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“功能”这个词

该词源自拉丁语 functus，动词 fungor 的分词：完成任务、锻炼 一项活动。该函数是将一个数字转换为另一个数字的“工作”。已经失效 是指不再执行任何职能的人，因此用词已失效。 函数的莱布尼茨符号，来自给约翰·伯努利的信。欧拉眼睛收藏；去除背景并提高清晰度 这个名字和符号花了一个多世纪才确立： 1637笛卡尔，在几何中，通过$x$和$y$之间的方程描述曲线。 1667James Gregory 将数量称为通过运算从其他人获得的数量 (Vera Circuli et Hyperbolae Quadratura)。 1671牛顿调用不同流态的量（Methodus Fluxionum，仅在1736中发布）。 1673Leibniz 首次在手稿中使用了functio 这个词。 1698在 Leibniz 和 Johann Bernoulli 之间的信件中，该术语具有当今的数学含义。 1718Johann Bernoulli 给出了第一个定义：由变量和常量以任何方式组成的量。 1734Euler 创建符号 $f(x)$：“f(x) 表示 x 的任何函数”。 1748Euler，在Introductio 中，将函数置于计算的中心。 1797拉格朗日使用 $f'(x)$ 作为导数（Théorie des fonctions analytiques）。 1837Dirichlet 将函数定义为将每个 $x$ 与单个 $y$ 相关联的任何规则。 勒内·笛卡尔的所有主题 · ←笛卡尔和大炮问题 · Physis：破译自然的特征 → 图片来源和来源.

September 30, 2026 阅读
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*Physis*：解读自然特征

宇宙中任何事情的发生都存在某种最大或最小的规则。 — 莱昂哈德·欧拉，1744 对于莱布尼茨和欧拉来说，自然是以尽可能最好的方式创造的，因此遵循规则。在我们的 语言：创作者的推理（方法）在于自然（物理）的特征（graphiko’s），并且 由我们来破译它们（máthema）。相同的图画出现在最不同的地方： 犰狳甲壳：六角形板。欧拉之眼系列 地壳：熔岩冷却时形成的六边形玄武岩柱。欧拉之眼系列 榫头：又是六角形图案。欧拉之眼系列 鹦鹉螺壳：对数螺旋。欧拉之眼系列 蛋：椭圆曲线像弧线一样分布压力。欧拉之眼系列 海星：五边形对称。欧拉之眼系列 为什么有这么多六边形？ 只有三种正多边形覆盖平面而不留孔：三角形、正方形和六边形。 其中，六边形是包围面积最大且边界最少的一种。这是最经济的分割方式 空间等分，这就是数学家 Thomas Hales 在 1999 中证明的。 鹦鹉螺螺旋与笛卡尔有直接联系：他是第一个描述它的人，在 1638 写给梅森的信。它总是以相同的速度生长，这就是为什么壳会改变大小 不改变形状： 笛卡尔的等角螺旋线。改变每圈的增长：与辐条的角度在整个转弯过程中保持不变。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa. 勒内·笛卡尔的所有主题 · ← “函数”这个词 · 无穷大和除以零 → 图片来源和来源.

September 30, 2026 阅读
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无穷大和除以零

修士兼数学家Marin Mersenne是笛卡尔的好朋友。是通过信件 梅森认为笛卡尔与包括费马在内的欧洲智者进行了交谈。在下一代， 英国人 John Wallis 在 1655 中创建了表示无穷大的符号 $\infty$。 Marin Mersenne（1588–1648），笛卡尔的朋友和通信伙伴。Claude Duflos 雕版，法国国家图书馆——公有领域。 John Wallis（1616–1703），∞ 符号的创造者。David Loggan 于 1678 年创作的版画，Wellcome Collection，CC BY 4.0。 在学校我们学到了准则，即一条规则：你永远不会被零除。但这几乎从未被解释过 为什么。让我们建立这个想法，逐渐减少除数： $$\begin{aligned} \frac{1}{0{,}1} &= 10 \\ \frac{1}{0{,}01} &= 100 \\ \frac{1}{0{,}001} &= 1\,000 \\ \frac{1}{0{,}0001} &= 10\,000 \\ \frac{1}{0{,}00001} &= 100\,000 \end{aligned}$$ 除数越接近零，结果就越高，不停歇。我们说限制是无限的： $$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty \qquad\qquad \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty.$$ 右边，结果增加到$+\infty$；在左侧，向下转到 $-\infty$。没有一个 可能是 $1 \div 0$ 结果的数字，因此未定义除以零。

September 30, 2026 阅读
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其他贡献和遗产

