三角方程式と区間上の解 (第 VII 章)。
Teste 122FUVEST-77
範囲 $\frac{\pi}{2} \le x \le \pi$、方程式 $\sqrt{1 - \operatorname{sen}^2 x} + \cos x = -\sqrt{2}$:
$\sqrt{1 - \operatorname{sen}^2 x} = |\cos x|$、第 2 象限 $|\cos x| = -\cos x$。最初のメンバーは $-\cos x + \cos x = 0 \ne -\sqrt{2}$ の価値があります。
Teste 123PUC-76
式 $\cos\left(3x - \frac{\pi}{5}\right) = 0$ を満たす $x$ の値は ($k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots$) です。
$3x - \frac{\pi}{5} = \frac{\pi}{2} + k\pi \Rightarrow 3x = \frac{7\pi}{10} + k\pi \Rightarrow x = \frac{7\pi}{30} + k\frac{\pi}{3}$.
Teste 124MACK-76
$9^{-\cos x} = \frac{1}{3}$ に対する $x$ の最小の正の値:
$9^{-\cos x} = 3^{-2\cos x} = 3^{-1} \Rightarrow \cos x = \frac{1}{2}$、正の最小値は $\frac{\pi}{3}$。
Teste 125CESCEM-73
点$(x_0; y_0)$が関数$y = \operatorname{tg} x$のグラフに属する場合、点$(a; y_0)$もこのグラフに属するための必要十分条件は次のとおりです。
$\operatorname{tg} a = \operatorname{tg} x_0 \iff a = x_0 + k\pi$: 差 $a - x_0$ は $\pi$ (接線周期) の倍数でなければなりません。
Teste 126EESCUSP-68
方程式 $\operatorname{sen}\pi x = \operatorname{sen}[\pi(2x + 1)]$ の解は次の形式になります。
$\operatorname{sen}\alpha = \operatorname{sen}\beta$ は次のようになります: $\pi(2x + 1) = \pi x + 2k\pi$、つまり $x = 2k - 1$ (奇数の整数)。または $\pi(2x + 1) = \pi - \pi x + 2k\pi$、つまり $x = \frac{2k}{3}$。このセットを正確に説明する代替案はありません。たとえば、(a) には $x = \frac{1}{3}$ が含まれていますが、これは解決策ではありません。
Teste 127ITA-77
方程式 $\operatorname{tg}\left(2\log x - \frac{\pi}{6}\right) - \operatorname{tg}\left(\log x + \frac{\pi}{3}\right) = 0$ (自然対数) を解くと、($k = 0, 1, 2, \ldots$) が得られます。
$L = \log x$ (自然) の場合: $\operatorname{tg}\left(2L - \frac{\pi}{6}\right) = \operatorname{tg}\left(L + \frac{\pi}{3}\right) \Rightarrow 2L - \frac{\pi}{6} = L + \frac{\pi}{3} + k\pi \Rightarrow L = \frac{\pi}{2} + k\pi$ (円弧の値が $\frac{5\pi}{6} + k\pi$ であるため、接線も存在します)。したがって、(b)の集合である$x = e^{\pi/2 + k\pi}$、$k \in \mathbb{Z}$となります。
Teste 128CESGRANRIO-77
区間 $[\pi, 3\pi]$ における方程式 $\cos x + \operatorname{sen} x = 0$ の根の数は次のとおりです。
$\cos x + \operatorname{sen} x = 0 \iff \operatorname{tg} x = -1 \iff x = \frac{3\pi}{4} + k\pi$。 $[\pi, 3\pi]$ の場合: $\frac{7\pi}{4}$ と $\frac{11\pi}{4}$。
Teste 129MACK-75
$\operatorname{tg} 4x + \operatorname{tg}\left(2x - \frac{\pi}{4}\right) = 0$ から $0 < x < \frac{\pi}{2}$ の場合、$x$ は次と等しくなります。
$\operatorname{tg} 4x = -\operatorname{tg}\left(2x - \frac{\pi}{4}\right) = \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4} - 2x\right) \Rightarrow 4x = \frac{\pi}{4} - 2x + k\pi \Rightarrow x = \frac{\pi}{24} + \frac{k\pi}{6}$。 $\left]0, \frac{\pi}{2}\right[$内：$\frac{\pi}{24}$、$\frac{5\pi}{24}$、$\frac{9\pi}{24}$。代替案のうち、$\frac{5\pi}{24}$ のみが機能します。
Teste 130CESCEA-70
