来源： ITA ——第一阶段试卷 和官方答案。文件见 ITA 历年试题页面。

ITA 2024 第一阶段共有 60 道选择题，每科 12 道（物理、葡萄牙语、英语、数学、化学）。 本文收录其中的数学题，题号沿用试卷的 37 至 48。

试卷约定。 $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}$；$A - B$ 为集合 $A$ 与 $B$ 的差集；$i^2 = -1$； $M_n(\mathbb{R})$ 为 $n \times n$ 实矩阵的集合；$\overline{AB}$ 为线段，$AB$ 为过 $A$、$B$ 的直线； $m(\overline{AB})$ 为 $\overline{AB}$ 的长度；$A\hat{B}C$ 为以 $B$ 为顶点的角；$\det A$ 为行列式， $A^T$ 为 $A$ 的转置。

答案一览

题号 内容 答案
37 集合运算 B
38 矩阵方程组 E
39 含反正切的二倍角 A
40 计数：抽屉原理 B
41 多项式：120 个多项式的根之和 D
42 成等比数列的根 C
43 圆柱与等比数列 E
44 多面体：欧拉公式 D
45 平面几何：四边形的面积 C
46 复数：$a^m = b^m$ D
47 解析几何：外角平分线 A
48 包含一个圆的椭圆 C

第 37 题：三个集合恒等式

题目

设 $A, B, C \subseteq \mathbb{R}$，且 $C \subseteq A$。考虑以下命题：

  • I. $(A \cap B) \cup C = A \cap (B \cup C)$。
  • II. $A \cap B = C \cup (B \cap (\mathbb{R} - C))$。
  • III. $A \cap (B - C) = (A \cap B) - C$。

正确的是：

  • A) 仅 I 和 II。
  • B) 仅 I 和 III。
  • C) 仅 II。
  • D) 仅 III。
  • E) I、II 和 III。

解答

I. 正确。 由分配律，$A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$。由于 $C \subseteq A$， $A \cap C = C$，于是得到 $(A \cap B) \cup C$。

II. 错误。 右边是 $C \cup (B - C) = B \cup C$。反例：$A = \mathbb{R}$，$B = \varnothing$， $C = \{1\}$。此时 $A \cap B = \varnothing$，而 $B \cup C = \{1\}$。

III. 正确。 两边都是属于 $A$、属于 $B$ 且不属于 $C$ 的元素构成的集合： $A \cap B \cap (\mathbb{R} - C)$。（即使没有 $C \subseteq A$ 这个条件也成立。）

答案： 选 B（仅 I 和 III）。

复习请见集合的运算。

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第 38 题：未知数是矩阵的方程组

题目

设 $A, B, C, D \in M_n(\mathbb{R})$。考虑关于变量 $X, Y \in M_n(\mathbb{R})$ 的线性方程组

$$\begin{cases} AX = B \\ DX + Y = C \end{cases}$$

考虑以下命题：

  • I. 若 $\det A = 0$ 或 $\det D = 0$，则方程组无解。
  • II. 若 $A = B$，则方程组有唯一解。
  • III. 方程组有唯一解，仅当 $A$ 和 $D$ 都可逆。

正确的是：

  • A) 仅 I。
  • B) 仅 II。
  • C) 仅 III。
  • D) 仅 II 和 III。
  • E) 都不正确。

解答

关键在于：第 2 个方程总能确定 $Y = C - DX$。所以方程组解的个数与方程 $AX = B$ 相同。

I. 错误。 取 $A = I$（可逆）、$D = 0$（$\det D = 0$），则 $X = B$、$Y = C$ 就是解。

II. 错误。 若 $A = B = 0$，则对任意 $X$ 都有 $AX = B$：无穷多解。

III. 错误。 唯一性只取决于 $A$ 是否可逆，$D$ 可以任意。例如 $A = I$、$D = 0$ 时有 唯一解 $X = B$、$Y = C$。

答案： 选 E（都不正确）。

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第 39 题：2·arctan(4/3) 的余弦与正弦

题目

求

$$\cos\left(2\arctan\left(\frac{4}{3}\right)\right) + \sin\left(2\arctan\left(\frac{4}{3}\right)\right)$$

