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テスト — 方程式

三角方程式と区間上の解 (第 VII 章)。 Teste 122FUVEST-77 範囲 $\frac{\pi}{2} \le x \le \pi$、方程式 $\sqrt{1 - \operatorname{sen}^2 x} + \cos x = -\sqrt{2}$: a) 解決策を認めないb) 解決策として認められます $x = \frac{3\pi}{4}$c) 解決策として認められます $x = \frac{2\pi}{3}$d) 解決策として認められます $x = \frac{5\pi}{6}$e) 解決策として認められます $x = \pi$ $\sqrt{1 - \operatorname{sen}^2 x} = |\cos x|$、第 2 象限 $|\cos x| = -\cos x$。最初のメンバーは $-\cos x + \cos x = 0 \ne -\sqrt{2}$ の価値があります。 Teste 123PUC-76 式 $\cos\left(3x - \frac{\pi}{5}\right) = 0$ を満たす $x$ の値は ($k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots$) です。 a) $x = \frac{7\pi}{30} + k\frac{\pi}{3}$b) $x = \frac{7\pi}{15} + k\frac{\pi}{3}$c) $x = \frac{7\pi}{2} + k\frac{\pi}{4}$d) $x = \frac{7\pi}{5} + k\frac{\pi}{2}$e) $x = \frac{7\pi}{4} + k\frac{\pi}{6}$ $3x - \frac{\pi}{5} = \frac{\pi}{2} + k\pi \Rightarrow 3x = \frac{7\pi}{10} + k\pi \Rightarrow x = \frac{7\pi}{30} + k\frac{\pi}{3}$.

October 25, 2026 読んだ
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第 VII 章の演習 — 方程式

各方程式について、まず次のことを考えてください。それはどのような基本方程式に帰着しますか?解の族を書いた後、元の方程式の分母を相殺するものがないことを確認してください。 方程式 sin α = sin β 193 方程式を解きます。 a) $\operatorname{sen} x = \operatorname{sen}\dfrac{\pi}{5}$; b) $\operatorname{cossec} x = \operatorname{cossec}\dfrac{2\pi}{3}$; c) $\operatorname{sen} x = 0$; d) $\operatorname{sen} x = \dfrac{1}{2}$; e) $\operatorname{sen} x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$; f) $\operatorname{sen} x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$; g) $\operatorname{sen} x = 1$; h) $\operatorname{sen} x = -1$。 解像度を参照してくださいa) $\operatorname{sen} x = \operatorname{sen}\dfrac{\pi}{5} \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{5} + 2k\pi$ または $x = \pi - \dfrac{\pi}{5} + 2k\pi$。 $\;S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \dfrac{\pi}{5} + 2k\pi \text{ ou } x = \dfrac{4\pi}{5} + 2k\pi\right\}$。 b) $\operatorname{cossec} x = \operatorname{cossec}\dfrac{2\pi}{3} \Rightarrow \dfrac{1}{\operatorname{sen} x} = \dfrac{1}{\operatorname{sen}\frac{2\pi}{3}} \Rightarrow \operatorname{sen} x = \operatorname{sen}\dfrac{2\pi}{3}$、次に $x = \dfrac{2\pi}{3} + 2k\pi$ または $x = \pi - \dfrac{2\pi}{3} + 2k\pi$。 $\;S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \dfrac{2\pi}{3} + 2k\pi \text{ ou } x = \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi\right\}$。 c) $\operatorname{sen} x = 0 = \operatorname{sen} 0 \Rightarrow x = 2k\pi$ または $x = \pi + 2k\pi = (2k + 1)\pi$。 $\;S = \{x \in \mathbb{R} \mid x = k\pi\}$。 d) $\operatorname{sen} x = \dfrac{1}{2} = \operatorname{sen}\dfrac{\pi}{6}$. $\;S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi \text{ ou } x = \dfrac{5\pi}{6} + 2k\pi\right\}$. e) $\operatorname{sen} x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} = \operatorname{sen}\dfrac{5\pi}{4}$、次に $x = \dfrac{5\pi}{4} + 2k\pi$ または $x = \pi - \dfrac{5\pi}{4} + 2k\pi$。 $\;S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \dfrac{5\pi}{4} + 2k\pi \text{ ou } x = -\dfrac{\pi}{4} + 2k\pi\right\}$。 f) $\operatorname{sen} x = \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \operatorname{sen}\dfrac{\pi}{3}$. $\;S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi \text{ ou } x = \dfrac{2\pi}{3} + 2k\pi\right\}$. g) $\operatorname{sen} x = 1 = \operatorname{sen}\dfrac{\pi}{2}$ (2 つのファミリーは一致します)。 $\;S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi\right\}$。 h) $\operatorname{sen} x = -1 = \operatorname{sen}\dfrac{3\pi}{2}$. $\;S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \dfrac{3\pi}{2} + 2k\pi\right\}$.