$a$ が方程式 $(\operatorname{tg} x - 1)(4\operatorname{sen}^2 x - 3) = 0$ の最小の正の根である場合、$\operatorname{sen}^4 a - \cos^2 a$ の値は次のようになります。
正の根は $\operatorname{tg} x = 1$ ($x = \frac{\pi}{4}, \ldots$) または $\operatorname{sen} x = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$ ($x = \frac{\pi}{3}, \ldots$) から得られます。最小のものは$a = \frac{\pi}{4}$:$\operatorname{sen}^4 a - \cos^2 a = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}$です。
Teste 131CESCEA-75
$0$ と $\pi$ の間の方程式 $1 - 4\cos^2 x = 0$ の根の合計は次のとおりです。
$\cos^2 x = \frac{1}{4} \Rightarrow \cos x = \pm\frac{1}{2}$; 0 と $\pi$ の間: $\frac{\pi}{3}$ と $\frac{2\pi}{3}$、合計 $\pi$。
Teste 132CESGRANRIO-76
区間 $[0, 6\pi]$ の三角方程式 $\cos 2x + 2\operatorname{sen}^2 x + 2 = 0$:
すべての $x$ に対して $\cos 2x + 2\operatorname{sen}^2 x = 1$。最初のメンバーは常に 3 の値になります。
Teste 133ITA-69
方程式 $\operatorname{sen}^2\frac{3x}{2} - \cos\frac{3x}{2} = a$ には、$a$ の特定の値に対する解があります。正しい項目を選択してください:
$c = \cos\frac{3x}{2} \in [-1, 1]$ の場合: $a = 1 - c^2 - c$。範囲は $-1$ ($c = 1$ 内) から $\frac{5}{4}$ ($c = -\frac{1}{2}$ 内) です。 $-1 \le a \le \frac{5}{4}$ には解決策があります。これに含まれる唯一の提供範囲は (c) の範囲です。
Teste 134CESCEM-73
式$2\operatorname{sen}^2 x + |\operatorname{sen} x| - 1 = 0$を満たす$0$と$2\pi$の間の$x$の値は次のとおりです。
$u = |\operatorname{sen} x| \ge 0$の場合: $2u^2 + u - 1 = 0 \Rightarrow u = \frac{1}{2}$ (ルート$-1$は破棄されます)。 $|\operatorname{sen} x| = \frac{1}{2}$は(b)の4つの値を与えます。
Teste 135GV-75
方程式 $\dfrac{625^{\cos^2 x}}{25^{\cos x}} = 1$ ～ $0 \le x < \frac{\pi}{2}$ の解は次のとおりです。
$\frac{625^{\cos^2 x}}{25^{\cos x}} = 25^{2\cos^2 x - \cos x} = 1 \Rightarrow \cos x(2\cos x - 1) = 0$。 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right[$、$\cos x \ne 0$; $\cos x = \frac{1}{2}$、$x = \frac{\pi}{3}$のままです。
Teste 136GV-73
方程式 $\cos^2 x - 2\sec^2 x = 1$ と $0 \le x \le \pi$ を考えると、次のようになります。
$c = \cos^2 x$ の場合: $c - \frac{2}{c} = 1 \Rightarrow c^2 - c - 2 = 0 \Rightarrow c = 2$ または $c = -1$、どちらも二乗コサインでは不可能です。
Teste 137GV-75
方程式 $\cos^2 x \cdot \operatorname{tg} x = \operatorname{sen} x$ のすべての解の集合は、$x$ が次と等しくなるような数値の集合 $x$ です。
$\cos x \ne 0$の場合：$\cos^2 x \cdot \frac{\operatorname{sen} x}{\cos x} = \operatorname{sen} x \Rightarrow \operatorname{sen} x(\cos x - 1) = 0$。 2 つの可能性 ($\operatorname{sen} x = 0$ または $\cos x = 1$) により、$x = k\pi$ が得られます。
Teste 138CESCEM-73
相対整数 $k$ の関数として、方程式 $\cos^4\alpha + \operatorname{sen}^4\alpha - 2\operatorname{sen}^2\alpha\cos^2\alpha = 1$ のすべての解は次の式で与えられます。
最初のメンバーは $(\cos^2\alpha - \operatorname{sen}^2\alpha)^2 = \cos^2 2\alpha$ です。次に$\cos^2 2\alpha = 1 \Rightarrow 2\alpha = k\pi \Rightarrow \alpha = \frac{k\pi}{2}$。印刷されたテンプレートは (b)、$\alpha = k\pi$ を示します。しかし、$\alpha = \frac{\pi}{2}$ は解 ($0 + 1 - 0 = 1$) でもあり、(b) は解の一部のみを示します。
