数学の歴史

エグレギウムの定理と曲率

ハノーバーを測定しながら、ガウスは曲がった地球の地図を作成する方法についてよく考えました。 1827で公開されました彼はその結果をエグレジウム定理と呼び、「注目すべき定理」と呼びました。曲面の曲率は次のとおりです。外から見に行くことなく、その中に住んでいる人によって測定されます。結果: 平面内では、三角形の角度の合計は 180° になります。球体ではそれらを合計するとさらに多くになります。取ってください 1 つの頂点が北極にあり、他の 2 つの頂点が赤道にある三角形: 赤道の２つの角は直角です。 90° を極として、三角形には 3 つの直角があります: 270°。このインタラクティブな図形を表示するには、JavaScriptを有効にしてください。子午線は赤道を直角に切っているため、赤道の 2 つの角度は 90° になります。を追加すると、極の角度 $\alpha$: $$90° + 90° + \alpha = 180° + \alpha.$$ 180°以上は三角形の面積に比例し、表面が曲面であることを示します。だからこそ完璧な地球の平面図は存在しません。距離、角度、面積には常に歪みが生じます。ピザのトリックピザのスライスを先端が落ちないように食べるために、スライスを半分に折りたたむことに気づいたことがありますか?それは定理エグレギウムが作動中。スライスは最初は平ら (曲率ゼロ) であり、両方向に湾曲させることはできません。同時に。片側を曲げると反対側が硬くなり、先端が抜けなくなります。ガウスはまた、ユークリッドの平行公準が存在しない幾何学が存在する可能性があることにも気づきました。価値がある。しかし彼は何も公表しなかった。1829からの手紙の中で、彼は「ボイオティア人の叫び声」、つまりそうしなかった人々の叫びを恐れていると述べた。分かるだろう。非ユークリッド幾何学は、最終的にロバチェフスキーとヤノス・ボリャイによって出版されました。すべてのトピックはカール・フリードリッヒ・ガウスによる · ← 正規曲線、ガウスベル · 連立方程式: 行列式とガウス消去法 → 画像のクレジットと出典.

October 1, 2026 読んだ

コギトの読み方: 聞くことと話すこと

デカルト平面上に描かれたコギトエルゴサム。Euler’s Eyes コレクションの再設計された図ここオイラーの目では、「我思う、故に我あり」を小さな機械として読みたいと思っています。その思い何かを聞き（ラテン語ではオーディレ）、別のことを話します（ファブラリ）。何を縛るかというルール聞こえてくるのは機能です。メソッドワード物理学: 自然。方法: 推論、経路。グラフィコ: 線、描画。数学: 学んだこと、解読する行為。機能: タスクを実行する人。ドミナス: 領主、ドミニオンという言葉の由来。例: 「聞いたことを 2 回言う」。空の括弧は待機耳として機能します数字: $$f = 2\,(\;\;) \qquad\text{hoje escrevemos}\qquad f(x) = 2x.$$ 括弧 ( ) は耳として使用されます。関数は数字を聞くことを期待します。Euler’s Eyes コレクションの再設計された図ドミナス、ファンクトゥス、グラフィコ: ドメイン、機能、そしてそれが残す痕跡。Euler’s Eyes コレクションの再設計された図 $f = 2(\quad)$、$f = (\quad) - 2$、$f = [(\quad) - 1]\cdot[(\quad) - 3]$ の 3 つのルールでマシンを試してください。それぞれ聞いた数字は点 $(x;\ f(x))$ となり、点の集合はグラフ、グラフィコを形成します。ルールの:

