Euler's Eyes
2026-10-27
Os quatérnios: a fórmula da ponte
Depois de mostrar que os complexos são pares de números reais e que a sua multiplicação gira o plano, Hamilton quis fazer o mesmo no espaço. Procurava tripletos $a + bi + cj$, com uma multiplicação que respeitasse a lei dos módulos: o tamanho do produto deveria ser o produto dos tamanhos. Tentou durante anos, sobretudo em 1843, a ponto de os filhos lhe perguntarem toda manhã se já sabia multiplicar tripletos.
Por que três não dá
Há um obstáculo escondido na aritmética. Se existisse uma regra de multiplicação de tripletos com a lei dos módulos e com coeficientes inteiros, o produto de duas somas de três quadrados seria sempre uma soma de três quadrados. Mas
$$3 = 1^2 + 1^2 + 1^2, \qquad 5 = 2^2 + 1^2 + 0^2, \qquad 3 \times 5 = 15,$$e $15$ não é soma de três quadrados (tente: os quadrados disponíveis são $0, 1, 4, 9$, e nenhuma combinação de três dá $15$). Com quatro quadrados a dificuldade some: $15 = 9 + 4 + 1 + 1$. E desde 1748 se conhecia a identidade dos quatro quadrados de Euler, que diz que o produto de duas somas de quatro quadrados é sempre uma soma de quatro quadrados. A natureza parecia pedir quatro partes, não três.
O produto que sai dos tripletos
Podemos ver a dificuldade diretamente nas contas. Usando as regras dos quatérnios, dois números sem componente em $k$ dão
$$(a + bi + cj)(d + ei + fj) = (ad - be - cf) + (ae + bd)i + (af + cd)j + (bf - ce)k.$$A quarta componente aparece mesmo quando nenhum dos fatores a tinha. Por exemplo, $(1+i)(1+j)=1+i+j+k$. O conjunto dos números $a+bi+cj$ não é fechado para essa multiplicação: o resultado pode sair dele. Isso explica por que não basta apagar o termo em $k$ e chamar o que sobra de uma álgebra de “triérnios”.
A caminhada
Em 16 de outubro de 1843, uma segunda-feira, Hamilton caminhava com a mulher de Dunsink até Dublin, ao longo do Canal Real, para presidir uma reunião da Royal Irish Academy. Ele mesmo contou a cena ao filho, vinte e dois anos depois:
Embora ela conversasse comigo de vez em quando, uma corrente subterrânea de pensamento seguia na minha mente, e ela deu por fim um resultado cuja importância senti de imediato. Um circuito elétrico pareceu fechar-se, e saltou uma faísca. […] Nem pude resistir ao impulso, por pouco filosófico que fosse, de gravar com um canivete numa pedra da ponte de Brougham, quando passamos por ela, a fórmula fundamental com os símbolos i, j, k.
— William Rowan Hamilton, carta ao filho Archibald (1865)
A fórmula era
$$i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1.$$
A tabela de multiplicação
Um quatérnio é $q = a + bi + cj + dk$, com quatro números reais. Da fórmula da ponte saem todos os produtos. Multiplicando $ijk = -1$ à direita por $k$: $ijk^2 = -k$, ou seja, $-ij = -k$, e então $ij = k$. Do mesmo modo:
$$ij = k, \quad jk = i, \quad ki = j, \qquad ji = -k, \quad kj = -i, \quad ik = -j.$$Aqui está a ousadia: $ij = k$, mas $ji = -k$. A ordem dos fatores altera o produto. Desde a Antiguidade todo número conhecido obedecia a $ab = ba$. Hamilton foi o primeiro a construir, conscientemente, uma álgebra útil em que isso falha, e pagou o preço com uma recompensa: a lei dos módulos vale. Para $q = a + bi + cj + dk$, o tamanho é $\lvert q \rvert = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 + d^2}$, e
$$\lvert pq \rvert = \lvert p \rvert\,\lvert q \rvert.$$É exatamente a identidade dos quatro quadrados de Euler, agora com significado algébrico.
Somar, multiplicar e dividir
A soma é feita componente a componente. Se $p=a+bi+cj+dk$ e $q=e+fi+gj+hk$, então
$$p+q=(a+e)+(b+f)i+(c+g)j+(d+h)k.$$A subtração segue a mesma regra. Para multiplicar, distribuímos os termos e usamos a tabela:
$$\begin{aligned} pq={}&(ae-bf-cg-dh)\\ &+(af+be+ch-dg)i\\ &+(ag-bh+ce+df)j\\ &+(ah+bg-cf+de)k. \end{aligned}$$O conjugado de $q$ troca o sinal das três componentes imaginárias:
$$\bar q=e-fi-gj-hk,\qquad q\bar q=\bar q q=e^2+f^2+g^2+h^2=\lvert q\rvert^2.$$Assim, todo quatérnio diferente de zero tem inverso:
$$q^{-1}=\frac{\bar q}{\lvert q\rvert^2}.$$Mas a divisão exige escolher o lado. A solução de $xq=p$ é $x=pq^{-1}$; a de $qx=p$ é $x=q^{-1}p$. Por exemplo, $i j^{-1}=-k$, enquanto $j^{-1}i=k$. Uma barra de fração sem essa escolha esconde duas respostas diferentes.
Exercício: encontrar o inverso
Encontre o inverso de $q=1+i+j+k$.
Como $\lvert q\rvert^2=4$, temos $q^{-1}=(1-i-j-k)/4$. Para conferir, ponha $v=i+j+k$. Os termos cruzados se cancelam e $v^2=-3$, de modo que $(1+v)(1-v)=1-v^2=4$. Dividindo por 4, obtemos $qq^{-1}=1$.
Quatro componentes, três direções espaciais
O quatérnio $a+bi+cj+dk$ tem quatro coordenadas reais, mas isso não significa que um objeto girado por ele precise de quatro dimensões espaciais. Um ponto do espaço aparece como quatérnio puro $xi+yj+zk$, sem parte escalar. Já o quatérnio que representa o giro combina uma parte escalar com três componentes ligadas ao eixo, como veremos nas rotações. São papéis diferentes para os mesmos símbolos.
Exercício: a ordem importa
Calcule $(1 + i)(1 + j)$ e $(1 + j)(1 + i)$.
$(1 + i)(1 + j) = 1 + j + i + ij = 1 + i + j + k$. $(1 + j)(1 + i) = 1 + i + j + ji = 1 + i + j - k$. Os dois produtos diferem só no sinal de $k$, mas diferem. Em ambos o tamanho é $\sqrt{4} = 2 = \sqrt2 \cdot \sqrt2$, como manda a lei dos módulos.
Exercício: deduzir jk = i
A partir de $i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1$, mostre que $jk = i$.
Multiplique $ijk = -1$ à esquerda por $i$: $i^2 jk = -i$, ou seja, $-jk = -i$, e então $jk = i$. Note que foi preciso multiplicar do lado certo: numa álgebra não comutativa, multiplicar à esquerda e à direita são operações diferentes.
Fontes: William Rowan Hamilton, carta a Archibald Hamilton (1865), em R. P. Graves, Life of Sir William Rowan Hamilton, vol. 2 (1885) · William Rowan Hamilton, Lectures on Quaternions (1853) · John Baez, “The Octonions”, Bulletin of the AMS (2002) · biografia de Hamilton, MacTutor.
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