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黎曼的遗产

黎曼是一个有着辉煌直觉的人。 — 费利克斯·克莱因，《十九世纪数学发展讲义》（1926） 戴德金和韦伯在 1876 年编辑出版的黎曼全集，连同遗著和笔记，只有一卷五百多页。很少有数学家留下的文字如此之少，影响却如此之多。 以他命名的东西 黎曼积分和黎曼和，微积分课程中积分的定义。 黎曼曲面和黎曼球面，后者是加上一个无穷远点、像球一样封闭起来的复平面。 柯西–黎曼方程和黎曼映射定理。 黎曼几何、黎曼流形、度量和黎曼曲率张量，广义相对论的语言。 黎曼–罗赫定理，它计算在一个黎曼曲面上可以定义多少函数，由他的学生古斯塔夫·罗赫在 1865 年完成。 黎曼 zeta 函数和黎曼猜想。 关于条件收敛级数的黎曼重排定理。 一种新风格 比起具体的成果，黎曼更深刻地改变了数学的风格。在他之前，函数首先是一个公式，数学家的工作就是操纵公式。黎曼用概念来思考：一个复变函数由它的性质而不是表达式来定义；一个曲面不必画在任何地方就能定义；一个空间由它的度量规则来定义。从希尔伯特到外尔，20 世纪的数学家都把他看作后来占据主导地位的“概念式”数学的奠基人。 这种风格也有代价：黎曼常常凭直觉陈述结果，而没有完整的证明。魏尔斯特拉斯对狄利克雷原理的批评显示了其中的风险，好几代数学家致力于为黎曼的论断建立严格的基础。这些论断几乎全都是对的。 1863 年的伯恩哈德·黎曼，三年后他去世了。作者不详 · Wikimedia Commons · 公有领域 在物理学中 黎曼几何作为纯数学存在了半个多世纪，直到 1912 年至 1915 年间，爱因斯坦在数学家朋友马塞尔·格罗斯曼的帮助下，认识到它正是广义相对论所需的工具。今天，同样的语言描述着黑洞、引力波和宇宙膨胀。zeta 函数则出现在统计物理、量子场论和一些奇妙的巧合中：zeta 函数零点之间的间距，与重原子核能级的统计规律相同，这是休·蒙哥马利和弗里曼·戴森在 1972 年发现的。 地方 月球上有一座黎曼环形山，还有一颗小行星 4167 Riemann。在他的故乡布雷塞伦茨，一块嵌着铭牌的石头纪念着这位数学家；在哥廷根，一块牌子标出了他住过的一座房子。 练习：黎曼球面黎曼球面通过从北极出发的投影，把复平面与一个球面对应起来。$|z|$ 非常大的点 $z$ 会到哪里去？ 球极投影用经过北极的直线，把球面上除北极以外的每一点与平面上的一点联系起来。离原点很远的平面上的点，对应于球面上非常接近北极的点。北极本身则对应唯一的“无穷远点” $\infty$。这样，像 $\frac{1}{z}$ 这样的函数就在整个球面上有了定义：$\frac{1}{0} = \infty$，$\frac{1}{\infty} = 0$。 练习：丰硕的一生黎曼在 1851 年发表了第一部重要著作，即博士论文，1866 年去世。如果全集约有 550 页，他在职业生涯中平均每年写多少页？ 从 1851 年到 1866 年是 15 年。$\frac{550}{15} \approx 37$ 页每年，每周不到一页。很少有例子能如此清楚地说明：在数学中，重要的是思想的深度，而不是篇幅。