September 30, 2026 読んだ

合計から無限に多くの素数が得られる

ユークリッドは、紀元前 300 年頃に、素数が無限に存在することをすでに証明していました。 1737 オイラーで素数を微積分に結び付ける、まったく異なる証明を発見した。各素数 $p$ について、等比数列の和は次のようになります。 $$\frac{1}{1 - \frac{1}{p}} = 1 + \frac{1}{p} + \frac{1}{p^2} + \frac{1}{p^3} + \cdots$$ これらの式を $p = 2, 3, 5, 7, \dots$ に乗算すると、各項の積は次の形式になります。 $\frac{1}{2^a 3^b 5^c \cdots}$。つまりすべての自然数は積として単一の方法で記述されます。素数の場合、各分数 $\frac{1}{n}$ は 1 回だけ出現します。 $$\prod_{p \text{ primo}} \frac{1}{1 - \frac{1}{p}} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \cdots$$ しかし、右側の合計は、高調波系列、無制限に成長します: の条件 $\frac{1}{3}$ の $\frac{1}{4}$ 合計すると以上になります $\frac{1}{2}$、のそれら $\frac{1}{5}$ の $\frac{1}{8}$ また、それらの $\frac{1}{9}$ の $\frac{1}{16}$ また、など。有限の量があったとしたら、素数の場合、左側は有限数の積、つまり有限数になります。矛盾：無限の素数がある.

September 30, 2026 読んだ

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歴史的な肖像クリストフ・ベルンハルト・フランケが 1695 年ごろに描いたライプニッツの肖像は、ウィキメディア・コモンズから取得したもので、パブリックドメインです。コモンズが提供する 960 ピクセルのサムネイルを編集せずに使用しています。出典ページ。パブリックドメイン・マーク。ブログの図表紙と掛け算 $23\times14$ の説明図はオリジナルの図版です。説明図は計算を説明するもので、歴史上の機械の機構を再現したものではありません。 8 ビット、積の法則の各項、π の級数の和のインタラクティブな図は、このシリーズのために作成しました。本文の例を使えば、JavaScript がなくても計算を追うことができます。記録ファイル data/leibniz_imagens.json に、肖像の出典、ライセンス、確認日、SHA-256 ハッシュを記録しています。各テーマの歴史資料は、それぞれの記事の末尾に記載しています。追加した歴史図版これらの図版はウィキメディア・コモンズによる。それぞれの出典、ライセンス、SHA-256 ハッシュ値は data/leibniz_imagens.json に記録してある。ライプニッツの論文の二進法の表（1703）: ライプニッツ（1703） · Wikimedia Commons · パブリックドメインブーヴェが送った『易経』の卦の図（1701）: ジョアシャン・ブーヴェとライプニッツ · Wikimedia Commons · パブリックドメインドレスデンのライプニッツの計算機: Kolossos · Wikimedia Commons · CC BY-SA 3.0 『新しい方法』の最初のページ（1684）: ライプニッツ · Wikimedia Commons · パブリックドメインライプニッツの全トピック · ← ライプニッツの遺産

October 7, 2026 読んだ

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歴史的な画像二つの歴史的画像はウィキメディア・コモンズから取得したもので、パブリックドメインです。コモンズが提供するサムネイルを編集せずに使用しています。アイザック・ニュートンの肖像、ゴドフリー・ネラー、1689 年：出典ページ · パブリックドメイン。『プリンキピア』の扉、1687 年：出典ページ · パブリックドメイン。ブログの図表紙とプリズムの説明図はオリジナルの図版です。割線、√2 の近似、軌道のインタラクティブな図はこのシリーズのために作成しました。これらは教材であり、手稿の複製でも、ニュートンの実験のシミュレーションでもありません。記録ファイル data/newton_imagens.json に、ダウンロードした各画像の出典、ライセンス、確認日、SHA-256 ハッシュを記録しています。各テーマの歴史資料は、それぞれの記事の末尾に記載しています。追加した歴史図版これらの図版はウィキメディア・コモンズによる。それぞれの出典、ライセンス、SHA-256 ハッシュ値は data/newton_imagens.json に記録してある。ウールズソープ・マナー: DeFacto · Wikimedia Commons · CC BY-SA 4.0 ウールズソープのリンゴの木: David Smith · Wikimedia Commons · CC BY-SA 2.0 1668 年の反射望遠鏡の複製: Science Museum Group · Wikimedia Commons · CC BY 4.0 『流率法』の扉（1736）: ニュートン著、ジョン・コルソン訳（1736） · Wikimedia Commons · パブリックドメインアイザック・ニュートンの全トピック · ← ニュートンの遺産

