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阿基米德的一生

年表 约前 287生于叙拉古，父亲是天文学家菲狄亚斯。 约前 270希伦二世成为叙拉古的统治者，后来自立为王。 约前 250大约在这时，他写信给亚历山大的萨摩斯人科农和多西修斯，寄去自己的研究成果。 约前 240写给亚历山大的埃拉托色尼一封信，也就是我们所知的《方法》。 前 215希伦去世。叙拉古与迦太基结盟，对抗罗马。 前 214罗马将军马塞卢斯开始围攻叙拉古。阿基米德的机械保卫着这座城市。 前 212叙拉古陷落。阿基米德被一名罗马士兵杀死。 前 75西塞罗作为罗马官员在西西里任职，重新找到了他的坟墓。 西西里的一座希腊城市 阿基米德约在公元前 287 年生于西西里东海岸的叙拉古。这个年份来自 12 世纪的拜占庭作家约翰·策策斯，他说阿基米德享年 75 岁。当时叙拉古是希腊世界最大的城市之一，有两个港口，古城的中心是一座设防的小岛奥提伽。 从海上望去的奥提伽岛，它是古代叙拉古的核心。Andrea Schaffer · Wikimedia Commons · CC BY 2.0 我们对他家庭的了解，几乎都来自他自己的一句话。在《数沙者》中，阿基米德引用太阳大小的估计时，提到“我的父亲菲狄亚斯”，一位天文学家。普鲁塔克说，他是希伦二世国王的亲戚和朋友，而希伦统治叙拉古超过五十年。 寄往亚历山大的信 希腊科学的伟大中心是埃及的亚历山大，那里有缪斯宫和图书馆。阿基米德年轻时很可能在那里求学。可以确定的是，回到叙拉古后，他一直和亚历山大的数学家保持联系：他的许多著作都以书信开头，收信人是天文学家萨摩斯的科农，科农去世后是他的学生多西修斯，还有地理学家昔兰尼的埃拉托色尼，就是那位测量了地球周长的人。 这些信透露了他的性格。阿基米德把定理的陈述寄给同行，却不附证明，好让他们自己去证。在其中一封信里，他承认自己故意放进了两个错误的结果，用来揭穿那些声称一切都是自己发现的人。 沉思的阿基米德，多梅尼科·费蒂约 1620 年所绘。阿基米德没有可靠的古代肖像，他所有的形象都是想象出来的。Domenico Fetti · Wikimedia Commons · 公有领域 国王的工程师 对希伦来说，阿基米德也是一位工程师。金王冠和“尤里卡”的故事就发生在宫廷里。普鲁塔克说，阿基米德声称用一定的力可以移动任何重物，国王便要他证明。他选了一艘刚造好的货船，这艘船要很多人才能推下水。他让人在船上装满乘客和货物，自己坐在远处，用手拉动一套滑轮的一端，就让船平稳地滑动起来，仿佛已经在水里。这就是杠杆定律的实际应用。 围城 希伦于公元前 215 年去世，正值罗马与迦太基交战。他的继任者倒向了迦太基一边。公元前 214 年，罗马将军马库斯·克劳狄乌斯·马塞卢斯从海陆两路进攻叙拉古。古代历史学家波利比乌斯、李维和普鲁塔克都描述了罗马人面对阿基米德的机械时的惊恐：射程各不相同的投石机、往下砸石头的吊车，还有一只能抓起船头再猛然放下的铁爪。据普鲁塔克说，士兵们一看到城墙上露出一根绳子或一根木梁，就吓得逃跑。直到公元前 212 年，这座城市才因为一次节庆中的疏忽而陷落。 死在图形前 据说马塞卢斯曾下令饶过阿基米德。但在劫掠城市时，一名士兵找到了他。普鲁塔克给出了几种说法，其中最有名的是：阿基米德全神贯注于一个问题，根本没有察觉敌军入城，他请士兵等他把证明做完，士兵一怒之下杀了他。后来，拉丁作家让他说出了那句“别弄乱我的圆”。 阿基米德与罗马士兵，一幅仿古风格的镶嵌画。长期以来人们以为它是罗马时代的作品，其实是 18 世纪制作的。作者不详 · Wikimedia Commons · 公有领域 重新找到的坟墓 阿基米德曾要求在他的墓上刻一个圆柱内的球，并写上两者体积之比：这是他最引以为傲的成果，我们在球与圆柱中讲述。公元前 75 年，西塞罗在西西里担任财务官，去寻找这座连叙拉古人自己都已遗忘的坟墓。他在城门附近找到了它，它被荆棘覆盖，他凭着一根刻有球与圆柱的小柱子认出了它，并让人清理干净。此后，坟墓再次失落。今天叙拉古那座被称为“阿基米德墓”的建筑，是晚得多的罗马时代墓葬。