Teste 139CESCEM-72
式 $\operatorname{sen}^6 x + \cos^6 x = 1 - 3\operatorname{sen}^2 x\cos^2 x$:
$\operatorname{sen}^6 x + \cos^6 x = (\operatorname{sen}^2 x + \cos^2 x)^3 - 3\operatorname{sen}^2 x\cos^2 x(\operatorname{sen}^2 x + \cos^2 x) = 1 - 3\operatorname{sen}^2 x\cos^2 x$ からすべて $x$ まで (第 VII 章を参照)。
Teste 140ITA-71
方程式$\operatorname{tg} x + 3\operatorname{cotg} x = 3$を検証する$x$の最小値はいくらですか?
$t = \operatorname{tg} x$の場合: $t + \frac{3}{t} = 3 \Rightarrow t^2 - 3t + 3 = 0$、判別式$9 - 12 < 0$から。解決策はありません。
Teste 141MACK-77
非二等辺直角三角形の 2 つの鋭角は、方程式 ($x$) $3\operatorname{tg} x + k^2\operatorname{cotg} x = 4k$ の根です。それから：
$\operatorname{tg} x$ の乗算: $3t^2 - 4kt + k^2 = 0$、つまり $(3t - k)(t - k) = 0$、ルート $k$ と $\frac{k}{3}$。鋭角は補角であるため、接線の積は 1: $\frac{k^2}{3} = 1$、$k = \sqrt{3}$ となります (接線は正です)。
Teste 142UNB-74
$\sec^2 x + \operatorname{tg} x - 7 = 0$ および $0 < x < \frac{\pi}{2}$ の場合、次のようになります。
$1 + \operatorname{tg}^2 x + \operatorname{tg} x - 7 = 0 \Rightarrow \operatorname{tg} x = 2$ (第 1 象限内)。次に$\sec^2 x = 5$と$\cos x = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$。
Teste 143CESCEA-71
閉区間 $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ における方程式 $3\operatorname{tg}^2 x + 5 = \dfrac{7}{\cos x}$ の解セットは次のとおりです。
$s = \sec x$の場合：$3(s^2 - 1) + 5 = 7s \Rightarrow 3s^2 - 7s + 2 = 0 \Rightarrow s = 2$または$s = \frac{1}{3}$(不可)。 $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$の$\cos x = \frac{1}{2}$は$\pm\frac{\pi}{3}$になります。
Teste 144FEI-73
方程式 $\operatorname{sen} 2x = \operatorname{sen} x$ の区間 $-\frac{\pi}{4} \le x \le \frac{5\pi}{4}$ には次の内容が含まれます。
$\operatorname{sen} 2x = \operatorname{sen} x \iff \operatorname{sen} x(2\cos x - 1) = 0$。範囲: $x = 0$、$x = \pi$、$x = \frac{\pi}{3}$ ($-\frac{\pi}{3}$ と $\frac{5\pi}{3}$ は省略されます)。印刷されたテンプレートには 4 の解決策が示されていますが、$-\frac{\pi}{3} < -\frac{\pi}{4}$ と $\frac{5\pi}{3} > \frac{5\pi}{4}$ は範囲外です。
Teste 145ITA-72
三角方程式 $\sqrt{3}\operatorname{sen} x + \cos x = \sqrt{3}$ の解を選択します。
$\sqrt{3}\operatorname{sen} x + \cos x = 2\operatorname{sen}\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3}$ は $x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3} + 2k\pi$ または $\frac{2\pi}{3} + 2k\pi$、つまり $x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi$ または $x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$ を与えます。テンプレートは (b) を示します。ただし、(d) では方程式の解も得られることに注意してください。この質問には 2 つの正しい選択肢があります。
Teste 146ITA-73
方程式を$(\log_e m)\operatorname{sen} x \pm \cos x = \log_e m$とします。方程式が解を認めるための $m$ 上の条件は何ですか?
