Euler's Eyes
2026-10-29
阿涅西的遗产
很长时间里，人们以两种和她所做的事几乎无关的方式记住阿涅西。对说英语的数学家来说，她是一条绰号为“女巫”的曲线的名字。对米兰人来说，她是一位慈善圣女，年轻时写过一本难懂的书。这两种形象都遮住了 18 世纪最有影响的数学著作之一的作者。
那本书
几十年间，《分析讲义》是欧洲能找到的最完整的微积分教程。在意大利，一代又一代的学生用过它。1775 年第二卷的法译本和 1801 年约翰·科尔森的英译本，把这本书带给了更多读者。阿涅西选择的次序，从代数到曲线，从导数到积分再到微分方程，基本上就是今天微积分课程的次序。
那条曲线
阿涅西曲线不断出现在最意想不到的地方：
- 统计学中，它是柯西分布，没有均值的分布的经典例子；
- 物理学中，它是洛伦兹曲线，即谱线和共振的形状；
- 数值分析中，它是龙格函数 $\frac{1}{1 + 25x^2}$。1901 年，卡尔·龙格证明，用经过等距点的多项式逼近这个函数时，用的点越多，端点附近的误差反而越大。这就是“龙格现象”，每门数值方法课程都把它作为警示来讲；
- 地理学和气象学中，它是山丘剖面的简单模型，用于研究吹过山地的风。
那些名字
小行星 16765 Agnesi 和金星上的一座陨石坑都以她命名。在米兰，有以她命名的街道和学校，布雷拉宫庭院里有她的半身像，纪念公墓的名人祠里有她的侧面像，她去世的地方还有一块纪念牌。
上帝的数学家
近几十年来，马西莫·马佐蒂、保拉·芬德伦等历史学家重建了阿涅西的世界，即 18 世纪信奉天主教又受启蒙思想影响的米兰，并说明数学和慈善并不是两种分开的生活。对阿涅西来说，学习几何是锻炼通向上帝的理性的一种方式，而为穷人服务是同一信仰的结果。马佐蒂那本书的副标题概括了这种解读：阿涅西，上帝的数学家。
对今天学习微积分的人来说，留下的是这样一个榜样：一个人在三十岁时写出了自己当初学习时希望拥有的那本书，而且写得如此之好，全欧洲的数学家都用它来教学。
练习：龙格函数
龙格函数是 $y = \frac{1}{1 + 25x^2}$。证明它是一条阿涅西曲线，求出生成圆的直径 $a$，并计算它下面的总面积。
把它写成 $\frac{1}{1 + 25x^2} = \frac{1/25}{x^2 + 1/25}$。直径为 $a$ 的阿涅西曲线是 $\frac{a^3}{x^2 + a^2}$；取 $a^2 = \frac{1}{25}$，即 $a = \frac{1}{5}$，它变成 $\frac{1/125}{x^2 + 1/25}$，正好是龙格函数的 $\frac{1}{5}$。所以龙格函数是在竖直方向拉伸了 5 倍的箕舌线。面积为 $5 \cdot \pi a^2 = 5 \cdot \frac{\pi}{25} = \frac{\pi}{5}$。也可以用代换 $u = 5x$：$\int \frac{dx}{1 + 25x^2} = \frac{1}{5}\int \frac{du}{1 + u^2} = \frac{\pi}{5}$。
练习：谱线的宽度
一条谱线具有洛伦兹线型 $I(x) = \frac{I_0}{1 + \left(\frac{x - x_0}{\gamma}\right)^2}$。在哪些 $x$ 值处，强度降到最大值的一半？谱线的半高宽是多少？
最大值是 $I_0$，在 $x = x_0$ 处。它的一半 $\frac{I_0}{2}$ 出现在 $\left(\frac{x - x_0}{\gamma}\right)^2 = 1$ 时，即 $x = x_0 \pm \gamma$。半高宽为 $2\gamma$。这与我们在箕舌线上看到的结果相同：箕舌线在 $x = \pm a$ 处达到一半高度。
来源： Massimo Mazzotti，The World of Maria Gaetana Agnesi, Mathematician of God（2007） · Paula Findlen，“Calculations of Faith: Mathematics, Philosophy, and Sanctity in Eighteenth-Century Italy (New Work on Maria Gaetana Agnesi)”，Historia Mathematica 38（2011） · Carl Runge，“Über empirische Funktionen und die Interpolation zwischen äquidistanten Ordinaten”，Zeitschrift für Mathematik und Physik 46（1901） · 阿涅西传记，MacTutor。