的值。

  • A) $\frac{17}{25}$。
  • B) $\frac{4}{5}$。
  • C) $\frac{24}{25}$。
  • D) $\frac{28}{25}$。
  • E) $\frac{31}{25}$。

解答

设 $\theta = \arctan\frac{4}{3}$，它是锐角，$\tan\theta = \frac{4}{3}$。在 3-4-5 直角三角形中： $\sin\theta = \frac{4}{5}$，$\cos\theta = \frac{3}{5}$。

$$\cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta = \frac{9 - 16}{25} = -\frac{7}{25}, \qquad \sin 2\theta = 2\cdot\frac{4}{5}\cdot\frac{3}{5} = \frac{24}{25}$$$$\cos 2\theta + \sin 2\theta = \frac{-7 + 24}{25} = \frac{17}{25}$$

答案： 选 A（$\frac{17}{25}$）。

小心陷阱： 忘记 $\cos 2\theta$ 的符号（由于 $2\theta > 90^\circ$，它是负的）会得到 $\frac{31}{25}$，即选项 E。

复习请见二倍角与三倍角的正弦、余弦和正切。

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第 40 题：保证有一对乘积为 256

题目

考虑集合

$$A = \{1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256\}.$$

使得 $A$ 的每个 $n$ 元子集都至少含有一对乘积为 256 的元素的最小 $n \in \mathbb{N}$ 是多少？

  • A) $n = 5$。
  • B) $n = 6$。
  • C) $n = 7$。
  • D) $n = 8$。
  • E) $n = 9$。

解答

1. 指数。 元素为 $2^0, 2^1, \dots, 2^8$，当 $a + b = 8$ 时 $2^a \cdot 2^b = 256 = 2^8$。 两元素不同时，这样的对是

$$\{1, 256\}, \quad \{2, 128\}, \quad \{4, 64\}, \quad \{8, 32\}$$

16 单独剩下（$16 \cdot 16 = 256$，但这是同一个元素）。

2. 不含这种对的最大子集。 每对取一个，再加上 16：例如 $\{1, 2, 4, 8, 16\}$，共 5 个元素， 没有乘积为 256 的一对。

3. 抽屉原理。 取 6 个元素时，最多去掉 16，至少还剩 5 个元素分布在仅有的 4 对中； 必有两个落在同一对里，乘积为 256。

答案： 选 B（$n = 6$）。

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第 41 题：所有多项式的根之和

题目

考虑集合 $C = \{1, 2, 3, 4, 5\}$。对 $a_0, a_1, a_2, a_3, a_4 \in C$（两两不同）的每一种可能选择， 构造多项式

$$a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + a_4 x^4.$$

这样构造出的所有多项式的根（计重数）之和等于：

  • A) $-\frac{17125}{4}$。
  • B) $-1800$。
  • C) $-360$。
  • D) $-\frac{351}{2}$。
  • E) $-\frac{101}{4}$。

解答

1. 单个多项式。 共有 $5! = 120$ 个多项式，都是 4 次。由韦达定理，每个的根之和为 $-\dfrac{a_3}{a_4}$。

2. 分组。 $-\frac{a_3}{a_4}$ 只取决于不同元素组成的有序对 $(a_3, a_4)$，而每个有序对出现在 $3! = 6$ 个多项式中（$a_0, a_1, a_2$ 的排列）。因此

$$S = -6\sum_{a_3 \ne a_4}\frac{a_3}{a_4}$$

3. 二重求和。 固定 $a_4$，$a_3$ 取其余 4 个元素，它们的和为 $15 - a_4$：

$$\sum_{a_3 \ne a_4}\frac{a_3}{a_4} = \sum_{a_4 = 1}^{5}\frac{15 - a_4}{a_4} = 15\left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5}\right) - 5 = 15\cdot\frac{137}{60} - 5 = \frac{137}{4} - 5 = \frac{117}{4}$$