October 6, 2026 読んだ

連立方程式: 行列式とガウス消去法

最小二乗法を使用して軌道を計算するには、ガウスは次の連立方程式を解く必要がありました。多くの未知数。生徒なら誰でも知っている 2 つの名前はこの物語に由来しています。決定要因とガウス消去法です。行列式 2 つの方程式を含むシステムを考えます。 $$\begin{cases} a\,x + b\,y = e \\ c\,x + d\,y = f \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{e\,d - b\,f}{a\,d - b\,c}, \qquad y = \frac{a\,f - e\,c}{a\,d - b\,c}.$$ すべては分母の数値 $ad - bc$ に依存します。それがゼロでない場合、システムには 1 つの数値が含まれます。解決策。この数値がシステムを「決定」します。連立方程式から2次の行列式の表記へ。Euler’s Eyes 行列式の規則：主対角線の積から、もう一方の対角線の積を引く。Euler’s Eyes Matrix はラテン語で「子宮」、何かが生み出される場所を意味します。Euler’s Eyes この単語が最初に登場したのは、1801 のガウスの論争です。彼はそれを呼んだ決定値は、2次のフォーム$ax^2 + 2bxy + cy^2$の性質を決定する数値です。 1815 では、フランス人のオーギュスタンルイコーシーがこの用語を採用し、次のようにクレジットしました。

October 1, 2026 読んだ

デカルトと大砲の問題

デカルトは戦争を間近で体験しました。 1618 では、彼はナッソーのモーリスの軍隊で志願兵として奉仕しましたそして、彼の最初の伝記作家エイドリアン・バイエによれば、彼はラ・ロシェル包囲戦の1628にいたとされています。リシュリュー枢機卿著。戦場では、砲兵たちは何をするのかという現実的な問題に悩まされました。一定の距離のターゲットに命中させるために大砲を傾ける角度は？テーブル上のボードの前に立つ男性。オリジナルの彫刻から切り取ります。オイラーの目コレクションの鮮明度が向上しました。大砲と弾丸の隣にいる二人の男。オリジナルの彫刻から切り取ります。オイラーの目コレクションの鮮明度が向上しました。天秤の隣にいる天使。オリジナルの彫刻から切り取ります。オイラーの目コレクションの鮮明度が向上しました。これは、目標までの距離 (砲手が「聞く」音) と銃の角度という 2 つの数値の関係です。（彼が「言ったこと」）。ガリレオは 1638 で、空気抵抗がなければ弾丸は放物線であり、範囲 $R$ は角度 $\theta$ と出口速度 $v$ に依存します。 $$R = \frac{v^2 \cdot \sin(2\theta)}{g}, \qquad g \approx 9{,}8 \text{ m/s}^2.$$ 角度が違えば、軌道も異なります。Euler’s Eyes コレクションの再設計された図弾丸が 100 m/s で離れる場合: 角度 15° 30° 45° 60° 75° 範囲 510 m 884 m 1020 m 884 m 510 m アングルを選んで撮影します。範囲は 45° で最大となり、角度を合計すると 90° になります。このインタラクティブな図形を表示するには、JavaScriptを有効にしてください。

