Hero Image
フェルマーの小定理：べきと余り

数 2 をどんどん大きなべきにしていきましょう。それぞれを 7 で割って、余りを書きとめます。 べき $2^1$ $2^2$ $2^3$ $2^4$ $2^5$ $2^6$ 値 2 4 8 16 32 64 7 で割った余り 2 4 1 2 4 1 $2^6$ で余りは 1 になります。今度は 3 と素数 5 で試しましょう。$3^4=81$ は 5 で割ると 1 余ります。10 と素数 13 では、$10^{12}=1\,000\,000\,000\,000$ も 13 で割ると 1 余ります。 偶然でしょうか？ いいえ。これがフェルマーの小定理です。 定理の内容 $p$ が素数で、$a$ が $p$ の倍数でない整数なら、$a^{p-1}$ を $p$ で割った余りは 1 である。1801 年にガウスが作った合同式の記号では、 $$a^{p-1}\equiv1\pmod p.$$「小」という名前は、最終定理と区別するためだけのものです。実際には、小定理のほうがずっと役に立ちます。 底 a： 素数 p： 235711131719232931 底と素数を選んでください。底が素数の倍数のときは、指数 p − 1 の形の前提が成り立ちません。 コントロールを使うには JavaScript を有効にしてください。例と証明は本文にもあります。

October 7, 2026 読んだ
Hero Image
フェルマー数：予想と反例

数学者たちはずっと、素数だけを生み出す公式を夢見てきました。1640 年、フェルマーはそれを見つけたと思いました。 5 つ続いた素数 フェルマーは次の形の数を調べました。 $$F_n=2^{2^n}+1.$$指数は 2 のべき、$1,2,4,8,16,\ldots$ です。最初のいくつかを計算すると、 $$F_0=3,\quad F_1=5,\quad F_2=17,\quad F_3=257,\quad F_4=65\,537.$$5 つとも素数です。$65\,537$ を手で確かめる（平方根まで割ってみる）だけでも、もう大変な作業でした。フェルマーはフレニクル・ド・ベシーへの手紙で、この形の数はすべて素数だと確信していると書きましたが、証明はないことも認めていました。 大きすぎる数 次の数は $$F_5=2^{32}+1=4\,294\,967\,297.$$10 桁の数です。素数かどうかを調べるには、17 世紀に手作業で約 6 万 5000 まで割ってみなければなりません。フェルマーはその計算をしませんでした。 ほぼ 100 年後の 1732 年、若きレオンハルト・オイラーが計算しました。そして見つけたのです。 $$4\,294\,967\,297=641\times6\,700\,417.$$フェルマーの予想はまちがっていました。すべての数についての主張は、反例が一つあれば崩れます。 なぜ 641 なのか オイラーはやみくもに割ってみたわけではありません。$F_5$ の約数は $64k+1$ という特別な形でなければならないことを知っていて、それで探す範囲が大きく狭まりました。この形の素数の候補の 5 番目が 641 です。 割り算をしないで割り切れることを確かめる、エレガントな方法もあります。641 は二通りに書けることに注目しましょう。 $$641=5\cdot2^7+1=5^4+2^4.$$641 を法として、一つ目の形から $5\cdot2^7$ の余りは $-1$。4 乗すると $5^4\cdot2^{28}$ の余りは $1$。二つ目の形から、$5^4$ の余りは $-2^4$ と同じ。入れ替えると、 $$-2^4\cdot2^{28}=-2^{32}\equiv1\pmod{641}.$$したがって $2^{32}+1$ の余りは 0、つまり 641 の倍数です。計算の全体はオイラーのシリーズにあります。 この対話型の図を使うには JavaScript を有効にしてください。議論の全体は本文にあります。 素数は今も 5 つだけ コンピュータによって、$F_5$ から $F_{32}$ までのフェルマー数はすべて合成数であることがわかっています。最初の 5 つ以外にフェルマー素数を見つけた人はいません。今では多くの数学者が、フェルマーの予想とは逆のこと、つまりフェルマー素数はこの 5 つしかないのではないかと考えています。