4. 总和。

$$S = -6\cdot\frac{117}{4} = -\frac{351}{2}$$

（我们用计算机对 120 个排列求 $-a_3/a_4$ 之和，验证了这个结果。）

答案： 选 D（$-\frac{351}{2}$）。

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第 42 题：成等比数列的根

题目

使多项式 $p(x) = x^3 + 3x^2 - 6x + k$ 的根成等比数列的 $k \in \mathbb{R}$ 的值是：

  • A) $-18$。
  • B) $-16$。
  • C) $-8$。
  • D) $-2$。
  • E) $-1$。

解答

1. 根成等比数列。 把根写成 $\frac{a}{q}$、$a$、$aq$。由韦达定理：

$$a\left(\frac{1}{q} + 1 + q\right) = -3, \qquad a^2\left(\frac{1}{q} + 1 + q\right) = -6, \qquad a^3 = -k$$

2. 第 2 式除以第 1 式： $a = 2$。所以 $k = -a^3 = -8$。

验证： $p(x) = x^3 + 3x^2 - 6x - 8 = (x - 2)(x^2 + 5x + 4) = (x - 2)(x + 1)(x + 4)$。 根 $-1$、$2$、$-4$ 构成公比为 $-2$ 的等比数列 ✔

答案： 选 C（$-8$）。

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第 43 题：底面积、侧面积与体积成等比数列

题目

一个直圆柱的底面积 $A_1$、侧面积 $A_2$ 与体积 $A_3$ 按此顺序构成递增的等比数列。底面半径 可能落在区间：

  • A) $\left(1, \frac{5}{4}\right)$。
  • B) $\left(\frac{5}{4}, \frac{3}{2}\right)$。
  • C) $\left(\frac{3}{2}, \frac{7}{4}\right)$。
  • D) $\left(\frac{7}{4}, 2\right)$。
  • E) $\left(2, \frac{5}{2}\right)$。

解答

设半径为 $r$、高为 $h$：$A_1 = \pi r^2$，$A_2 = 2\pi r h$，$A_3 = \pi r^2 h$。

1. 等比条件。 $A_2^2 = A_1 A_3$：

$$4\pi^2 r^2 h^2 = \pi^2 r^4 h \quad\Rightarrow\quad h = \frac{r^2}{4}$$

2. 公比。 $q = \frac{A_2}{A_1} = \frac{2h}{r} = \frac{r}{2}$（同样 $\frac{A_3}{A_2} = \frac{r}{2}$ ✔）。 正项递增等比数列要求 $q > 1$：

$$\frac{r}{2} > 1 \quad\Rightarrow\quad r > 2$$

任何 $r > 2$ 都可以（取 $h = \frac{r^2}{4}$）。选项中只有区间 $\left(2, \frac{5}{2}\right)$ 落在 $r > 2$ 内。

答案： 选 E。

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第 44 题：24 个顶点、36 条棱的多面体

题目

一个凸多面体有 24 个顶点、36 条棱。已知每个顶点连接 3 个面，且每个面的边数只能取 $m$ 或 $n$ 两个值之一。以下说法正确的是：

  • A) 可能 $m = 3$ 且 $n = 4$。
  • B) 可能 $m = 3$ 且 $n = 5$。
  • C) 可能 $m = 3$ 且 $n = 7$。
  • D) 可能 $m = 3$ 且 $n = 8$。
  • E) 可能 $m = 4$ 且 $n = 5$。