October 29, 2026 阅读
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尤里卡：国王的王冠与阿基米德原理

关于阿基米德最有名的故事，并不见于他的任何一本书。它是两个世纪后罗马建筑师维特鲁威在《建筑十书》第九书里讲的。 希伦的王冠 希伦国王定做了一顶献给神的王冠，交给金匠一定数量的金子。王冠做好了，重量和交出去的金子一样。但有传言说，金匠私吞了一部分金子，换上了同样质量的银。希伦请阿基米德在不损坏王冠的前提下查明真相。 据维特鲁威说，阿基米德正想着这个问题时，跨进一个满满的浴盆，看到身体下沉时水溢了出来。他当即明白了该怎么做，光着身子跑回家，用希腊语大喊 heúreka, heúreka：“我找到了，我找到了”。 维特鲁威的方法 在维特鲁威的版本里，办法是比较体积。银的密度比金小：同样质量的银，体积几乎是金的两倍。如果王冠里掺了银，它的体积就会比同质量的纯金块大。要测量形状不规则的物体的体积，只要把它浸入一个盛满水的容器，量出溢出的水即可。 据说阿基米德先放入一块与王冠同质量的纯金，再放入一块银，最后放入王冠本身。王冠溢出的水比纯金多：金匠确实作了弊。 为什么几乎行不通 1586 年，年轻的伽利略·伽利莱写了一篇短文《小天平》，指出了问题所在：体积的差别非常小，用当时的容器足够精确地测出溢出的水，几乎是不可能的。请在下面的练习中算一算。伽利略提出，阿基米德用的应当是一种灵敏得多的方法，所依据的正是他真正证明过的一个结果。 阿基米德原理 在《论浮体》中，阿基米德证明：浸在液体中的物体会受到一个向上的浮力，大小等于被排开液体的重量。比液体密度大的物体会下沉，但显得轻了；比液体密度小的物体会漂浮，浸没的部分使排开的液体与整个物体一样重。 伽利略提出的方法用的是天平。把王冠挂在一个秤盘上，把同质量的纯金块挂在另一个秤盘上。在空气中，天平是平衡的。现在把两者都浸入水中。如果王冠的体积更大，它排开的水更多，受到的浮力更大，就会上升：天平向纯金那边倾斜。浮力之差直接作用在天平上，而普通天平比水位灵敏得多。 用现代的话说：质量为 $m$、体积为 $V$ 的物体浸在水中（密度 $\rho_a = 1$ 克/立方厘米），视重为 $$m - \rho_a V.$$ 像船一样漂浮 《论浮体》远不止讲浮力。在第二卷中，阿基米德研究了旋转抛物体（一种与船体相似的形状）在什么姿态下能稳定漂浮、在什么姿态下会翻覆。这是对船舶稳定性的第一次数学研究，直到 18 世纪，造船工程师才重新以同样的深度探讨这个问题。这部著作已知唯一的希腊文抄本保存在阿基米德重写本中。 练习：王冠的体积王冠重 1000 克。金的密度为 19.3 克/立方厘米，银为 10.5 克/立方厘米。纯金王冠的体积是多少？含 700 克金和 300 克银的王冠呢？如果容器的口是直径 20 厘米的圆，水面会多升高多少？ 纯金：$\frac{1000}{19.3} \approx 51.8$ 立方厘米。掺银的王冠：$\frac{700}{19.3} + \frac{300}{10.5} \approx 36.3 + 28.6 = 64.8$ 立方厘米。差约 13 立方厘米。容器口的面积为 $\pi \cdot 10^2 \approx 314$ 平方厘米，所以水面只会多升高 $\frac{13}{314} \approx 0.04$ 厘米：不到半毫米。这就是伽利略怀疑维特鲁威说法的原因。