September 30, 2026 読んだ

素数ではなかったフェルマー数

ピエール・ド・フェルマーは、$2^{2^n} + 1$ という形式の数字はすべて素数であると信じていました。のために $n = 0, 1, 2, 3, 4$ の作品: 3、5、17、257、および 65 537 は素数です。次は $$2^{32} + 1 = 4\,294\,967\,297.$$ すべてのディバイダーを手動でテストするのは現実的ではありません。 1732 で、オイラーはこの数が割り切れることを示しました。 641による。これをエレガントに調べるには、641 の 2 つの書き方を使用します。 $$641 = 5 \cdot 2^7 + 1 \qquad\text{e}\qquad 641 = 5^4 + 2^4.$$ 641 による除算の余りを処理します (記号 $\equiv$ は「同じ余りを残す」という意味です): 4 段階の控除 (クリックして進みます) 1 つ目の方法は $5 \cdot 2^7 \equiv -1$ です。 4 乗: $5^4 \cdot 2^{28} \equiv 1$。 2 番目の方法では、$5^4 \equiv -2^4$。ステップ 2 をステップ 1 に置き換えます: $-2^4 \cdot 2^{28} \equiv 1$、つまり $-2^{32} \equiv 1$。したがって、$2^{32} + 1 \equiv 0$: 数値は641 の倍数となります。実際には、4 294 967 297 = 641 × 6 700 417 となります。今日に至るまで、他の番号は知られていないトップ5を超えるフェルマープライムの。

September 30, 2026 読んだ

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歴史的な肖像ロラン・ルフェーヴル作とされる肖像はウィキメディア・コモンズから取得したもので、パブリックドメインです。コモンズが提供するサムネイルを編集せずに使用し、キャプションには所蔵元が示す作者表記をそのまま残しています。出典ページ。パブリックドメイン・マーク。ブログの図表紙と屈折の説明図はオリジナルの図版です。べきの余り、長方形の面積、中断した勝負の分配のインタラクティブな図は、このシリーズのために作成しました。これらは教材であり、フェルマーの手稿を再現したものではありません。たとえば分配の図は、各回が独立で、両者の見込みが等しいと仮定しています。記録ファイル data/fermat_imagens.json に、肖像の出典、ライセンス、確認日、SHA-256 ハッシュを記録しています。各テーマの歴史資料は、それぞれの記事の末尾に記載しています。追加した歴史図版これらの図版はウィキメディア・コモンズによる。それぞれの出典、ライセンス、SHA-256 ハッシュ値は data/fermat_imagens.json に記録してある。ディオファントス『算術』（1670）、問題 II.8 とフェルマーの注: ディオファントス、サミュエル・ド・フェルマー編（1670） · Wikimedia Commons · パブリックドメインディオファントス『算術』（1670）339 ページ、無限降下法の証明: ディオファントス、サミュエル・ド・フェルマー編（1670）、Leonid 2 による修復 · Wikimedia Commons · パブリックドメインディオファントス『算術』の扉（トゥールーズ、1670）: ベルナール・ボスク、トゥールーズ（1670） · Wikimedia Commons · パブリックドメインボーモン＝ド＝ロマーニュのフェルマー記念像: Didier Descouens · Wikimedia Commons · CC BY-SA 4.0 フェルマーの全トピック · ← フェルマーの遺産