October 31, 2026 阅读
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阿涅西的遗产

很长时间里，人们以两种和她所做的事几乎无关的方式记住阿涅西。对说英语的数学家来说，她是一条绰号为“女巫”的曲线的名字。对米兰人来说，她是一位慈善圣女，年轻时写过一本难懂的书。这两种形象都遮住了 18 世纪最有影响的数学著作之一的作者。 那本书 几十年间，《分析讲义》是欧洲能找到的最完整的微积分教程。在意大利，一代又一代的学生用过它。1775 年第二卷的法译本和 1801 年约翰·科尔森的英译本，把这本书带给了更多读者。阿涅西选择的次序，从代数到曲线，从导数到积分再到微分方程，基本上就是今天微积分课程的次序。 那条曲线 阿涅西曲线不断出现在最意想不到的地方： 统计学中，它是柯西分布，没有均值的分布的经典例子； 物理学中，它是洛伦兹曲线，即谱线和共振的形状； 数值分析中，它是龙格函数 $\frac{1}{1 + 25x^2}$。1901 年，卡尔·龙格证明，用经过等距点的多项式逼近这个函数时，用的点越多，端点附近的误差反而越大。这就是“龙格现象”，每门数值方法课程都把它作为警示来讲； 地理学和气象学中，它是山丘剖面的简单模型，用于研究吹过山地的风。 米兰布雷拉宫庭院拱廊下的玛丽亚·加埃塔纳·阿涅西半身像。Giovanni Dall’Orto · Wikimedia Commons · 署名 那些名字 小行星 16765 Agnesi 和金星上的一座陨石坑都以她命名。在米兰，有以她命名的街道和学校，布雷拉宫庭院里有她的半身像，纪念公墓的名人祠里有她的侧面像，她去世的地方还有一块纪念牌。 米兰纪念玛丽亚·加埃塔纳·阿涅西的牌匾，位于她 1799 年去世的地方。Bramfab · Wikimedia Commons · CC BY-SA 4.0 上帝的数学家 近几十年来，马西莫·马佐蒂、保拉·芬德伦等历史学家重建了阿涅西的世界，即 18 世纪信奉天主教又受启蒙思想影响的米兰，并说明数学和慈善并不是两种分开的生活。对阿涅西来说，学习几何是锻炼通向上帝的理性的一种方式，而为穷人服务是同一信仰的结果。马佐蒂那本书的副标题概括了这种解读：阿涅西，上帝的数学家。 对今天学习微积分的人来说，留下的是这样一个榜样：一个人在三十岁时写出了自己当初学习时希望拥有的那本书，而且写得如此之好，全欧洲的数学家都用它来教学。 练习：龙格函数龙格函数是 $y = \frac{1}{1 + 25x^2}$。证明它是一条阿涅西曲线，求出生成圆的直径 $a$，并计算它下面的总面积。 把它写成 $\frac{1}{1 + 25x^2} = \frac{1/25}{x^2 + 1/25}$。直径为 $a$ 的阿涅西曲线是 $\frac{a^3}{x^2 + a^2}$；取 $a^2 = \frac{1}{25}$，即 $a = \frac{1}{5}$，它变成 $\frac{1/125}{x^2 + 1/25}$，正好是龙格函数的 $\frac{1}{5}$。所以龙格函数是在竖直方向拉伸了 5 倍的箕舌线。面积为 $5 \cdot \pi a^2 = 5 \cdot \frac{\pi}{25} = \frac{\pi}{5}$。也可以用代换 $u = 5x$：$\int \frac{dx}{1 + 25x^2} = \frac{1}{5}\int \frac{du}{1 + u^2} = \frac{\pi}{5}$。

October 29, 2026 阅读
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阿基米德的遗产

理解了阿基米德和阿波罗尼奥斯的人，对当今最伟大人物的发现就不会那么惊叹了。 — 戈特弗里德·威廉·莱布尼茨 手稿 阿基米德留下的东西，是靠一根细线传到我们手中的。他几乎全部著作都依赖三部拜占庭希腊文抄本。其中两部，学者称为抄本 A 和抄本 B，在文艺复兴时期被抄录或翻译之后就失传了；第三部是重写本，一直藏在一本祈祷书下面。1269 年，多明我会修士穆尔贝克的威廉把希腊文本译成拉丁文，通过这个译本，阿基米德开始在欧洲的大学里被人阅读。希腊文本的第一个印刷版于 1544 年在巴塞尔出版。 继承者 文艺复兴和科学革命时期的科学家把他当作老师来读。伽利略以《小天平》开始了自己的学术生涯，这是一篇关于希伦王冠的文章；他还追随阿基米德的脚步研究固体的重心。开普勒用无穷小薄片的思想计算酒桶的容积。卡瓦列里、费马、帕斯卡和沃利斯在发展通向微积分的方法时，都是从阿基米德的面积和体积出发的。1906 年重新发现《方法》后，人们才看清他曾离微积分多么近：在杠杆上称量的薄片，本质上就是积分。 数学最高奖菲尔兹奖章的正面，有阿基米德的侧面像和拉丁文铭文 Transire suum pectus mundoque potiri，意为“超越自我，掌握世界”。Stefan Zachow，为国际数学联盟拍摄 · Wikimedia Commons · 公有领域 奖章上的面孔 菲尔兹奖章每四年颁发一次，授予不超过 40 岁的数学家，奖章上有加拿大雕塑家罗伯特·泰特·麦肯齐 1933 年创作的阿基米德侧面像。背面是一个内切于圆柱的球，就像叙拉古的那座坟墓，还有拉丁文铭文：“来自全世界的数学家们，为杰出的著作颁发此奖”。 名字 月球上的阿基米德环形山直径 82 千米，位于雨海的边缘。小行星 3600 Archimedes 以他命名，螺旋泵、原理、螺线也都以他命名，还有有时被称为阿基米德常数的常数，也就是 $\pi$ 本身。尤里卡（eureka）一词进入了几乎所有语言，成为发现时的欢呼，也是美国加利福尼亚州的州训。 怀特海的话 英国哲学家、数学家阿尔弗雷德·诺思·怀特海在 1911 年写道，阿基米德死于罗马士兵之手，象征着一个世界的转变：“没有一个罗马人是因为沉迷于思考一幅数学图形而丧命的。”罗马人是伟大的工程师，却没有产生能与希腊人比肩的数学家。阿基米德之死在某种意义上标志着古代数学最富创造力的时代的结束。 练习：环形山阿基米德环形山的直径是 82 千米。假设它是圆形的，面积是多少？用阿基米德的界限 $\pi < \frac{22}{7}$ 得到一个偏大的估计。 面积为 $\pi r^2$，$r = 41$ 千米。取 $\pi \approx 3.1416$：$3.1416 \times 1681 \approx 5281$ 平方千米。用 $\frac{22}{7}$：$\frac{22}{7} \times 1681 \approx 5283$ 平方千米，稍大一些，理应如此。在五千多平方千米中，差别只有 2 平方千米。