October 7, 2026 読んだ
Hero Image
ゼータ関数

リーマンの名がついたこの関数は、それ以前にオイラーが調べていた。1 より大きい実数 $s$ に対して、級数 $$\zeta(s) = 1 + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{4^s} + \cdots = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}$$は収束する。オイラーはその値をいくつも計算した。たとえばバーゼル問題の答え $\zeta(2) = \frac{\pi^2}{6}$ である。 オイラー積 オイラーのもっとも深い発見は 1737 年のもので、同じ関数が素数にわたる積として書けるということだった。 $$\zeta(s) = \prod_{p \text{ は素数}} \frac{1}{1 - p^{-s}} = \frac{1}{1 - 2^{-s}}\cdot\frac{1}{1 - 3^{-s}}\cdot\frac{1}{1 - 5^{-s}}\cdots$$理由は素因数分解の一意性である。各因子は等比級数で、$\frac{1}{1 - 2^{-s}} = 1 + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{4^s} + \frac{1}{8^s} + \cdots$ となる。すべての素数の因子を掛けて展開すると、どの整数 $n$ も、その素数のべきの積としてちょうど一回ずつ現れる。たとえば $\frac{1}{12^s}$ は、2 の因子から $\frac{1}{4^s}$ を、3 の因子から $\frac{1}{3^s}$ を選んだものである。左辺は整数のことだけを、右辺は素数のことだけを語っている。この公式は両者をつなぐ橋であり、オイラーはこれを使って素数が無限にあることの新しい証明を与えた。 複素変数 博士論文を複素関数にささげたリーマンは、1859 年の論文で決定的な一歩を踏み出した。$s$ を複素数 $s = \sigma + it$ にしたのである。実部 $\sigma$ が 1 より大きければ、$|n^{-s}| = n^{-\sigma}$ なので級数はやはり収束する。

October 31, 2026 読んだ
Hero Image
素数を数える

素数はでたらめに現れるように見える。2、3、5、7、11、13、それから 17、19、23 まで間があき、29 までまた間があく。しかし遠くから眺めると、素数はある規則に従っている。$x$ 以下の素数の個数を $\pi(x)$ と書こう。まだ十代だったガウスは表を見ながら、数 $x$ の近くでは素数の密度がおよそ $\frac{1}{\ln x}$ であることに気づき、次の見積もりを提案した。 $$\pi(x) \approx \operatorname{li}(x) = \int_0^x \frac{dt}{\ln t}.$$これが対数積分である。それがよい見積もりであることを証明する方法も、ずれを説明する方法も、誰も知らなかった。 八ページの論文 1859 年 11 月、ベルリン・アカデミーの会員に選ばれたリーマンは、数論についてのただ一つの論文『与えられた数より小さい素数の個数について』を送った。わずか八ページである。そのなかでリーマンは、ゼータ関数とオイラー積を使って、素数の個数の正確な公式を書いた。 この考えのいちばんすっきりした形では、リーマンが $f(x)$ と呼んだ少し修正した数え方を使う。素数は重み 1、素数の平方は重み $\frac{1}{2}$、立方は重み $\frac{1}{3}$、以下同様に数えるのである。リーマンの公式は $$f(x) = \operatorname{li}(x) - \sum_{\rho}\operatorname{li}(x^{\rho}) - \ln 2 + \int_x^{\infty}\frac{dt}{t(t^2 - 1)\ln t}$$と述べる。ここで和はゼータ関数の非自明な零点 $\rho$ すべてにわたる。第一項がガウスの見積もりで、最後の二項は小さい。なめらかな曲線 $\operatorname{li}(x)$ と素数のでこぼこした階段とを隔てているのは、零点にわたる和なのである。 零点の波 各零点 $\rho = \frac{1}{2} + i\gamma$（リーマン予想を仮定する）は、大きさがおよそ $\frac{\sqrt{x}}{\ln x}$ で、振動数 $\gamma$ で波打つ振動を寄与する。零点は楽器の音のようにはたらく。それをどんどん足していくと、なめらかな曲線が折れ曲がり、ついには素数の階段を一段ずつ再現する。ゼータの零点は「素数の音楽」を秘めているといわれるのはこのためである。 重みつきの数え方をもとにもどして、リーマンは本当の個数の近似として次の関数を得た。 $$R(x) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\mu(n)}{n}\operatorname{li}\!\left(x^{1/n}\right) = \operatorname{li}(x) - \frac{1}{2}\operatorname{li}\!\left(\sqrt{x}\right) - \frac{1}{3}\operatorname{li}\!\left(\sqrt[3]{x}\right) - \cdots.$$ここで $\mu$ はメビウス関数である。これは $\operatorname{li}(x)$ よりずっとよい。

