{li}(x) - \frac{1}{2}\operatorname{li}\!\left(\sqrt{x}\right) - \frac{1}{3}\operatorname{li}\!\left(\sqrt[3]{x}\right) - \cdots,$$其中 $\mu$ 是默比乌斯函数。它比 $\operatorname{li}(x)$ 好得多：
在 1859 年那篇关于素数的论文中间，黎曼几乎是顺带写了一句话。谈到一个与 zeta 函数相关的函数时（它的实根对应于 zeta 函数在临界线上的零点），他说： 所有的根很可能都是实的。当然，人们希望对此有一个严格的证明；不过，在几次匆匆的徒劳尝试之后，我暂时把寻找证明的事放在了一边，因为对于我研究的下一个目标来说，它似乎并不必要。 — 伯恩哈德·黎曼，《论小于给定数值的素数个数》（1859） 用现代语言来说，这句话就是黎曼猜想： zeta 函数的所有非平凡零点的实部都等于 $\frac{1}{2}$。 临界线 zeta 函数的平凡零点在负偶数处。其余的零点都位于 $0 < \sigma < 1$ 的带状区域内，并且由函数方程，它们关于直线 $\sigma = \frac{1}{2}$（即临界线）对称地出现。黎曼猜想说，它们全都恰好落在这条直线上。 在临界线上，$\zeta\left(\frac{1}{2} + it\right)$ 乘上一个模为 1 的因子后，就变成一个实函数 $Z(t)$，它在每个零点处变号。下图画出了 $t = 10$ 到 $t = 60$ 之间的 $Z(t)$： 请启用 JavaScript 以使用这个交互图形。完整的推理见正文。 最初的几个零点位于 $t \approx 14.135$、$21.022$、$25.011$、$30.425$、$32.935$……它们没有简单的规律，但越来越密：高度 $T$ 以下大约有 $\frac{T}{2\pi}\ln\frac{T}{2\pi e}$ 个零点。 黎曼的秘密计算 黎曼没有发表任何零点的计算。因此，几十年里人们以为“很可能”只是一句猜测。1932 年，卡尔·路德维希·西格尔查阅黎曼留在哥廷根的笔记，发现其中有一个计算临界线上 $\zeta$ 值的精巧渐近公式，黎曼曾用它找到了最初的几个零点。这个公式如今称为黎曼–西格尔公式，上面的图用的就是它，它至今仍是现代计算的基础。 已知的结果 1914 年，哈代证明临界线上有无穷多个零点。 1942 年，阿特勒·塞尔伯格证明其中正比例的零点在临界线上；1989 年，布赖恩·康里证明超过 40% 的零点在临界线上。 计算机已经验证了超过十万亿个零点：全都在临界线上。 这些都不是证明。素数理论中涉及的数如此巨大，一个反例可能远在任何计算所及的范围之外。