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杠杆定律

早在阿基米德之前，人们就已经用杠杆撬石头、从井里打水、称量货物。阿基米德的新贡献，是把杠杆变成了一条定理。在《论平面图形的平衡》中，他从几条简单的公理出发，例如“等重物在等距离处平衡”，像欧几里得的《几何原本》那样推导出一般定律。 定律 无论是可公度的还是不可公度的量，当它们到支点的距离与它们的重量成反比时，就处于平衡。 — 阿基米德，《论平面图形的平衡》，第一卷，命题 6 与 7 如果重量 $P_1$ 在支点一侧距离 $d_1$ 处，重量 $P_2$ 在另一侧距离 $d_2$ 处，杠杆平衡的条件是 $$\frac{P_1}{P_2} = \frac{d_2}{d_1} \quad\Longleftrightarrow\quad P_1\,d_1 = P_2\,d_2.$$离支点远的小重物可以平衡离支点近的大重物。乘积 $P \cdot d$，今天称为力矩，正是两边必须相等的量。 请启用 JavaScript 以使用这个交互图形。完整的推理见正文。 证明的思路 最简单的情形可以说明论证的精神。假设左边距支点 1 处有一个 2 单位的重物，右边距支点 2 处有一个 1 单位的重物。把 2 单位的重物换成两个分开的单位重物，一个正好在支点上，另一个在左边距离 2 处。这两个重物的重心仍在距离 1 处，所以根据一条公理，平衡不变。但现在我们有三个相等的重物，位于 $-2$、$0$ 和 $+2$：一排关于支点对称的重物，显然是平衡的。阿基米德把这种推理推广到任意可公度的重量，把它们分成相等的单位；再用反证法推广到不可公度的情形。 重心 同一部著作还教人求平面图形的重心：图形放在针尖上能保持平衡的那一点。例如，阿基米德证明三角形的重心是三条中线的交点，位于每条中线从顶点算起的三分之二处。把整个图形看作重量集中在一点上，这个想法是他用来发现自己最伟大公式的方法的关键。 用杠杆撬动地球的阿基米德，伦敦《机械杂志》1824 年的版画。Mechanics Magazine · Wikimedia Commons · 公有领域 给我一个支点 “给我一个支点，我就能撬动地球”这句话，是 4 世纪的亚历山大的帕普斯记录下来的，离阿基米德已经五百多年，用的是多利斯方言，也就是叙拉古的方言。普鲁塔克讲的是实际的版本：据说阿基米德为了向希伦展示滑轮和杠杆的威力，独自一人把一艘满载的船推下了水。这句话是故意夸张的，下一个练习会说明原因。

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圆的度量与圆周率 π

所有圆的周长与直径之比都相同，这在阿基米德之前就已为人所知。不确定的是这个比值，也就是我们今天所说的 $\pi$，到底是多少：巴比伦人有时用 $3\frac{1}{8}$，埃及人用的数接近 $3.16$。在短篇著作《圆的度量》中，阿基米德做了两件事：把圆的面积与周长联系起来，并说明怎样把 $\pi$ 算到任意想要的精度。 圆的面积 第一个命题说，圆的面积等于一个直角三角形的面积，这个三角形的两条直角边分别是半径 $r$ 和周长 $C$： $$A = \frac{1}{2}\,r\,C.$$思路是把圆切成很薄的扇形，像切比萨一样，注意到每一片几乎都是一个高为 $r$ 的三角形。阿基米德用穷竭法给出了严格的证明：他证明这个面积既不能大于也不能小于那个三角形的面积。由于 $C = 2\pi r$，公式就变成了熟悉的 $A = \pi r^2$。 夹在两个多边形之间 为了估计 $\pi$，阿基米德在圆内作内接正多边形，在圆外作外切正多边形。里面多边形的周长小于圆周，外面多边形的周长大于圆周。除以直径，$\pi$ 就被夹在两个可以计算的数之间。 他从正六边形开始。内接正六边形的周长是 $6r$，即 $3$ 个直径；外切正六边形的周长是 $4\sqrt{3}\,r \approx 6.93\,r$。然后他把边数加倍：12、24、48，最后是 96。每一步，他都利用 $n$ 边形与 $2n$ 边形之间的一个几何关系。 请启用 JavaScript 以使用这个交互图形。完整的推理见正文。 最终结果是 $$3 + \frac{10}{71} < \pi < 3 + \frac{1}{7}, \qquad \text{即} \qquad 3.1408 < \pi < 3.1429.$$上界 $\frac{22}{7}$ 变得非常有名，至今仍是学校里常用的 $\pi$ 的近似值。

