Euler's Eyes
2026-10-19
无字证明
1993 年，美国数学协会出版了一本奇特的书，由罗杰·尼尔森编辑：《无字证明》。每一页有一张图，有时下面有一个公式。一句话也没有。意思是让读者看、理解、被说服，而不需要任何人解释。这本书非常成功，后来又出了两卷，《数学杂志》至今仍在刊登这样的证明。
变成矩形的阶梯
$1+2+3+4$ 等于多少？用一排排小方块画一个阶梯。再复制一个，转过来拼在旁边：两个阶梯组成一个 $4\times5$ 的矩形，有 $20$ 个小方块。每个阶梯占一半：
$$1+2+3+4=\frac{4\cdot5}{2}=10.$$而且这张图并不依赖于 $4$。一个 $n$ 级的阶梯，两份拼成 $n\times(n+1)$ 的矩形，于是
$$1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}.$$第4章用代数归纳法证明过这个公式。图用另一种方式证明了同一件事：不是一步步地推，而是看出为什么会出现半个矩形。
“看！”
最有名的无字证明，是据说出自十二世纪印度数学家婆什迦罗的勾股定理证明。把四个直角边为 $a$ 和 $b$、斜边为 $c$ 的直角三角形放进边长为 $c$ 的正方形里，中间留下一个边长为 $b-a$ 的小正方形。据传说，婆什迦罗在下面只写了一个词：“看！”。面积给出
$$c^2=4\cdot\frac{ab}{2}+(b-a)^2=2ab+b^2-2ab+a^2=a^2+b^2.$$有趣的是，这个“无字证明”需要一行代数来核对。图展示了各个部件；计算保证它们拼得上。
图什么时候是证明，什么时候在骗人
第1章讲过希腊人对图形的不信任。这种不信任是有道理的。业余魔术师保罗·柯里在 1953 年推广的消失的方格谜题，用四块拼成一个三角形，交换各块的位置后，又拼成一个同样大小的三角形，却少了一个小方格。面积到哪里去了？
秘密在于，这两个“三角形”都不是三角形。两块三角形的斜率不同，分别是 $\frac25=0.4$ 和 $\frac38=0.375$，所谓的“斜边”其实是一条折线：在一种拼法里稍稍向内凹，在另一种拼法里稍稍向外凸。两者之差正好是一个小方格，摊在一条细得眼睛看不见的窄带里。
只有当眼睛依赖的每一种关系——“这些线平行”“这些点共线”“这些块拼得上”——都能由论证来保证时，无字证明才是证明。当眼睛假设的比图所保证的更多时，图就变成了错觉。
练习：奇数之和
第4章展示过一张图，其中每个奇数是一层 L 形。用这个想法，不做加法算出 $1+3+5+\cdots+19$。
从 $1$ 到 $19$ 的奇数是 $10$ 层，$10$ 层组成边长为 $10$ 的正方形。和是 $10^2=100$。
练习：消失的方格的斜率
在柯里的谜题中，一块三角形的直角边是 $2$ 和 $5$，另一块是 $3$ 和 $8$，整个图形的直角边是 $5$ 和 $13$。比较斜率，解释那个小方格。
斜率分别是 $\frac25=0.4$、$\frac38=0.375$，整个图形是 $\frac5{13}\approx0.385$。由于各块斜率不同，“斜边”不构成一条直线。直角边为 $5$ 和 $13$ 的真正三角形面积是 $32.5$；在一种拼法里各块合计 $32$，在另一种拼法里空格加上各块是 $33$。这一个单位的差，就在折线与直线之间的两条细带里。