其他贡献 笛卡尔的漩涡：对他来说，行星被每颗恒星周围的物质漩涡所拖曳。勒内·笛卡尔，哲学原理·公共领域 **光学：**除了折射定律之外，他还研究了镜片的理想形状，即应该具有轮廓 椭圆或双曲线将光线聚焦在一点上。 **笛卡尔的作品集：**曲线 $x^3 + y^3 = 3axy$，他提出该曲线是对费马的挑战 找到切线。 **物理学：**制定了惯性原理的一个版本，即运动中的物体继续运动 如果没有任何障碍，请直线。 **哲学：沉思和哲学原理使其成为 现代哲学。 要记住 笛卡尔生活在法国、荷兰和瑞典之间，并用法语写了方法论 供大家阅读。 他创建了解析几何：点变成了对 $(x, y)$，图形变成了方程。 他展示了如何用尺子和圆规构造 $\sqrt{a}$，并固定了符号 $x$、$y$、$z$ 和 $x^3$。 符号规则告诉我们多项式可以有多少个正根。 多面体的顶点缺陷之和为720°，由此得出公式$V - A + F = 2$。 他解释了彩虹：光线从太阳对面的点开始在 42° 处聚集。 随之而来的是函数的想法：一种“听”一个数字并“说”另一个数字的规则。这个词出自 拉丁文functus，符号$f(x)$是欧拉(1734)。 不存在 $1 \div 0$：接近于零，$\frac{1}{x}$ 一侧跑向 $+\infty$，另一侧跑向 $-\infty$。 勒内·笛卡尔的所有主题 · ← 无穷大和除以零 · 图片来源 → 图片来源和来源.

September 30, 2026 阅读
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图片来源

图片来自维基共享资源，全部属于公共领域： 笛卡尔的肖像：弗兰斯·哈尔斯。 方法论, 1637. 波西米亚的伊丽莎白公主：杰拉德·范·洪霍斯特。 笛卡尔和克里斯蒂娜女王：尼尔斯·福斯伯格，根据皮埃尔·路易斯·杜梅尼尔的说法。 页 几何学 e 第一本书 几何学：勒内·笛卡尔，1637。 彩虹图：勒内·笛卡尔， 流星, 1637. 漩涡：勒内·笛卡尔， 哲学原理. “笛卡尔和函数思想”部分中的图像来自欧拉之眼收藏。数字 为该网站制作了互动内容。 勒内·笛卡尔的所有主题 · ← 其他贡献和遗产

October 1, 2026 阅读
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ITA 2026 – 第二阶段：数学题详解

来源： ITA ——第二阶段数学试卷。 文件见 ITA 历年试题页面。 ITA 2026 第二阶段数学试卷共有 10 道解答题。ITA 不公布解答题的官方解答（第二阶段的官方 答案只涉及葡萄牙语选择题）；下面的解答由我们完成，每个答案都用第二种方法（代入、另一个 公式或计算机）核对过。 答案一览 题号 内容 答案 01 八面体中的整点 231 02 三角矩阵的幂 $n = 15$ 03 平行四边形与内切圆 30 04 靶子的红色面积 $\pi(\alpha^2 + 32\alpha + 528)$ 05 大球中的四个小球 $\frac{22 + 9\sqrt{6}}{16}$ 06 三角矩阵（题目自相矛盾） 见说明 07 四次多项式与余式 $-1$、$\frac{1}{2}$、$1 \pm 2i$ 08 和为 100 的递增三元组 784 09 过一点作双曲线的切线 $y = \pm 2\sqrt{6}\,x - 8$；$(\pm\sqrt{6}, 4)$ 10 相交的圆与公共面积 半径 $2\sqrt{3}$ 和 $6$；面积 $10\pi - 12\sqrt{3}$ 第 01 题：八面体中的整点 题目 考虑以原点为中心的正八面体，它的三个顶点为 $(5, 0, 0)$、$(0, 5, 0)$、$(0, 0, 5)$。这个立体的 内部和表面上有多少个坐标全为整数的点？

October 28, 2026 阅读
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ITA 2026 – 第一阶段：数学题详解