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抛物线弓形的求积

对希腊人来说，“化方”一个图形，就是找一个与它面积相同的正方形或其他直线图形。化圆为方是最典型的不可能问题。阿基米德却成功地把一个曲线图形化成了方：抛物线弓形，即抛物线与一条弦之间的区域。 由一条直线和一个直角圆锥截线围成的任何弓形，都等于与它同底同高的三角形的三分之四。 — 阿基米德，《抛物线求积》，致多西修斯的信 “直角圆锥截线”是阿基米德对抛物线的称呼。这本书是在科农去世后献给多西修斯的，据说阿基米德最先把这个结果给科农看过。 三角形里的三角形 画出弦，再在弧上找到切线与弦平行的那一点。这三个点构成一个三角形，面积为 $T$，占据了弓形的大部分。剩下两个小区域，在三角形的两边与曲线之间。在每个小区域里做同样的事：再作一个三角形，第三个顶点在抛物线上。又剩下四个更小的区域，如此继续下去。 阿基米德的发现是：每一对新三角形加起来，面积是生成它们的那个三角形的四分之一。所以第一步得到 $T$，第二步 $\frac{T}{4}$，第三步 $\frac{T}{16}$，总面积是 $$T + \frac{T}{4} + \frac{T}{16} + \frac{T}{64} + \cdots$$ 请启用 JavaScript 以使用这个交互图形。完整的推理见正文。 无穷多项相加 阿基米德没有说“无穷和”，他小心地回避无穷。他证明的是关于有限和的一个事实：对任意项数， $$1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \cdots + \frac{1}{4^n} + \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{4^n} = \frac{4}{3}.$$也就是说，离 $\frac{4}{3}$ 还差的总是最后一项的三分之一，而它可以想要多小就有多小。然后，他用双重反证法证明，弓形的面积既不能大于也不能小于 $\frac{4}{3}T$。这就是从欧多克索斯那里继承来的穷竭法，也是极限概念的直接祖先。 用微积分验证 用今天的工具，这个计算一步就能完成。对抛物线 $y = 1 - x^2$，弦在 $x$ 轴上，从 $-1$ 到 $1$： $$\int_{-1}^{1} (1 - x^2)\,dx = \left[x - \frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{1} = \frac{4}{3}.$$内接三角形的底为 2，高为 1，即面积 $T = 1$。比值恰好是 $\frac{4}{3}$，正如阿基米德在牛顿和莱布尼茨之前十九个世纪所证明的。

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球与圆柱

希腊几何学家会计算棱柱、棱锥、圆柱和圆锥的体积，球却一直是个难题。在分两卷的《论球与圆柱》中，阿基米德解决了这个问题，并发现了一些简单得出奇的关系。 定理 把经过球心的圆，比如赤道，称为大圆。阿基米德证明了： 球的表面积是大圆面积的四倍：$S = 4\pi r^2$； 球的体积是一个以大圆为底、以半径为高的圆锥体积的四倍：$V = 4 \cdot \frac{1}{3}\pi r^2 \cdot r = \frac{4}{3}\pi r^3$。 由此他得出了最让他着迷的推论。考虑恰好包住球的圆柱，半径为 $r$，高为 $2r$。它的体积是 $\pi r^2 \cdot 2r = 2\pi r^3$，算上两个底面的总表面积是 $2\pi r \cdot 2r + 2\pi r^2 = 6\pi r^2$。所以 $$\frac{V_{\text{球}}}{V_{\text{圆柱}}} = \frac{\frac{4}{3}\pi r^3}{2\pi r^3} = \frac{2}{3}, \qquad \frac{S_{\text{球}}}{S_{\text{圆柱}}} = \frac{4\pi r^2}{6\pi r^2} = \frac{2}{3}.$$球的体积和表面积都是圆柱的三分之二。 13 世纪《论球与圆柱》拉丁文抄本的几页。正是在那个时代，阿基米德的著作从希腊文译成了拉丁文。拉丁文抄本，约 1270 年 · Wikimedia Commons · 公有领域 像罐头标签一样的表面 有一种看出表面积结果的方式，阿基米德本人就知道。用两个非常接近的水平面去截球和圆柱。两平面之间的球带与圆柱带面积相同：球越窄的地方，球带越倾斜，因而越宽，两种效应恰好抵消。把所有的带加起来，球的表面积就等于圆柱的侧面积 $2\pi r \cdot 2r = 4\pi r^2$。