$\log_e m$ が存在するには $m > 0$ が必要です。すべての $m > 0$ について、方程式には解があります。$x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$ は常に機能します ($L = L$)。代替案は、存在しない制約を課します。たとえば、(a) では $m = 1$ が除外されますが、$m = 1$ では解決策 $x = \frac{3\pi}{2}$ がまだ存在します。
Teste 147PUC-73
$\dfrac{1 - \operatorname{tg} x}{1 + \operatorname{tg} x} = 1 - \operatorname{sen} 2x$ の場合、$x$ の値は ($k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots$) になります。
最初のメンバーは $\frac{\cos x - \operatorname{sen} x}{\cos x + \operatorname{sen} x}$、2 番目のメンバーは $(\cos x - \operatorname{sen} x)^2$ です。次に、$\cos x = \operatorname{sen} x$ ($x = \frac{\pi}{4} + k\pi$、両方のメンバーが null) または $(\cos x - \operatorname{sen} x)(\cos x + \operatorname{sen} x) = \cos 2x = 1$ ($x = k\pi$) です。テンプレートは (a) を示しています。これは 2 つのファミリーのうち 1 つだけを示します。完全なソリューション セットを提供する代替手段はありません。
Teste 148MACK-74
$f(x) = \cos^2\left(x - \frac{\pi}{4}\right) + \cos^2\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$ é:
$x + \frac{\pi}{4} = \left(x - \frac{\pi}{4}\right) + \frac{\pi}{2}$、$\cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = -\operatorname{sen}\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$、$f(x) = \cos^2\left(x - \frac{\pi}{4}\right) + \operatorname{sen}^2\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = 1$の順です。
Teste 149POLI-68
区間 $0 \le x \le 2\pi$ における三角方程式の解の数 $\cos^9 x + \cos^8 x + \cos^7 x + \cdots + \cos x + 1 = 0$:
$c = \cos x$ の場合、最初のメンバーは等比数列の合計です: $\frac{c^{10} - 1}{c - 1}$ ($c \ne 1$ の場合、$c = 1$ の場合は 10 の値になります)。 $c^{10} = 1$と$c \ne 1$の場合、つまり$c = -1$:$x = \pi$のみの場合はゼロになります。
Teste 150ITA-71
方程式 $\operatorname{sen}(\cos x) \cdot \cos(\cos x) = 1$ は次の場合に満たされます。
$\operatorname{sen}(\cos x)\cos(\cos x) = \frac{1}{2}\operatorname{sen}(2\cos x) \le \frac{1}{2} < 1$.
Teste 151GV-72
$0 < x < \pi$ であるため、方程式 $2\log\operatorname{sen} x + \log 2 = 0$ の解は次のようになります。
$\log(2\operatorname{sen}^2 x) = 0 \Rightarrow \operatorname{sen}^2 x = \frac{1}{2}$; $]0, \pi[$、$\operatorname{sen} x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ($\log\operatorname{sen} x$ には正のサインが必要です): $\frac{\pi}{4}$ および $\frac{3\pi}{4}$。
Teste 152ITA-72
$\log(\sec a) = k$ が意味を成すためには、$a$ と $k$ はどのような条件を満たす必要がありますか?