October 7, 2026 読んだ

ガウス求積法: 2 点で積分

Quadratura circuli: 円積求積の幾何学的構成を描き直したベクター表紙。Euler’s Eyes による再描画「二乗」は面積を計算するための古い名前です。ギリシャ人は円の面積を次のように近似しました。多角形の辺がますます増え、積分微積分が誕生しました。実際的な問題は、どのように計算するかです。曲線の下の面積を少し計算してみましょう。最も簡単な方法は台形則で、曲線の端$x = -1$と$x = 1$だけを見て、台形の面積を計算します。 1814 でガウスは次のように尋ねました: どこを見るかを選択できるとしたらどうなるでしょうか? 2つでポイント $\pm t$ と重みが 1 に等しい場合、推定値は次のようになります。 $$\int_{-1}^{1} f(x)\,dx \approx f(-t) + f(t).$$ 彼は、式ができるだけ多くの多項式に正確に一致することを望んでいました。ガウス点の検索 (クリックして先に進みます) $f(x) = 1$の場合：面積は2、計算式は$1 + 1 = 2$となります。 ✓ 任意の $t$ で動作します。 $f(x) = x$ (および $x^3$) の場合: 面積は 0 で、計算式は $-t + t = 0$ となります。 ✓ 毎回でも機能します。 $f(x) = x^2$の場合：面積は$\frac{2}{3}$、計算式は$t^2 + t^2 = 2t^2$となります。等価: $2t^2 = \frac{2}{3}$、次に $t^2 = \frac{1}{3}$、$t = \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0{,}577$。結果: わずか 2 点で、ルールは 3 までの次数の多項式にスポット的にヒットします。青い部分がまさにその部分です。高さ f(±1/√3) の 2 つのガウス長方形と、端だけを見た台形を比較します。このインタラクティブな図形を表示するには、JavaScriptを有効にしてください。

October 1, 2026 読んだ

「機能」という言葉

この言葉は、動詞fungorの分詞であるラテン語のfunctusに由来しており、タスクを遂行する、運動するという意味です。活動。関数は、ある数値を別の数値に変換する「作業を行う」ものです。すでに廃止もはや何の役割も果たさない人であるため、消滅という言葉が使われます。ヨハン・ベルヌーイへの手紙より、関数のライプニッツ記法。オイラーの目コレクション。背景が削除され、鮮明度が向上しましたこの名前とシンボルが定着するまでには 1 世紀以上かかりました。 1637デカルトは幾何学において$x$と$y$の間の方程式で曲線を記述しました。 1667ジェームズ・グレゴリーは、操作によって他者から得られる量を量子と呼んでいます（ヴェラ・サークリと双曲線四方形）。 1671ニュートンは、流体が変化する量を呼び出します (Methodus Fluxionum、1736 でのみ公開)。 1673ライプニッツは、原稿の中で機能という言葉を初めて使用しています。 1698この用語はライプニッツとヨハン・ベルヌーイの間の書簡の中で、今日の数学的な意味を帯びています。 1718ヨハン・ベルヌーイは、変数と定数の任意の方法で構成される量という最初の定義を与えます。 1734オイラーは、「f(x) はx の任意の関数を示す」という表記 $f(x)$ を作成します。 1748オイラーは入門でこの関数を計算の中心に据えています。 1797ラグランジュは導関数 (Théorie des fonctions Analytiques) に $f'(x)$ を使用します。 1837ディリクレは、各$x$を単一の$y$に関連付ける任意の規則として関数を定義します。すべてのトピックはルネ・デカルトによる · ← デカルトと大砲の問題 · 物理学: 自然の特徴を読み解く → 画像のクレジットと出典.

September 30, 2026 読んだ

オイラーの定理と暗号

1763 では、オイラーは関数 $\varphi(n)$ (記号 $\varphi$ はガウスによって後から登場しました)、つまり $n$ と共通因数を持たない 1 から $n$ までの数の数を研究しました。たとえば、$\varphi(10) = 4$ は、1 から 10 までは 1、3、7、9 のみが適しているためです。彼は、$a$ がそうではないことを証明しました。 $n$と共通因数があるので、 $$a^{\varphi(n)} \equiv 1 \pmod{n}.$$ $n = 10$ と $a = 3$ のアイデアを参照してください。数値 1、3、7、および 9 を 3 で乗算します。 $$3 \cdot 1 = 3, \quad 3 \cdot 3 = 9, \quad 3 \cdot 7 = 21 \equiv 1, \quad 3 \cdot 9 = 27 \equiv 7 \pmod{10}.$$ 10 時間時計では、3、7、または 9 を乗算すると、数値 1、3、7、および 9 のみがシャッフルされます。このインタラクティブな図形を表示するには、JavaScriptを有効にしてください。

September 30, 2026 読んだ