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《方法》与重写本

阿基米德的书里有完美的证明，却不说他是怎样得到这些结果的。许多世纪以来，数学家们一直怀疑他有一种秘密的方法。他们猜对了，而这种方法是在最意想不到的地方找到的。 致埃拉托色尼的信 有些东西我最初是用力学的方法弄清楚的，之后还必须用几何来证明，因为用这种方法所做的研究并不构成证明。但是，先用这种方法对问题有了一些了解，再去找证明，当然比毫无了解时容易得多。 — 阿基米德，《方法》，致埃拉托色尼的信 我们称之为《关于力学定理的方法》的这篇著作，是写给地理学家昔兰尼的埃拉托色尼的一封信。在信中，阿基米德透露了他的做法：把图形想象成由无穷多个极薄的薄片组成，并在杠杆上称量它们，把它们与一个已知图形的薄片逐片比较。 称量球 最漂亮的例子是球。把半径为 $r$ 的球，以及底面半径为 $2r$、高为 $2r$ 的圆锥和圆柱，沿杠杆的臂放置，使它们的轴与臂重合。在距支点 $x$ 处，用一个垂直于臂的平面把它们都切开。用一点几何知识可知，球的截面面积为 $\pi\left(2rx - x^2\right)$，圆锥的为 $\pi x^2$，圆柱的为 $\pi (2r)^2 = 4\pi r^2$。于是 $$\text{球的截面} + \text{圆锥的截面} = \pi \cdot 2rx.$$阿基米德把球和圆锥的截面移到杠杆另一端、距支点 $2r$ 处，而把圆柱的截面留在原处，距离为 $x$。两边力矩相等： $$2r \cdot \pi \cdot 2rx = x \cdot 4\pi r^2.$$由于每一片都是如此，整个球和圆锥挂在距离 $2r$ 处，就与重心在距离 $r$ 处的整个圆柱平衡。根据杠杆定律： $$2r\,(V_{\text{球}} + V_{\text{圆锥}}) = r\,V_{\text{圆柱}} \quad\Longrightarrow\quad V_{\text{球}} = \frac{1}{2}\cdot 8\pi r^3 - \frac{8}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi r^3.$$这正是他后来在球与圆柱中严格证明的体积。把无穷多个薄片加起来，这是积分学的核心思想，比牛顿和莱布尼茨早了十八个世纪。 祈祷书 大约公元 950 年，君士坦丁堡的一位抄写员把阿基米德的几部著作抄在羊皮纸上。1229 年，一位修士需要羊皮纸来做一本祈祷书：他拆开这部抄本，刮掉墨迹，把每页从中间裁开，转过来，在上面写下祷文。这样重复使用的抄本叫作重写本。

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阿基米德螺线

在同样献给多西修斯的《论螺线》中，阿基米德研究了一种由运动定义的新曲线。 如果平面上一条直线绕它的一个固定端点匀速旋转，并回到出发的位置，同时有一点从固定端点出发沿这条直线匀速运动，那么这个点就在平面上描出一条螺线。 — 阿基米德，《论螺线》，定义 方程 在极坐标中，点到中心的距离 $r$ 与直线转过的角 $\theta$ 成同样比例增长： $$r = a\,\theta.$$每转一整圈，半径增加同样的量 $2\pi a$，所以相邻各圈间距相等，就像黑胶唱片的纹路，或者盘在地上的水管。 圆的三分之一 阿基米德计算了半径在第一圈中扫过的面积。方法仍是穷竭法：把一圈分成许多窄的扇形，一些在曲线内，一些在曲线外，再把它们加起来。用现代记号，角为 $d\theta$、半径为 $r$ 的扇形面积为 $\frac{1}{2}r^2\,d\theta$，于是 $$A = \int_0^{2\pi} \frac{1}{2}(a\theta)^2\,d\theta = \frac{a^2}{2}\cdot\frac{(2\pi)^3}{3} = \frac{4}{3}\pi^3 a^2.$$以第一圈末端的半径 $R = 2\pi a$ 为半径的圆，面积为 $\pi R^2 = 4\pi^3 a^2$。螺线的面积恰好是它的三分之一： $$\frac{A}{\pi R^2} = \frac{\frac{4}{3}\pi^3 a^2}{4\pi^3 a^2} = \frac{1}{3}.$$为了得到这个结果，阿基米德需要一个关于平方和 $1^2 + 2^2 + \cdots + n^2$ 的公式，它相当于说这个和介于 $\frac{n^3}{3}$ 与 $\frac{(n+1)^3}{3}$ 之间。在微积分中，正是这个和给出了 $\int x^2\,dx = \frac{x^3}{3}$。 请启用 JavaScript 以使用这个交互图形。完整的推理见正文。