解答

1. 面数。 欧拉公式：$V - E + F = 2 \Rightarrow F = 2 - 24 + 36 = 14$。

2. 通过面来数棱。 设有 $x$ 个面是 $m$ 边形，$y$ 个面是 $n$ 边形，每条棱被两个面各数一次：

$$x + y = 14, \qquad mx + ny = 2\cdot 36 = 72$$

3. 逐一检验。

$(m, n)$ 关于 $y$ 的方程 $y$ 可能？
$(3, 4)$ $42 + y = 72$ $30$ 否（$y > 14$）
$(3, 5)$ $42 + 2y = 72$ $15$ 否（$y > 14$）
$(3, 7)$ $42 + 4y = 72$ $7.5$ 否
$(3, 8)$ $42 + 5y = 72$ $6$ 是：8 个三角形和 6 个八边形
$(4, 5)$ $56 + y = 72$ $16$ 否（$y > 14$）

$(3, 8)$ 的情况确实存在：就是截角立方体（切掉立方体的 8 个角）。它有 8 个三角形面、 6 个八边形面、24 个顶点、36 条棱，每个顶点处有 3 个面相交。

答案： 选 D。

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第 45 题：四边形 APMS 的面积

题目

考虑三角形 $ABC$，$M$ 为边 $\overline{BC}$ 的中点。在直线 $AB$ 上取点 $R \ne A$，使 $m(\overline{AB}) = m(\overline{BR})$；在直线 $AC$ 上取点 $Q$，使 $m(\overline{AC}) = 2\,m(\overline{CQ})$ 且 $Q$ 不在线段 $\overline{AC}$ 上。直线 $RM$ 与边 $\overline{AC}$ 交于点 $S$，直线 $QM$ 与边 $\overline{AB}$ 交于点 $P$。若三角形 $ABC$ 的面积为 24，则四边形 $APMS$ 的面积为：

  • A) 15。
  • B) 16。
  • C) 17。
  • D) 18。
  • E) 19。

解答

1. 以 $A$ 为起点的向量。 把 $A$ 放在原点，记 $\vec{b} = \overrightarrow{AB}$， $\vec{c} = \overrightarrow{AC}$。则

  • $R$ 是 $A$ 关于 $B$ 的对称点：$R = 2\vec{b}$；
  • $Q$ 在 $C$ 之外，再延长 $AC$ 的一半：$Q = \frac{3}{2}\vec{c}$；
  • $M = \frac{1}{2}(\vec{b} + \vec{c})$。

2. 点 $S$。 直线 $RM$ 上的点：$2\vec{b} + t\left(M - R\right) = \left(2 - \frac{3t}{2}\right)\vec{b} + \frac{t}{2}\vec{c}$。 当 $\vec{b}$ 的系数为零时它在直线 $AC$ 上：$t = \frac{4}{3}$，$S = \frac{2}{3}\vec{c}$。

3. 点 $P$。 直线 $QM$ 上的点：$\frac{3}{2}\vec{c} + s\left(M - Q\right) = \frac{s}{2}\vec{b} + \left(\frac{3}{2} - s\right)\vec{c}$。 当 $s = \frac{3}{2}$ 时它在 $AB$ 上，$P = \frac{3}{4}\vec{b}$。

4. 分成两个三角形。 沿对角线 $AM$ 把 $APMS$ 分开。注意 $S_{ABM} = S_{AMC} = 12$ （中线平分面积）：

  • $S_{APM} = \frac{AP}{AB}\cdot S_{ABM} = \frac{3}{4}\cdot 12 = 9$；
  • $S_{AMS} = \frac{AS}{AC}\cdot S_{AMC} = \frac{2}{3}\cdot 12 = 8$。
$$S_{APMS} = 9 + 8 = 17$$

用叉积（鞋带）公式验证： 面积为 $\frac{1}{2}\left|P \times M + M \times S\right| = \frac{1}{2}\left(\frac{3}{8} + \frac{1}{3}\right)|\vec{b} \times \vec{c}| = \frac{17}{48}\cdot 48 = 17$ ✔（其中 $|\vec{b} \times \vec{c}| = 2\cdot 24$）。