October 31, 2026 読んだ
Hero Image
リーマン予想

1859 年の素数についての論文のなかほどで、リーマンはほとんどついでのように一文を書いている。ゼータに関係するある関数、その実根がゼータの臨界線上の零点に対応する関数について、彼はこう述べる。 すべての根が実数である可能性はきわめて高い。もちろん、その厳密な証明が望まれる。しかし私は、何度か手早く試みてうまくいかなかったので、その探求はひとまずわきに置いた。私の研究の次の目的にとっては、それは必要ないように思われたからである。 — ベルンハルト・リーマン『与えられた数より小さい素数の個数について』（1859） 現代の言葉では、この一文がリーマン予想である。 ゼータ関数の非自明な零点はすべて、実部が $\frac{1}{2}$ に等しい。 臨界線 ゼータの自明な零点は負の偶数にある。それ以外の零点はすべて帯 $0 < \sigma < 1$ のなかにあり、関数等式により、直線 $\sigma = \frac{1}{2}$、すなわち臨界線について対称に現れる。予想は、それらがすべてちょうどこの直線の上にあるというのである。 臨界線の上では、$\zeta\left(\frac{1}{2} + it\right)$ に絶対値 1 の因子を掛けると実数値の関数 $Z(t)$ になり、各零点で符号を変える。グラフは $t = 10$ から $t = 60$ までの $Z(t)$ を示している。 この対話型の図を使うには JavaScript を有効にしてください。議論の全体は本文にあります。 最初の零点は $t \approx 14.135$、$21.022$、$25.011$、$30.425$、$32.935$… にある。簡単な規則には従わないが、しだいに密になる。高さ $T$ までにおよそ $\frac{T}{2\pi}\ln\frac{T}{2\pi e}$ 個の零点がある。 リーマンの秘密の計算 リーマンは零点の計算をまったく発表しなかった。そのため何十年ものあいだ、「可能性がきわめて高い」という言葉は当て推量だと考えられていた。1932 年、カール・ルートヴィヒ・ジーゲルはリーマンがゲッティンゲンに残したメモを調べ、そこに臨界線上の $\zeta$ を計算する精巧な漸近公式を見つけた。リーマンはそれを使って最初の零点を見つけていたのである。いまリーマン＝ジーゲルの公式と呼ばれるこの式は、上の図でも使われており、現代の計算の基礎でありつづけている。 わかっていること 1914 年、G. H. ハーディは、臨界線上に無限に多くの零点があることを証明した。 1942 年、アトル・セルバーグは零点のうち正の割合が臨界線上にあることを示し、1989 年、ブライアン・コンリーは 40% 以上がそうであることを示した。 コンピュータはすでに十兆個を超える零点を確かめており、そのすべてが臨界線上にある。 どれも証明ではない。素数の理論に出てくる数はあまりに大きく、反例がどんな計算の届く範囲よりもはるか先にあるかもしれないのである。

October 31, 2026 読んだ
Hero Image
素数

エラトステネスと数字のふるい エラトステネスは紀元前 3 世紀に生き、いとこを見つける方法であるふるいで記憶されています。合成数を除去し、素数を表示したままにするふるいを考えてください。 あなたが調査する番です: 2 から 20 までの数字を書きます。 2 を保持し、それより大きい倍数を取り消し線で消します。次に、3 についても同じ操作を行います。どのような数字があるでしょうか? セント アンドリュース大学の MacTutor に関する史料を発見してください。 発見をチェックしてください 2、3、5、7、11、13、17、19です。 20 までに、これらの 2 つのステップで化合物はすでに除去されています。 1 は入力されません。正の約数のみが含まれます。 この記事では素数についてお話します。これを行うには、自然数または合成数の倍数の概念を使用します。紀元前のギリシャ人はエラトステネスの篩を通して素数理論を研究しました。 数学 Web サイトの構築にご協力ください。できる限り寄付してください。 メルカド・パゴ経由で寄付。 PagSegura 経由で寄付。 レクタングルズ・ラボラトリー 12 オブジェクトを選択し、1、2、3、4、5、および 6 行を試します。どのような選択肢が残されるのか 同じ番号の行は何ですか？次に、13 を調べます。何が変わるのでしょうか? オブジェクトと行を変更します。ディバイダーを使用すると、余りのない等しい行を形成できます。 このインタラクティブな図形を表示するには、JavaScriptを有効にしてください。 調査をチェックしてください 12 の約数は、1、2、3、4、6、12 です。 13 には正の約数として 1 と 13 のみがあり、素数です。制御は 12 行まで行われます。調査を完了するには、それぞれ 1 つのオブジェクトを含む 13 行を描画します。

July 10, 2022 読んだ