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数沙者

革隆王啊，有些人认为沙粒的数目是无穷的。我要向你证明，我所命名的数中，有一些不仅超过能填满大地的沙粒数，甚至超过能填满宇宙的沙粒数。 — 阿基米德，《数沙者》，致革隆国王的信 《数沙者》是写给希伦国王之子革隆的一封信，也是阿基米德唯一一部为非数学家读者写的书。问题是要证明：存在一个数，比填满整个宇宙所需的沙粒数还要大。 没有名字的数 难点不在计算，而在命名。希腊的记数法用字母表示数字，实际上只能写到万（myriad），即 10 000。“万万”，即 $10^8$，已经是一个巨大的数了。阿基米德提出继续往上： 不超过 $10^8$ 的数构成第一级； 把 $10^8$ 当作新的单位，不超过 $10^8 \cdot 10^8 = 10^{16}$ 的数构成第二级； 依此类推，直到第 $10^8$ 级，它结束于 $\left(10^8\right)^{10^8} = 10^{800\,000\,000}$。 所有这些级构成第一周期。阿基米德又继续用周期往上数，一直到 $10^{8 \cdot 10^{16}}$。本质上，这就是把底数的幂当作台阶，也正是科学记数法背后的思想。 宇宙的大小 要填满宇宙，就得知道宇宙有多大。阿基米德采用了当时天文学家所提出的最大的宇宙：萨摩斯的阿里斯塔克斯的宇宙，他把太阳放在中心，地球绕着太阳转。在这个模型里，恒星必须远到在一年之中察觉不到它们有任何视位移。 哥白尼之前的日心说 阿里斯塔克斯论述这个问题的著作已经失传。我们对他以太阳为中心的模型的了解，主要来自《数沙者》中的这一段：阿基米德概述了这个假说，把它当作最极端的情形来使用。十八个世纪后，哥白尼知道阿里斯塔克斯的想法，甚至在《天体运行论》的手稿中提到过他，但那一段在印刷版中被删掉了。 接着，阿基米德做了估计，而且总是往安全的一边夸大：一粒罂粟籽里能装多少沙粒，一指宽能排多少粒罂粟籽，一斯塔德（约 180 米）有多少指宽，宇宙的直径有多少斯塔德。把这些全部乘起来，他得出阿里斯塔克斯的宇宙能装下的沙粒少于 $$10^{63} \text{ 粒}.$$这是第一周期中第八级的一个数，离他所发明系统的极限还远得很。 国王为什么想知道这个 这本书是关于无穷本身的一课。许多人把“非常大”和“无穷”混为一谈。阿基米德说明，即使是看似无法想象的数量，也有一个数，数学能给它命名，还能超越它。同时，这本书也汇集了当时的天文知识：太阳、月亮和地球的大小，甚至还有阿基米德本人对太阳视直径的测量。 练习：万用 10 的幂表示一万、万万，以及第二级的最后一个数。 一万：$10^4$。万万：$10^4 \cdot 10^4 = 10^8$，第一级的终点。第二级以 $10^8$ 为单位，一直到 $10^8 \cdot 10^8 = 10^{16}$。 练习：一个现代的数据估计，可观测宇宙中约有 $10^{80}$ 个原子。这个数落在阿基米德系统的哪一级？ 第 $k$ 级从 $10^{8(k-1)}$ 到 $10^{8k}$。对 $10^{80}$，需要 $8(k-1) < 80 \le 8k$，即 $k = 10$：$10^{80}$ 恰好是第一周期第十级的最后一个数。阿基米德为数沙而创造的系统，用来数宇宙中的原子仍然绰绰有余。