October 24, 2026 読んだ
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逆循環関数

方程式 $\operatorname{sen} x = \frac{1}{3}$ には無限に多くの解がありますが、それらのどれも注目に値する弧ではありません。解決策をどのように書くか? 「正弦が$\frac{1}{3}$である円弧」 の名前が必要です。問題は、このような円弧が無数に存在することです。名前がa 数値を指定するように、正弦が繰り返されない間隔を選択します。この選択により逆循環関数が定義されます。 歴史 $\operatorname{arc\,sen} x$ — 「正弦が $x$ である弧」という表記は、1729 ではダニエル ベルヌーイによって、1772 ではオーストリアの数学者ヨーゼフ シェルファーによって使用され、ラグランジュと他の作家は18世紀末。電卓で一般的な $\operatorname{sen}^{-1} x$ という表記は、イギリスの天文学者ジョン・ ハーシェルによって、関数の逆関数との類推により 1813 で提案されました。 $\frac{1}{\operatorname{sen} x}$ と混同されるという欠点があるため、本書では $\operatorname{arc\,sen}$ を使用します。 ジョン・ハーシェルとは何者だったのか ジョン ハーシェル (1792 – 1871) は、天王星を発見した天文学者ウィリアム ハーシェルの息子です。まだケンブリッジの学生だった頃、 彼はチャールズ バベッジとジョージ ピーコックとともに分析協会 (1812) を設立しました。この団体は、ニュートンの点 $\dot{y}$ の代わりにライプニッツの微積分表記 $dy/dx$ をイギリスに持ち込もうとしていました。彼らは冗談を言いました。 「大学のドットエイジに対する純粋なD主義の原則」を擁護した（ドットエイジは「老衰」を意味する）。この表記法への取り組みの中で、彼の $\operatorname{sen}^{-1}$ が誕生しました。ハーシェルはケープタウンで 4 年間を過ごし、南半球の空の星の地図を作成し、写真の先駆者の 1 人でした。彼は古代工学植物の青色プロセスであるシアノタイプを発明し、写真、ネガティブ、ポジティブという言葉を広めました。彼はウェストミンスター寺院のニュートンの隣に埋葬されている。 1729ダニエル・ ベルヌーイは「A S」と書きます。サインが与えられた円弧の場合。 1772ジョセフ・ シャーファーはアークを使用します。罪 世紀末。 XVIIIラグランジュらはアークシンを広めました。 1813ジョン・ ハーシェルは$\sin^{-1} x$を提案します。 今日電卓では $\sin^{-1}$ を使用します。ブラジルの本、$\operatorname{arc\,sen}$。 出典: John Herschel (MacTutor) · F. Cajori、数学表記の歴史、vol. II (1929)、§§ 532 – 535 · 関数記号の初期の使用法 (Jeff Miller)。

October 24, 2026 読んだ
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区間と古典方程式の解法