October 29, 2026 阅读
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拉普拉斯的遗产

每当我在拉普拉斯的书页上看到“由此显然可见”这句话，我就确信，自己面前有几个小时的艰苦工作，要去填补这道鸿沟，弄清楚并说明它是怎样显然可见的。 — 纳撒尼尔·鲍迪奇，谈《天体力学》 很少有数学家的名字出现在这么多东西上。一个工科学生在毕业之前会遇到拉普拉斯三四次，而且几乎总是不知道他是谁。 以他命名的东西 拉普拉斯算子 $\nabla^2 = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}$，出现在热、波、电和量子力学的方程中，也出现在锐化边缘的图像滤波器里。 拉普拉斯变换，电路、控制和信号领域的标准工具。 拉普拉斯分布，密度为 $\frac{1}{2}e^{-|x|}$，他在 1774 年把它作为误差律提出。它的形状像两条指数曲线在一个尖顶处粘在一起；今天它用于稳健统计和差分隐私，在不泄露个人信息的前提下给数据加噪声。 杨-拉普拉斯压强 $\Delta P = \gamma\left(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}\right)$，给出表面张力为 $\gamma$、曲率半径为 $R_1$ 和 $R_2$ 的曲面两侧的压强差。托马斯·杨在 1805 年得到这个想法，拉普拉斯在 1806 年给出了数学形式。它解释了为什么小气泡的内部压强更大，以及为什么水会在细管中上升。 行列式的拉普拉斯展开、积分的拉普拉斯方法，以及始终指向轨道近日点的拉普拉斯-龙格-楞次矢量。 阿尔克伊学派 拉普拉斯想像处理天文学那样解释全部物理学：用粒子之间的力，加以精确计算。从 1806 年起，他在阿尔克伊的乡间别墅——紧挨着化学家克劳德·路易·贝托莱的家——聚集了一批年轻科学家，组成阿尔克伊学会。西梅翁-德尼·泊松、让-巴蒂斯特·毕奥和弗朗索瓦·阿拉戈在那里工作过；约瑟夫·傅里叶曾是他的学生。拉普拉斯的纲领最终在几个方面失败了，比如光，奥古斯丁·菲涅耳的波动说战胜了微粒说；又比如热，热质说被抛弃了。但在整个物理学中要求精确数学的态度保留了下来。 1799 年出版的《天体力学》前两卷。Niels Bohr Library & Archives, American Institute of Physics · Wikimedia Commons · 公有领域 译者们 《天体力学》以难懂著称。拉普拉斯常常跳过步骤，在需要好几页计算的地方写上“容易看出”。美国人纳撒尼尔·鲍迪奇是马萨诸塞州塞勒姆一位自学成才的航海家和精算师，他在 1829 年到 1839 年间把前四卷译成英文，并加上填补空白的评注：评注比原文还长。在英国，苏格兰人玛丽·萨默维尔于 1831 年出版了《天体的机制》，这是对这部著作的讲解版，在剑桥被使用了几十年。通过这两本书，一代又一代说英语的读者学会了天体力学。 地方 拉普拉斯是名字刻在埃菲尔铁塔上的 72 位法国科学家和工程师之一。在月球上，拉普拉斯海角是雨海边缘的一个岬角；小行星 4628 拉普拉斯也以他命名。在他的故乡博蒙昂诺日，有一座纪念他的雕像。

October 30, 2026 阅读