来源： ITA ——第一阶段试卷 和官方答案。文件见 ITA 历年试题页面。 ITA 2026 第一阶段共有 48 道选择题：数学 12 道、物理 12 道、化学 12 道、英语 12 道。 本文收录其中的数学题，题号沿用试卷的 1 至 12。 试卷约定。 $i^2 = -1$；$\bar{z}$ 为 $z$ 的共轭；$]a, b[$ 为开区间 $a < x < b$。 答案一览 题号 内容 答案 1 复数：模与辐角 D 2 对数：用近似值解方程组 B 3 矩阵：对称、等差数列与奇异性 E 4 复数：解构成的多边形 C 5 平面几何：六角星 D 6 空间位置关系 作废 7 旋转矩阵 A 8 多项式：关于一点对称 B 9 抛物线、切线与面积 D 10 三角方程组 E 11 双射计数 A 12 半径成等比数列的相切圆 B 第 1 题：z − w 为实数，w 的辐角为 π/6 题目 设 $z, w \in \mathbb{C}$，$z - w = -2\sqrt{3}$ 且 $w \ne 0$。若 $z$ 的模为 $2\sqrt{3}$，$w$ 的辐角为 $\pi/6$，则 $z$ 的实部等于

October 28, 2026 阅读
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ITA 2024 – 第二阶段：数学题详解

来源： ITA ——第二阶段数学试卷。 文件见 ITA 历年试题页面。 ITA 2024 第二阶段数学试卷共有 10 道解答题。ITA 不公布第二阶段的官方解答；下面的解答 由我们完成，每个答案都用第二种方法（代入、另一个公式或计算机）核对过。 答案一览 题号 内容 答案 1 等差数列与等比数列 $n = 4$ 2 走过所有桥的路线（欧拉路径） 32（每个方向 16） 3 含对数绝对值的不等式 $-4 < x < -\frac14$ 或 $\frac14 < x < 4$ 4 正定矩阵 $-1 < b < 1$ 5 关于 $x = 1$ 对称的多项式 $1 \pm \sqrt{3}$ 和 $1 \pm i\sqrt{6}$ 6 立体内最长的线段 $\frac{4\sqrt{161}}{5}$ 7 与 $y$ 轴相切的圆 $(x - 4 - \sqrt{6})^2 + (y - 3 + \sqrt{6})^2 = (4 + \sqrt{6})^2$ 8 顶点在抛物线上的梯形 $\frac{483}{64}$ 9 复数根与面积 $4\sqrt{5}$ 10 半角的正切 $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$、$\frac{\sqrt{5}}{5}$ 和 $\frac{5 - \sqrt{5}}{10}$ 第 1 题：等比数列前几项之和为 −80？ 题目 设 $(a_n)$ 是等差数列，$(b_n)$ 是等比数列。若 $(a_n)$ 的公差为 $r$（$r \ne 0$），$(b_n)$ 的公比为 $q = 1/r$，$a_1 = b_1 = 4$，且

October 28, 2026 阅读
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ITA 2024 – 第一阶段：数学题详解

来源： ITA ——第一阶段试卷 和官方答案。文件见 ITA 历年试题页面。 ITA 2024 第一阶段共有 60 道选择题，每科 12 道（物理、葡萄牙语、英语、数学、化学）。 本文收录其中的数学题，题号沿用试卷的 37 至 48。 试卷约定。 $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}$；$A - B$ 为集合 $A$ 与 $B$ 的差集；$i^2 = -1$； $M_n(\mathbb{R})$ 为 $n \times n$ 实矩阵的集合；$\overline{AB}$ 为线段，$AB$ 为过 $A$、$B$ 的直线； $m(\overline{AB})$ 为 $\overline{AB}$ 的长度；$A\hat{B}C$ 为以 $B$ 为顶点的角；$\det A$ 为行列式， $A^T$ 为 $A$ 的转置。 答案一览 题号 内容 答案 37 集合运算 B 38 矩阵方程组 E 39 含反正切的二倍角 A 40 计数：抽屉原理 B 41 多项式：120 个多项式的根之和 D 42 成等比数列的根 C 43 圆柱与等比数列 E 44 多面体：欧拉公式 D 45 平面几何：四边形的面积 C 46 复数：$a^m = b^m$ D 47 解析几何：外角平分线 A 48 包含一个圆的椭圆 C 第 37 题：三个集合恒等式 题目 设 $A, B, C \subseteq \mathbb{R}$，且 $C \subseteq A$。考虑以下命题：

October 28, 2026 阅读
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ITA 2022 – 第二阶段：数学题详解