対数には $\sec a > 0$、つまり $\cos a > 0$: $-\frac{\pi}{2} + 2n\pi < a < \frac{\pi}{2} + 2n\pi$; が必要です。この場合は $\sec a \ge 1$ と $k = \log\sec a \ge 0$ です。代替案 (a) は、これらの範囲 ($n = 0$) の 1 つだけを示します。同等性が意味をなす条件としては、これで十分ですが必須ではありません。そのため、テンプレートでは (e) と示されています。
Teste 153MACK-77
方程式 $x^2 - x - \cos x = 0$ と $-\pi \le x \le \pi$ の実数解の数は次のとおりです。
$f(x) = x^2 - x - \cos x$とします。 $f(-\pi) > 0$、$f(0) = -1 < 0$、$f(\pi) > 0$ があります。0 の両側に少なくとも 1 つのルートがあります。 $f''(x) = 2 + \cos x > 0$ と同様、$f$ は凸型であり、根は 2 つ以下です。 (図的に: 放物線 $y = x^2 - x$ は 2 点で曲線 $y = \cos x$ を切断します。)
Teste 154SANTA CASA-77
式 $\log x = \cos x$ を満たす $x$ の最小値は次の範囲内にあります。
$x \le 1$の場合は$\log x \le 0 < \cos x$($x$が0～1の場合)。 $x = 1$、$\log 1 = 0 < \cos 1 \approx 0{,}54$; $x = 1{,}6$、$\log 1{,}6 > 0 > \cos 1{,}6$にあります。最初の交差は 1 と 1,6 の間です (ベース 10 の 1,42、またはベース $e$ の 1,30 について)。
Teste 155ITA-71
方程式 $\log(\cos x) = \operatorname{tg} x$ が与えられると、この方程式の $x$ における解は次の関係を満たします。
$\cos x > 0$、次に $\log(\cos x) \le 0$ が必要です。ロゴ$\operatorname{tg} x \le 0$。解は第 4 象限にあります ($x = 2\pi$ など、両方のメンバーが null である $2\pi$ の倍数を含みます)。最初のプラスのターンでは、これは $\frac{3\pi}{2} < x \le 2\pi$ です。
Teste 156ITA-76
方程式 $3\operatorname{sen}^2(e^x) - 2\sqrt{3}\operatorname{sen}(e^x)\cos(e^x) - 3\cos^2(e^x) = 0$ を解くと、次の結果が得られます。
$\cos^2(e^x)$ で割ると、ルート $\sqrt{3}$ と $-\frac{\sqrt{3}}{3}$ から $3t^2 - 2\sqrt{3}t - 3 = 0$ を $t = \operatorname{tg} e^x$ で割ります。次に $e^x = \frac{\pi}{3} + k\pi$ または $e^x = -\frac{\pi}{6} + k\pi$ を合わせて $e^x = \frac{k\pi}{2} - \frac{\pi}{6}$、$k = 1, 2, 3, \ldots$ を形成します ($e^x > 0$ が必要です)。
Teste 157ITA-73
方程式を$3\operatorname{tg} 3x = [3(\log_e t)^2 - 4\log_e t + 2]\operatorname{tg} x$、$x \ne n\pi$とします。方程式が解を認めるための $t$ 上の条件は何ですか?
$u = \operatorname{tg} x \ne 0$ および $A = 3L^2 - 4L + 2$ ($L = \log_e t$) の場合: $\frac{3(3u - u^3)}{1 - 3u^2} = Au \Rightarrow u^2 = \frac{A - 9}{3(A - 1)}$、正の値である必要があります: $A < 1$ または $A > 9$。 $A < 1 \iff \frac{1}{3} < L < 1 \iff e^{1/3} < t < e$; $A > 9 \iff L < -1$ または $L > \frac{7}{3} \iff 0 < t < \frac{1}{e}$ または $t > e^{7/3}$。
