方程式 $\operatorname{sen} x = \frac{1}{3}$ には無限に多くの解がありますが、それらのどれも注目に値する弧ではありません。解決策をどのように書くか? 「正弦が$\frac{1}{3}$である円弧」 の名前が必要です。問題は、このような円弧が無数に存在することです。名前がa 数値を指定するように、正弦が繰り返されない間隔を選択します。この選択により逆循環関数が定義されます。

歴史

$\operatorname{arc\,sen} x$ — 「正弦が $x$ である弧」という表記は、1729 ではダニエル ベルヌーイによって、1772 ではオーストリアの数学者ヨーゼフ シェルファーによって使用され、ラグランジュと他の作家は18世紀末。電卓で一般的な $\operatorname{sen}^{-1} x$ という表記は、イギリスの天文学者ジョン・ ハーシェルによって、関数の逆関数との類推により 1813 で提案されました。 $\frac{1}{\operatorname{sen} x}$ と混同されるという欠点があるため、本書では $\operatorname{arc\,sen}$ を使用します。

  1. 1729
    ダニエル・ ベルヌーイは「A S」と書きます。サインが与えられた円弧の場合。
  2. 1772
    ジョセフ・ シャーファーはアークを使用します。罪
  3. 世紀末。 XVIII
    ラグランジュらはアークシンを広めました。
  4. 1813
    ジョン・ ハーシェルは$\sin^{-1} x$を提案します。
  5. 今日
    電卓では $\sin^{-1}$ を使用します。ブラジルの本、$\operatorname{arc\,sen}$。

出典: John Herschel (MacTutor) · F. Cajori、数学表記の歴史、vol. II (1929)、§§ 532 – 535 · 関数記号の初期の使用法 (Jeff Miller)。

日常生活での応用

  • 急な道路。 20% の勾配のある道路は、水平に 100 m ごとに 20 m 上昇します。角度は$\operatorname{arc\,tg} 0{,}2 \approx 11{,}3^\circ$です。
  • はしご。 安全規則では、はしご 1/4 の足を壁から遠ざける必要があります。床との角度は$\operatorname{arc\,cos}\frac{1}{4} \approx 75{,}5^\circ$です。
  • 水平器としての携帯電話。 加速度計はデバイスの各軸にかかる重力を測定し、水平器アプリケーションは接線円弧を使用して傾きを計算します。
安全ルール (脚から離れた長さ 1/4) から角度: $\operatorname{arc\,cos}\frac14 \approx 75{,}5^\circ$。ボタンを使用します。

理論

関数は全単射の場合にのみ逆関数を持ちます。 $\mathbb{R}$ から $[-1, 1]$ までのサインは全射的ですが、単射的ではありません (各値は無限に何度も到達します)。ドメインを増加または減少する区間に制限することで全単射が得られ、それを反転することができます。

逆正弦関数

関数 $f\colon \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \to [-1, 1]$、$f(x) = \operatorname{sen} x$ は全単射です。この区間 (第 1 象限と第 4 象限) で増加し、$-1$ から $1$ までのすべての値を取ります。

定義逆正弦

この制限の逆関数は関数アークサイン、$\operatorname{arc\,sen}\colon [-1, 1] \to \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ です。

$$y = \operatorname{arc\,sen} x \iff \operatorname{sen} y = x \;\;\text{e}\;\; -\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}.$$

すべての関数とその逆関数と同様に、$\operatorname{sen}$ (制限付き) と $\operatorname{arc\,sen}$ のグラフは直線 $y = x$ に対して対称です。

$\operatorname{sen} x$ を $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ (青) に、$\operatorname{arc\,sen} x$ を $[-1, 1]$ (赤) に、角の二等分線 $y = x$ (破線) に変換します。

逆余弦関数

$[0, \pi]$ (第 1 象限と第 2 象限) ではコサインが減少しており、$1$ から $-1$ までのすべての値をとります。したがって、$f\colon [0, \pi] \to [-1, 1]$、$f(x) = \cos x$ は全単射です。

定義逆余弦

$\operatorname{arc\,cos}\colon [-1, 1] \to [0, \pi]$:

$$y = \operatorname{arc\,cos} x \iff \cos y = x \;\;\text{e}\;\; 0 \le y \le \pi.$$
$\operatorname{arc\,cos} x$: $\pi$ ($x = -1$ 内) から $x = 0$ の $\frac{\pi}{2}$ を経由して $0$ ($x = 1$ 内) まで降順です。

性質二つの関係

$$\operatorname{arc\,sen} x + \operatorname{arc\,cos} x = \frac{\pi}{2}$$$$\operatorname{arc\,cos}(-x) = \pi - \operatorname{arc\,cos} x \qquad (-1 \le x \le 1)$$
デモを見る

I) $y = \operatorname{arc\,sen} x$: $\operatorname{sen} y = x$ と $-\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}$ とします。次に $\cos\left(\frac{\pi}{2} - y\right) = \operatorname{sen} y = x$ と $0 \le \frac{\pi}{2} - y \le \pi$。定義により、$\frac{\pi}{2} - y = \operatorname{arc\,cos} x$。

II) $y = \operatorname{arc\,cos} x$: $\cos(\pi - y) = -\cos y = -x$ と $0 \le \pi - y \le \pi$ とします。ロゴ$\pi - y = \operatorname{arc\,cos}(-x)$。

逆正接関数

タンジェントは $\left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[$ で増加しており、そこにあるすべての実数値を仮定します。したがって、$f\colon \left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[ \to \mathbb{R}$、$f(x) = \operatorname{tg} x$ は全単射です。

定義逆正接

$\operatorname{arc\,tg}\colon \mathbb{R} \to \left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[$:

$$y = \operatorname{arc\,tg} x \iff \operatorname{tg} y = x \;\;\text{e}\;\; -\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}.$$
$\operatorname{arc\,tg} x$ は $\mathbb{R}$ 全体で定義されており、直線 $y = \pm\frac{\pi}{2}$ (破線) に触れることなく近づきます。

注意arc sin (sin x) は常に x であるとは限りません

$\operatorname{sen}(\operatorname{arc\,sen} x) = x$からすべて$x \in [-1, 1]$まで。ただし、$\operatorname{arc\,sen}(\operatorname{sen} x) = x$は$x \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$の場合のみ:たとえば$\operatorname{arc\,sen}(\operatorname{sen}\pi) = \operatorname{arc\,sen} 0 = 0 \ne \pi$。

例sin x = 1/3を解く

逆正弦を使用すると、$x = \operatorname{arc\,sen}\frac{1}{3} + 2k\pi$ または $x = \pi - \operatorname{arc\,sen}\frac{1}{3} + 2k\pi$ という解を書くことができます。

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