Euler's Eyes
2026-10-26
别样的书写，别样的数学：算筹、点和结
我们今天写数的方式之所以显得自然，是因为它是我们唯一学过的方式。但其他文化用不同的办法解决了同一个问题——写下数量并用它们计算——而每一种解法，都在这些文化能够思考的东西上留下了印记。
中国的算筹
将近两千年里，中国的数学家用算筹计算：竹、骨或金属做的小棍，摆在分成一列列的算板上。每一列是一个十进位，1 到 5 的数字用同样多根算筹摆出；6 到 9 则用一根代表五的算筹再加几根。为了不让相邻的列混淆，算筹的摆法交替变换：个位纵摆，十位横摆，百位又纵摆。
算筹记数法是一种工具的记号：它复制了算板。空位就是没有算筹的一列；当数被搬到纸上，空位变成了空格，到 13 世纪又变成了一个小圆圈，就像上面那一页。
而且算筹有颜色。大约成书于公元前后的《九章算术》教人用“正”数和“负”数解方程组，注释者刘徽在 263 年解释说，一种用红筹，另一种用黑筹，并有加减它们的法则。在欧洲，一千多年以后负数还被称为“荒谬的数”。一种有两种颜色的工具，使欧洲那只用一种墨水的书写迟迟不肯接受的东西变得可以思考。
玛雅的点和横
中美洲的玛雅人以二十为单位计数。一个点代表一，一条横代表五，1 到 19 的数字最多用三条横和四个点表示。数位自下而上叠放，空位有一个专门的符号，像一枚贝壳：一个位值的零，在 4 世纪的铭文中已在使用，与印度的零彼此独立。
在历法计算中，第三位不是 $20 \cdot 20 = 400$，而是 $18 \cdot 20 = 360$，接近一年的天数。这套记号为天文和祭祀服务：掌握它的祭司能提前几百年算出日食和金星的周期。
印加人的结
印加人没有字母文字，但有结绳（quipu）：挂在一根主绳上的许多细绳，在不同高度上打着结。1923 年，美国人利兰·洛克证明，许多结绳以十进位值制记录数：结在细绳上的高度表示数位（个位在下，十位在上，依此类推），结的类型表示数字。制作和解读结绳的专家，即 quipucamayoc，用它们保存整个帝国的人口普查、贡赋和仓储。
留下来的六十进制
最后，最古老的位值书写——巴比伦人的书写——在我们的书写里活了下来。他们用六十进制计数，所以一小时有 60 分钟，一分钟有 60 秒，一度有 60 角分。当我们说 $1\text{ h } 23\text{ min } 45\text{ s}$ 时，我们写的是一个三位的六十进制数。
练习：用算筹写 1504
逐位说明 $1504$ 怎样用算筹表示。
千位：$1$，一根横筹。百位：$5$，五根纵筹。十位：$0$，空位（或者在 13 世纪以后的书中画一个圆圈）。个位：$4$，四根纵筹。这种交替（横、纵、空、纵）可以防止混淆，例如 $12$ 和 $3$：在 $12$ 中，十位的 $1$ 是横的，$2$ 是纵的。
练习：用玛雅数字写 365
不用历法规则，把 $365$ 写成玛雅的二十进制，并描述其符号。
$365 = 18 \cdot 20 + 5$。下面一位是 $5$：一条横。上面一位是 $18$：三条横加三个点。若用第三位代表 $360$ 的历法规则，同一个数写成 $1 \cdot 360 + 0 \cdot 20 + 5$：上面一个点，中间一枚贝壳，下面一条横。