答案： 选 C（17）。

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第 46 题：何时 aᵐ = bᵐ？

题目

设复数 $a = 1 + 3\sqrt{3}\,i$，$b = 2\sqrt{3} + 4i$。使 $a^m = b^m$ 成立的最小 $m \in \mathbb{N}$ 是：

  • A) 6。
  • B) 8。
  • C) 10。
  • D) 12。
  • E) 不存在满足此等式的 $m \in \mathbb{N}$。

解答

1. 模相同。 $|a|^2 = 1 + 27 = 28$，$|b|^2 = 12 + 16 = 28$。

2. 商。 $a^m = b^m \iff \left(\frac{a}{b}\right)^m = 1$。计算：

$$\frac{a}{b} = \frac{(1 + 3\sqrt{3}\,i)(2\sqrt{3} - 4i)}{28} = \frac{2\sqrt{3} - 4i + 18i + 12\sqrt{3}}{28} = \frac{14\sqrt{3} + 14i}{28} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i = \operatorname{cis}\frac{\pi}{6}$$

3. 最小的幂。 $\operatorname{cis}\frac{m\pi}{6} = 1 \iff \frac{m\pi}{6}$ 是 $2\pi$ 的倍数 $\iff m$ 是 12 的倍数。 最小为 $m = 12$。

答案： 选 D（12）。

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第 47 题：过 B 且垂直于角平分线的直线

题目

考虑顶点为 $A = (0, 0)$、$B = (\sqrt{2}, \sqrt{3})$、$C = \left(\frac{5}{2}\sqrt{2}, 0\right)$ 的三角形。 过 $B$ 且垂直于角 $A\hat{B}C$ 的平分线的直线方程为：

  • A) $y = (5 - 2\sqrt{6})x + 5\sqrt{3} - 5\sqrt{2}$。
  • B) $y = (5 + 2\sqrt{6})x - 3\sqrt{3} - 5\sqrt{2}$。
  • C) $y = (5 - \sqrt{6})x + 3\sqrt{3} - 5\sqrt{2}$。
  • D) $y = -(5 + 2\sqrt{6})x + 5\sqrt{3} + 5\sqrt{2}$。
  • E) $y = (-5 + 2\sqrt{6})x - 3\sqrt{3} + 5\sqrt{2}$。

解答

过 $B$ 且垂直于内角平分线的直线就是 $B$ 处的外角平分线。若 $\vec{u}$、$\vec{v}$ 分别是从 $B$ 指向 $A$ 和从 $B$ 指向 $C$ 的单位向量，则内角平分线方向为 $\vec{u} + \vec{v}$，外角平分线方向为 $\vec{u} - \vec{v}$（由于 $|\vec{u}| = |\vec{v}|$，两者互相垂直）。

1. 单位向量。

  • $\overrightarrow{BA} = (-\sqrt{2}, -\sqrt{3})$，长度 $\sqrt{5}$：$\vec{u} = \frac{1}{\sqrt{5}}(-\sqrt{2}, -\sqrt{3})$。
  • $\overrightarrow{BC} = \left(\frac{3\sqrt{2}}{2}, -\sqrt{3}\right)$，长度 $\sqrt{\frac{9}{2} + 3} = \sqrt{\frac{15}{2}}$：$\vec{v} = \frac{1}{\sqrt{15}}(3, -\sqrt{6})$。

2. 外角平分线的方向。 把 $\vec{u} - \vec{v}$ 乘以 $\sqrt{15}$：

$$\sqrt{15}(\vec{u} - \vec{v}) = (-\sqrt{6}, -3) - (3, -\sqrt{6}) = (-3 - \sqrt{6},\ \sqrt{6} - 3)$$