来源： ITA ——第二阶段数学试卷。 文件见 ITA 历年试题页面。 ITA 2022 第二阶段数学试卷共有 10 道解答题。ITA 不公布第二阶段的官方解答；下面的解答 由我们完成，每个答案都用第二种方法（代入、另一个公式或数值计算）核对过。 记号约定与第一阶段相同：$i^2 = -1$，$m(\overline{AB})$ 为线段 $\overline{AB}$ 的长度， $A\hat{O}B$ 为以 $O$ 为顶点的角。 答案一览 题号 内容 答案 1 多项式：矩形的周长 $a = \frac{164}{125}$，$b = \frac{336}{125}$ 2 复数：虚部为零 $z = -\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{3}}{2}i$ 3 递推定义的矩阵 725 4 计数：井字棋 120 5 反三角函数 $\frac{\pi}{4}$ 和 $\frac{3\pi}{4}$ 6 解析几何：直线夹角与距离 $Q = \left(-\frac{4}{5}, \frac{6}{5}\right)$ 7 立体几何：正六棱台 $112 + \frac{224\sqrt{3}}{3}$ 8 圆内接四边形：外接圆半径 $r = \frac{7\sqrt{3}}{3}$ 9 有公共水平切线的三个圆 $\left\{\left(1, \frac{21}{4}\right)\right\}$ 10 依次内接的正八面体与立方体 $\frac{l_{10}}{l_1} = \frac{1}{3^9}$ 第 1 题：周长为 8 的矩形的边长 题目 设 $x \in \mathbb{R}$。矩形 $R$ 的两边长为 $a = 9x^2 - 5x^4$ 和 $b = 8x - 8x^3$。 已知 $R$ 的周长为 8，求 $a$ 和 $b$。

October 28, 2026 阅读
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FUVEST 2025 – 第一阶段：解决数学问题

来源： FUVEST – 常识测试，版本 V1 和官方答案 从第一阶段 (17/11/2024) 开始，可在 FUVEST 集合 2025 中找到。 FUVEST 2025 的第一阶段是常识测试，其中 90 个问题来自 所有学科。这篇文章仅涵盖数学问题。编号 这里使用的是Proof V1；在版本V2、V3和V4中出现相同的问题 与其他数字。 模板 问题 主题 模板 16 百分比：坡道的坡度 C 17 平面上各点之间的距离 C 45 算术平均值 E 48 图表读数和百分比 D 52 余弦函数：图变换 D 69 模函数和抛物线 B 70 算术级数 A 75 圆锥体体积 A 76 圆柱体的体积和侧面积 D 77 圆的相对位置 E 问题 16：无障碍坡道的坡度（百分比） 陈述 建造可供轮椅使用者使用的坡道必须 遵循ABNT NBR 9050标准。本文件规定了坡道的倾斜度 必须取决于每个斜坡段的最大水平差，根据 下表： 每个坡道段的最大坡度和不平整度 水平差 $h$（单位：米） 允许斜率 $i$（%） $1 < h \le 1{,}5$ $5$ $0{,}8 < h \le 1$ $5 < i \le 6{,}25$ $0 < h \le 0{,}8$ $6{,}25 < i \le 8{,}33$ 建筑物、家具、空间和城市设备的可达性。在 https://www.prefeitura.sp.gov.br/cidade/ 中可用（已修改）。

September 27, 2026 阅读
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FUVEST 2024 – 第二阶段：解决数学问题

以下是 M01 至 M06 的解决方案，以及每项的推理和结果验证。使用官方笔记本，第二天查阅报表和图纸；下面我们只返回计算所需的数据。 解释是版权。检查答案使用官方 FUVEST 指南，第 40 至 48 页，可在2024 集合中找到。 M02需要注意：打印数据不一致，指南接受不同方法。 模板 问题 主题 答案 M01 手机和系统 a）顶部64；空圆圈：从左到右：4、11、8、8、16； b）27； c) $5/4$、$35/12$、$7/4$、$7/6$ M02 条件概率 不兼容的数据：偏好加起来达到110%；查看以明确假设为条件的讨论和计算 M03 直线和抛物线 a) $(-1,1)$ e $(3,9)$; b) $(28/25,21/25)$; c) $B=(5/2,25/4)$, $C=(3/2,9/4)$ M04 指数 a) $2$ m; b) $9\sqrt2/4$ m; c) $2\log_2(2+\sqrt3)$ m M05 旋转固体 a) $16$ 面积单位； b) $128\pi/3$ 体积单位； c) $32\sqrt2\pi/3$ 体积单位 M06 楼层功能 a) $10/3$; b) $[5/2,3)$; c) $[1,\sqrt2)\cup[\sqrt5,\sqrt6)\cup[3,\sqrt{10})$ M01：如何阅读数学移动 请参阅测试 PDF 的第 3 页上的三张图。规则为$ac=bd$和$x=ac+bd$；没有编号的分支具有系数 1。在计算中，子结构的值包括它所支撑的圆。

September 27, 2026 阅读