これまでのところ、$\mathbb{R}$ の方程式を解き、無限の解の族を取得しました。ただし、 多くの場合、範囲内の解のみが対象となります。たとえば、$0$ と $\pi$ の間にある三角形の角度などです。そして、特定の方程式は独自の手法が存在するほど頻繁に登場し、 それは古典方程式です。 歴史 $a\operatorname{sen} x + b\cos x = c$ 方程式は、 同じ周期の2 つの振動の和の方程式で、天文学（2 つの円運動の組み合わせ）、波動物理学、電気（位相のずれた交流）に現れます。 $a\operatorname{sen} x + b\cos x$ を単一の変位正弦波、補助角 $\theta$ として書き換えるトリックは、18 世紀の天文学者によってすでに使用されていました。技術者チャールズ スタインメッツが 1893 で交流を複素数として加算できることを示した 19 世紀末に産業上の重要性を獲得しました。各正弦波は長さ (振幅) と傾き (位相) を持つ矢印になり、振動の加算は矢印の加算になります。これはまさに $a\operatorname{sen} x + b\cos x = \sqrt{a^2 + b^2}\,\operatorname{sen}(x + \theta)$ を書くときに行うことです。 チャールズ・スタインメッツとは誰だったのか チャールズ・プロテウス・ スタインメッツ (1865 – 1923) はプロイセン州ブレスラウ (現在のポーランドのヴロツワフ) で生まれましたが、障害により背中が曲がり、背が非常に低くなってしまいました。数学の学生だった彼は社会主義新聞社と関わり、逮捕されると脅されてドイツから逃亡した。 1889 にほとんどお金も持たず、英語も話せない状態で米国に到着しました。数年以内に、彼はスケネクタディのゼネラル・エレクトリック社の主任エンジニアになり、そこで「スケネクタディの魔術師」として知られるようになりました。彼の複素数の手法により、今日家庭に電気を供給する交流ネットワークの設計が可能になりました。誰も動かせない機械の修理に呼ばれた彼は、機械を調べて欠陥箇所にチョークで×印を付けたと言われています。請求額は高額だったので、GE は詳細を尋ねました。スタインメッツ氏は「Xにチョークで印を付ける：1ドル。どこに印を付けるか知っておく：9.999ドル」と答えたと伝えられている。 シュタインメッツ フェーザー: $a\operatorname{sen}x + b\cos x$ は回転する矢印の高さであり、この矢印の長さは $\sqrt{a^2 + b^2}$ です。 このインタラクティブな図形を表示するには、JavaScriptを有効にしてください。

October 23, 2026 読んだ
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基本方程式

$f$ と $g$ を変数 $x$ の 2 つの三角関数としましょう。方程式 $f(x) = g(x)$ を解くことは、$f(r) = g(r)$ が真の文となる数値 $r$ の集合 $S$ を決定することです。この集合が方程式の解集合（または真理集合）です。 歴史 三角方程式は、その名前が付くずっと前に登場しました。ギリシャ、インド、アラブの天文学者は、観測値を空の位置に変換するために、所定の正弦を持つ弧を見つける必要がありました。これらの中で最も有名なのは、Astronomia nova (1609) に掲載されているケプラー方程式です。 $$M = E - e\operatorname{sen} E,$$これは、経過時間 ($M$) と軌道の離心率 $e$ に基づいて、楕円軌道上の惑星の位置 $E$ を示します。これは代数学の演算では解決できません。ケプラーは多くの試みを経て、幾何学者に方法を見つけるよう要求しました。彼自身が暫定的にそれを解決しました。方程式の解のすべてを整数 $k$ で 1 つの式に記述するという考えは、18 世紀のオイラーが正弦、余弦を正、負、または 1 回転以上の任意の円弧に対して定義された実数の関数として扱い始めてから自然になりました。 ヨハネス・ケプラーとは誰だったのか ヨハネス・ ケプラー (1571 – 1630) はドイツ南部のヴァイル デア シュタットの貧しい家庭に生まれ、天文学者としては不思議なことに、幼少期に天然痘で視力が弱くなり危うく死にそうになりました。グラーツの数学教授であった彼は、 プラハのティコ・ ブラーエの1600助手となり、1年後のティコの死により帝国数学者の地位と火星の観測を引き継ぎました。火星の軌道は円ではなく楕円であると結論付けるまでに 6 年間の計算が必要でした — 1609 で発表されたケプラーの最初の 2 つの法則。彼の私生活は困難でした。最初の妻と数人の子供を失い、1615 から 1621 の間に魔術の容疑で告発された自分の母親カタリーナを弁護しなければなりませんでした。彼女は1年以上投獄され、拷問を受けると脅されたが、息子の弁護のおかげで最終的には無罪となった。 ヨハネス・ケプラー (1571 – 1630)。オーガスト・ケーラー · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン ケプラーの方程式。時間を $M$ として、楕円内の惑星の位置を与える角度 $E$ (緑色) を探します。太陽には焦点が合い続けます。 このインタラクティブな図形を表示するには、JavaScriptを有効にしてください。

October 23, 2026 読んだ