Euler's Eyes
2026-10-30
拉普拉斯的遗产
每当我在拉普拉斯的书页上看到“由此显然可见”这句话，我就确信，自己面前有几个小时的艰苦工作，要去填补这道鸿沟，弄清楚并说明它是怎样显然可见的。
— 纳撒尼尔·鲍迪奇，谈《天体力学》
很少有数学家的名字出现在这么多东西上。一个工科学生在毕业之前会遇到拉普拉斯三四次，而且几乎总是不知道他是谁。
以他命名的东西
- 拉普拉斯算子 $\nabla^2 = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}$，出现在热、波、电和量子力学的方程中，也出现在锐化边缘的图像滤波器里。
- 拉普拉斯变换，电路、控制和信号领域的标准工具。
- 拉普拉斯分布，密度为 $\frac{1}{2}e^{-|x|}$，他在 1774 年把它作为误差律提出。它的形状像两条指数曲线在一个尖顶处粘在一起；今天它用于稳健统计和差分隐私，在不泄露个人信息的前提下给数据加噪声。
- 杨-拉普拉斯压强 $\Delta P = \gamma\left(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}\right)$，给出表面张力为 $\gamma$、曲率半径为 $R_1$ 和 $R_2$ 的曲面两侧的压强差。托马斯·杨在 1805 年得到这个想法，拉普拉斯在 1806 年给出了数学形式。它解释了为什么小气泡的内部压强更大，以及为什么水会在细管中上升。
- 行列式的拉普拉斯展开、积分的拉普拉斯方法，以及始终指向轨道近日点的拉普拉斯-龙格-楞次矢量。
阿尔克伊学派
拉普拉斯想像处理天文学那样解释全部物理学：用粒子之间的力，加以精确计算。从 1806 年起，他在阿尔克伊的乡间别墅——紧挨着化学家克劳德·路易·贝托莱的家——聚集了一批年轻科学家，组成阿尔克伊学会。西梅翁-德尼·泊松、让-巴蒂斯特·毕奥和弗朗索瓦·阿拉戈在那里工作过；约瑟夫·傅里叶曾是他的学生。拉普拉斯的纲领最终在几个方面失败了，比如光，奥古斯丁·菲涅耳的波动说战胜了微粒说；又比如热，热质说被抛弃了。但在整个物理学中要求精确数学的态度保留了下来。
译者们
《天体力学》以难懂著称。拉普拉斯常常跳过步骤，在需要好几页计算的地方写上“容易看出”。美国人纳撒尼尔·鲍迪奇是马萨诸塞州塞勒姆一位自学成才的航海家和精算师，他在 1829 年到 1839 年间把前四卷译成英文，并加上填补空白的评注：评注比原文还长。在英国，苏格兰人玛丽·萨默维尔于 1831 年出版了《天体的机制》，这是对这部著作的讲解版，在剑桥被使用了几十年。通过这两本书，一代又一代说英语的读者学会了天体力学。
地方
拉普拉斯是名字刻在埃菲尔铁塔上的 72 位法国科学家和工程师之一。在月球上，拉普拉斯海角是雨海边缘的一个岬角；小行星 4628 拉普拉斯也以他命名。在他的故乡博蒙昂诺日，有一座纪念他的雕像。
不过，最深远的遗产也许是一种态度。拉普拉斯证明了天空可以预测，不确定性可以度量。他著作的两半——天体力学和概率——看似对立，一半属于决定论，一半属于偶然。对他来说，它们是一回事：把数学用于一切可以知道的东西，也用于不知道的东西。他写道，概率是“化为计算的常识”。
练习：拉普拉斯分布的面积
证明 $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{2}e^{-|x|}\,dx = 1$。
函数是对称的，所以积分是从 0 到 $\infty$ 的积分的两倍：
$$2 \cdot \frac{1}{2}\int_0^{\infty} e^{-x}\,dx = \Big[-e^{-x}\Big]_0^{\infty} = 0 - (-1) = 1.$$练习：肥皂泡里的压强
一个肥皂泡半径 $R = 1$ 厘米，液膜的表面张力 $\gamma = 0.025$ 牛/米。泡内外的压强差是多少？
对球面，$R_1 = R_2 = R$，每个表面贡献 $\frac{2\gamma}{R}$。肥皂膜有两个表面，内表面和外表面，所以 $\Delta P = \frac{4\gamma}{R} = \frac{4 \times 0.025}{0.01} = 10$ 帕。若 $R = 2$ 厘米，压强差降为 5 帕：泡越小，内部压强越大。所以，如果用一根管子把两个大小不同的泡连起来，小泡会把气排进大泡里。
来源： Nathaniel Bowditch（译），Mécanique céleste by the Marquis de La Place，四卷（1829–1839），附 N. I. Bowditch 所写的译者传记 · Mary Somerville，The Mechanism of the Heavens（1831） · Robert Fox，“The Rise and Fall of Laplacian Physics”，Historical Studies in the Physical Sciences 4（1974） · Stephen M. Stigler，The History of Statistics（1986） · Charles C. Gillispie，Pierre-Simon Laplace（1997）。