我们今天写数的方式之所以显得自然，是因为它是我们唯一学过的方式。但其他文化用不同的办法解决了同一个问题——写下数量并用它们计算——而每一种解法，都在这些文化能够思考的东西上留下了印记。 中国的算筹 将近两千年里，中国的数学家用算筹计算：竹、骨或金属做的小棍，摆在分成一列列的算板上。每一列是一个十进位，1 到 5 的数字用同样多根算筹摆出；6 到 9 则用一根代表五的算筹再加几根。为了不让相邻的列混淆，算筹的摆法交替变换：个位纵摆，十位横摆，百位又纵摆。 秦九韶《数书九章》（1247）中用筹算数字写出的一道计算。空位已经用一个小圆圈标出，也就是零。秦九韶 · 维基共享资源 · 公共领域 算筹记数法是一种工具的记号：它复制了算板。空位就是没有算筹的一列；当数被搬到纸上，空位变成了空格，到 13 世纪又变成了一个小圆圈，就像上面那一页。 而且算筹有颜色。大约成书于公元前后的《九章算术》教人用“正”数和“负”数解方程组，注释者刘徽在 263 年解释说，一种用红筹，另一种用黑筹，并有加减它们的法则。在欧洲，一千多年以后负数还被称为“荒谬的数”。一种有两种颜色的工具，使欧洲那只用一种墨水的书写迟迟不肯接受的东西变得可以思考。 请启用 JavaScript 以使用这个交互图形。完整的推理见正文。 玛雅的点和横 中美洲的玛雅人以二十为单位计数。一个点代表一，一条横代表五，1 到 19 的数字最多用三条横和四个点表示。数位自下而上叠放，空位有一个专门的符号，像一枚贝壳：一个位值的零，在 4 世纪的铭文中已在使用，与印度的零彼此独立。 《德累斯顿抄本》第 62 页，这是少数留存下来的玛雅书籍之一，此为西尔韦纳斯·莫利的复制本。数用点和横写成，有黑有红，夹在蛇形图案之间。Sylvanus Morley · 维基共享资源 · 公共领域 在历法计算中，第三位不是 $20 \cdot 20 = 400$，而是 $18 \cdot 20 = 360$，接近一年的天数。这套记号为天文和祭祀服务：掌握它的祭司能提前几百年算出日食和金星的周期。 印加人的结 印加人没有字母文字，但有结绳（quipu）：挂在一根主绳上的许多细绳，在不同高度上打着结。1923 年，美国人利兰·洛克证明，许多结绳以十进位值制记录数：结在细绳上的高度表示数位（个位在下，十位在上，依此类推），结的类型表示数字。制作和解读结绳的专家，即 quipucamayoc，用它们保存整个帝国的人口普查、贡赋和仓储。 利马拉尔科博物馆收藏的一件印加结绳。每根垂下的细绳都用结的位置和类型保存着一个数。bobistraveling · 维基共享资源 · CC BY 2.0 留下来的六十进制 最后，最古老的位值书写——巴比伦人的书写——在我们的书写里活了下来。他们用六十进制计数，所以一小时有 60 分钟，一分钟有 60 秒，一度有 60 角分。当我们说 $1\text{ h } 23\text{ min } 45\text{ s}$ 时，我们写的是一个三位的六十进制数。
现存最古老的书面数学是一根刻了痕的骨头。伊尚戈骨于 1950 年在爱德华湖畔被发现，那里位于刚果民主共和国与乌干达的边界上。它大约有两万年历史，上面刻着分成三列的一组组平行刻痕。没有人确切知道它们数的是什么。但想法很清楚：一样东西刻一道。 伊尚戈骨，沿着骨柄刻着一组组刻痕。布鲁塞尔自然科学博物馆。Joeykentin · 维基共享资源 · CC BY-SA 4.0 用第2章的话说，刻痕是一种图像符号：五道刻痕和五只羊相像，至少在数量上相像。所以这种书写不需要教，一看就懂。代价是长度：要写一千，就得刻一千道。 同一个数的三种表示 我们今天写的数恰好是刻痕的反面。数字 $3$ 并不像三样东西，而在 $304$ 里，$3$ 之所以值三百，只是因为它在第三位，就像我们在第1章中看到的那样。学数数的孩子必须把三种彼此毫不相像的表示联系起来： 数量，可以看到、摸到； 口头的数词，“三百零四”； 书写的数字，$304$。 数词和数字有不同的语法。说话是在加起一块块：三百、零、四。书写是在安放数字：$0$ 占据十位。在葡萄牙语和英语里，十位上的零在话里根本不出现：葡萄牙语说 trezentos e quatro，“三百和四”。孩子把听到的一块一块照写下来，就得到 $3004$：“三百”的 $300$ 后面跟着“四”的 $4$。 请启用 JavaScript 以使用这个交互图形。完整的推理见正文。 这种错误有个名称，叫转码错误，许多国家都研究过。它是系统性的：恰恰出现在那些口头说法藏起了一个空位的数上，而一旦孩子明白每一位只放一个数字，而且只能放一个，它就几乎消失了。这不是粗心，而是忠实地执行了一条对说话有效、对书写无效的规则。 帮忙的语言和添乱的语言 在葡萄牙语里，十一到十五的名称是不透明的：onze 并不说“十和一”。英语的 eleven 和 twelve 更不透明。在法语里，$97$ 说成 quatre-vingt-dix-sept，“四个二十、十、七”：一个词里装着一整道算术，这是按二十计数留下的遗产。 在汉语和日语里，数的名称跟着写法走。十一就是“十一”；九十七就是“九十七”。位值的结构就在词语里面。一些比较研究，例如 Irene Miura 及其合作者在 20 世纪 80 年代末所做的研究，发现东亚儿童用积木表示十位和个位的能力，比同龄的美国儿童出现得更早。差别不只在语言上（学校和家庭也很重要），但它说明口头的数词可以帮助或妨碍对数字的阅读。 说出来的零 在汉语里，$1504$ 读作“一千五百零四”：“一千，五百，零，四”。语言把空位念了出来。葡萄牙语说 mil quinhentos e quatro，“一千五百和四”，十位上的零从口头上消失了，而孩子们恰恰在这里出错。 练习：读懂错误老师用葡萄牙语念 quinhentos e sete（“五百和七”）时，一个孩子写成 $5007$；念 dois mil e dez（“两千和十”）时，写成 $200010$。这个孩子遵循的是什么规则？ 她把说出来的每一块都写成一个完整的数，再把它们拼起来：$500$ 后面接 $7$ 得到 $5007$；$2000$ 后面接 $10$ 得到 $200010$。这条规则前后一致，所以错误会反复出现。缺少的是这样一个想法：$7$ 应当占据 $500$ 的个位，而不是站在它旁边：$500+7=507$，同样 $2000+10=2010$。