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螺旋泵、铁爪与镜子

普鲁塔克写道，阿基米德认为工程是一种次要的活动，他也没有留下任何关于自己机械的著作。尽管如此，正是这些机械让他在同时代人中出了名。古代文献描述了好几种，可信程度相差很大。 阿基米德螺旋泵 一个倾斜的圆筒，里面有一条螺旋，或者外面缠着一根螺旋形的管子，下端浸在水中。转动圆筒时，每一份水都被困在螺旋的一道褶里，一圈一圈地往上升，最后从上端流出来。公元前 1 世纪的历史学家西西里的狄奥多罗斯把这项发明归于阿基米德，说是他在埃及逗留期间发明的，那里人们用这种机械灌溉尼罗河两岸的田地，也用来排出矿井里的水。 最简单形式的阿基米德螺旋泵：一根螺旋缠绕在倾斜圆柱上的管子，1908 年的插图。Chambers’s Twentieth Century Dictionary · Wikimedia Commons · 公有领域 有些历史学家认为这种装置更古老，阿基米德只是改进或推广了它。无论如何，螺旋泵至今仍在使用：污水处理厂用它提升污泥，而巨大的螺旋反向转动时，就成了建在落差很小的河流上的小型水电站。 保卫叙拉古 在围城之后不到一个世纪写作的波利比乌斯是最可靠的来源。据他说，阿基米德准备了各种尺寸的投石机，可以在任何距离上打击罗马战船；在城墙上开了一掌宽的小射孔，弓箭手可以从中射击而不暴露自己；还造了吊车，从城墙上把巨石或铅块砸到船上。 最可怕的机械是铁爪：一根臂上装着铁钩，系在链子上，能钩住船头，借杠杆的配重把它吊起，再突然松开，使船翻覆或沉没。波利比乌斯说，马塞卢斯苦笑着开玩笑，说阿基米德把他的船当作勺子，从海里舀水。 燃烧镜 阿基米德用镜子聚集阳光烧毁罗马舰队的故事，在波利比乌斯、李维和普鲁塔克的书中都没有出现。它出现在晚得多的作者笔下，最详细的记载来自 12 世纪的拜占庭人约翰·策策斯。现代试验的结果并不确定。2005 年，麻省理工学院的学生用 127 面平面镜，在强烈的阳光和晴朗的天空下照射了几分钟，点燃了 30 米外一个静止的木质船体。电视节目《流言终结者》试了好几次，结论是对付移动中的船，这种方法行不通。大多数历史学家把这个故事当作传说。 天象仪 西塞罗说，在叙拉古的战利品中，马塞卢斯只给自己带回罗马一件东西：阿基米德制作的一个球仪，能显示太阳、月亮和行星的运动，甚至能显示日月食。在安提基特拉岛附近的一艘沉船中发现了一台公元前 2 世纪的希腊齿轮装置，能计算天体位置，此后这段描述就更可信了。没有证据表明这台装置与阿基米德有关，但它说明这类机械在希腊工程师的能力范围之内。 练习：螺旋泵的流量一台阿基米德螺旋泵每分钟转 30 圈，螺旋每转一圈带上 2 升水。它一小时能提升多少立方米水？要灌满一个 10 立方米的蓄水池需要转多少圈？ 每分钟：$30 \times 2 = 60$ 升。每小时：$60 \times 60 = 3600$ 升，即 $3.6$ 立方米。10 立方米 = 10 000 升，需要 $\frac{10\,000}{2} = 5000$ 圈，约 2 小时 47 分钟。