3. 斜率。

$$m = \frac{\sqrt{6} - 3}{-(3 + \sqrt{6})} = \frac{3 - \sqrt{6}}{3 + \sqrt{6}} = \frac{(3 - \sqrt{6})^2}{9 - 6} = \frac{15 - 6\sqrt{6}}{3} = 5 - 2\sqrt{6}$$

4. 过 $B$ 的直线。

$$y = (5 - 2\sqrt{6})(x - \sqrt{2}) + \sqrt{3} = (5 - 2\sqrt{6})x - 5\sqrt{2} + 2\sqrt{12} + \sqrt{3} = (5 - 2\sqrt{6})x + 5\sqrt{3} - 5\sqrt{2}$$

（用到 $2\sqrt{6}\cdot\sqrt{2} = 2\sqrt{12} = 4\sqrt{3}$。）

验证： 用计算机算得 $\vec{u} - \vec{v}$ 与 $\vec{u} + \vec{v}$ 的点积为 0，斜率 $\approx 0.101 = 5 - 2\sqrt{6}$ ✔

答案： 选 A。

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第 48 题：包含圆的最扁的椭圆

题目

考虑椭圆

$$\lambda x^2 + (\lambda + 4)y^2 - 4\lambda x - (10\lambda + 40)y + 25(\lambda + 4) - \lambda^2 = 0,$$

和圆

$$x^2 + y^2 - 4x - 12y + 36 = 0.$$

在圆的内部完全包含于椭圆内部的条件下，椭圆离心率最大时 $\lambda \in \mathbb{R} - \{-4, 0\}$ 的值为：

  • A) 3。
  • B) 5。
  • C) 9。
  • D) 13。
  • E) 15。

解答

1. 椭圆的标准方程。 配方（$x^2 - 4x = (x - 2)^2 - 4$，$y^2 - 10y = (y - 5)^2 - 25$）：

$$\lambda(x - 2)^2 + (\lambda + 4)(y - 5)^2 - 4\lambda - 25(\lambda + 4) + 25(\lambda + 4) - \lambda^2 = 0$$$$\lambda(x - 2)^2 + (\lambda + 4)(y - 5)^2 = \lambda(\lambda + 4) \quad\Rightarrow\quad \frac{(x - 2)^2}{\lambda + 4} + \frac{(y - 5)^2}{\lambda} = 1$$

当 $\lambda > 0$ 时为椭圆：中心 $(2, 5)$，水平半轴 $\sqrt{\lambda + 4}$（较长），竖直半轴 $\sqrt{\lambda}$。

2. 离心率。 $e^2 = 1 - \frac{\lambda}{\lambda + 4} = \frac{4}{\lambda + 4}$：$\lambda$ 越小，离心率越大。

3. 圆。 $(x - 2)^2 + (y - 6)^2 = 4$：圆心 $(2, 6)$，半径 2，从 $y = 4$ 延伸到 $y = 8$。

4. 包含条件。 圆的最高点 $(2, 8)$ 必须在椭圆上或其内部：

$$\frac{(8 - 5)^2}{\lambda} \le 1 \quad\Rightarrow\quad \lambda \ge 9$$

当 $\lambda = 9$ 时整个圆都在内部：圆上一点为 $(2 + 2\cos t,\ 6 + 2\sin t)$，令 $s = \sin t$，

$$\frac{4\cos^2 t}{13} + \frac{(1 + 2s)^2}{9} = \frac{4(1 - s^2)}{13} + \frac{(1 + 2s)^2}{9}$$

在 $s \in [-1, 1]$ 上递增（导数 $-\frac{8s}{13} + \frac{4 + 8s}{9}$ 只在 $s \approx -1.6$ 处为零），在 $s = 1$ 即点 $(2, 8)$ 处取到最大值 1，圆在该点从内部与椭圆相切。所以最小的 $\lambda$ 是 9。

答案： 选 C（$\lambda = 9$）。

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