October 29, 2026 阅读
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阿基米德的遗产

理解了阿基米德和阿波罗尼奥斯的人，对当今最伟大人物的发现就不会那么惊叹了。 — 戈特弗里德·威廉·莱布尼茨 手稿 阿基米德留下的东西，是靠一根细线传到我们手中的。他几乎全部著作都依赖三部拜占庭希腊文抄本。其中两部，学者称为抄本 A 和抄本 B，在文艺复兴时期被抄录或翻译之后就失传了；第三部是重写本，一直藏在一本祈祷书下面。1269 年，多明我会修士穆尔贝克的威廉把希腊文本译成拉丁文，通过这个译本，阿基米德开始在欧洲的大学里被人阅读。希腊文本的第一个印刷版于 1544 年在巴塞尔出版。 继承者 文艺复兴和科学革命时期的科学家把他当作老师来读。伽利略以《小天平》开始了自己的学术生涯，这是一篇关于希伦王冠的文章；他还追随阿基米德的脚步研究固体的重心。开普勒用无穷小薄片的思想计算酒桶的容积。卡瓦列里、费马、帕斯卡和沃利斯在发展通向微积分的方法时，都是从阿基米德的面积和体积出发的。1906 年重新发现《方法》后，人们才看清他曾离微积分多么近：在杠杆上称量的薄片，本质上就是积分。 数学最高奖菲尔兹奖章的正面，有阿基米德的侧面像和拉丁文铭文 Transire suum pectus mundoque potiri，意为“超越自我，掌握世界”。Stefan Zachow，为国际数学联盟拍摄 · Wikimedia Commons · 公有领域 奖章上的面孔 菲尔兹奖章每四年颁发一次，授予不超过 40 岁的数学家，奖章上有加拿大雕塑家罗伯特·泰特·麦肯齐 1933 年创作的阿基米德侧面像。背面是一个内切于圆柱的球，就像叙拉古的那座坟墓，还有拉丁文铭文：“来自全世界的数学家们，为杰出的著作颁发此奖”。 名字 月球上的阿基米德环形山直径 82 千米，位于雨海的边缘。小行星 3600 Archimedes 以他命名，螺旋泵、原理、螺线也都以他命名，还有有时被称为阿基米德常数的常数，也就是 $\pi$ 本身。尤里卡（eureka）一词进入了几乎所有语言，成为发现时的欢呼，也是美国加利福尼亚州的州训。 怀特海的话 英国哲学家、数学家阿尔弗雷德·诺思·怀特海在 1911 年写道，阿基米德死于罗马士兵之手，象征着一个世界的转变：“没有一个罗马人是因为沉迷于思考一幅数学图形而丧命的。”罗马人是伟大的工程师，却没有产生能与希腊人比肩的数学家。阿基米德之死在某种意义上标志着古代数学最富创造力的时代的结束。 练习：环形山阿基米德环形山的直径是 82 千米。假设它是圆形的，面积是多少？用阿基米德的界限 $\pi < \frac{22}{7}$ 得到一个偏大的估计。 面积为 $\pi r^2$，$r = 41$ 千米。取 $\pi \approx 3.1416$：$3.1416 \times 1681 \approx 5281$ 平方千米。用 $\frac{22}{7}$：$\frac{22}{7} \times 1681 \approx 5283$ 平方千米，稍大一些，理应如此。在五千多平方千米中，差别只有 2 平方千米。

October 29, 2026 阅读
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历史图片与照片 全部来自维基共享资源（Wikimedia Commons）。我们使用共享资源提供的文件或缩略图，最大缩小到 800 像素宽，未作其他编辑。 沉思的阿基米德，多梅尼科·费蒂绘（约 1620）：原始页面 · 公有领域。 叙拉古的奥提伽岛，Andrea Schaffer 摄：原始页面 · CC BY 2.0。 阿基米德与罗马士兵，18 世纪仿古镶嵌画：原始页面 · 公有领域。 用杠杆撬动地球的阿基米德，《机械杂志》版画（伦敦，1824）：原始页面 · 公有领域。 《论球与圆柱》拉丁文抄本（约 1270）：原始页面 · 公有领域。 西塞罗发现阿基米德的坟墓，皮埃尔-亨利·德·瓦朗谢讷绘（1787）：原始页面 · 公有领域。 阿基米德重写本的一页，沃尔特斯艺术博物馆：原始页面 · CC BY 3.0。 阿基米德螺旋泵，《钱伯斯二十世纪词典》插图（1908）：原始页面 · 公有领域。 菲尔兹奖章，Stefan Zachow 为国际数学联盟拍摄：原始页面 · 公有领域。 本站绘图 封面和四幅交互图（杠杆、夹住 π 的多边形、抛物线求积的三角形、螺线）都是本站原创插图，文字有网站每种语言的版本。 记录 文件 data/arquimedes_imagens.json 记录了每张下载图片的来源、许可、核实日期和 SHA-256 哈希值。各主题的历史资料来源列在每篇文章末尾。 阿基米德的全部主题 · ← 阿基米德的遗产

October 30, 2026 阅读