Biografia

A curva normal, o sino de Gauss

Se os erros de medida são aleatórios, como eles se distribuem? Na Theoria motus, Gauss partiu da ideia de que a média é a melhor estimativa e chegou à forma da curva dos erros: $$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\, e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}},$$ em que $\mu$ é a média e $\sigma$ é o desvio padrão. É a curva normal, ou sino de Gauss: alta no meio, simétrica, e cada vez mais baixa longe da média. Ela aparece em toda parte, das alturas das pessoas aos erros de uma máquina.

October 1, 2026 Iniciar leitura

Descartes e a ideia de função

Descartes nunca usou a palavra “função”. Mas foi ele quem tornou a ideia possível: em A Geometria, uma curva deixa de ser só um desenho e passa a ser uma relação entre dois números, $x$ e $y$. Quando um muda, o outro muda junto, seguindo uma regra. Nesta parte, contamos como essa ideia ganhou nome, símbolo e gráfico. Os cinco tópicos a seguir desenvolvem essa leitura e a história posterior da ideia de função.

September 30, 2026 Iniciar leitura

$V - A + F = 2$ e a bola de futebol

Em 1750, numa carta ao matemático Christian Goldbach, Euler anotou uma relação entre o número de vértices ($V$), arestas ($A$) e faces ($F$) de um poliedro convexo: $$V - A + F = 2.$$ Gire os poliedros com o dedo ou o mouse e confira a conta: V, A e F são contados pelo programa a partir do próprio desenho. Em todos dá 2. Ative o JavaScript para ver esta figura interativa.

September 29, 2026 Iniciar leitura

O legado de Leibniz

A guerra do cálculo Leibniz publicou o cálculo em 1684 e 1686. Newton tinha chegado às mesmas ideias em 1665–1666, mas guardara tudo em manuscritos. Durante quinze anos, ninguém disputou nada. Em 1699, o matemático suíço Nicolas Fatio de Duillier, amigo de Newton, insinuou num livro que Leibniz tinha se inspirado em Newton. Em 1708, o escocês John Keill foi além e acusou Leibniz de plágio. O argumento: em 1676, Leibniz tinha visitado Londres e visto uma cópia do De analysi de Newton.

October 7, 2026 Iniciar leitura

O legado de Newton

Newton foi o maior gênio que já existiu, e também o mais afortunado: só existe um universo, e só se pode descobri-lo uma vez. — Joseph-Louis Lagrange, segundo seus contemporâneos A guerra do cálculo Newton criou o método das fluxions em 1665–1666, mas não publicou. Leibniz chegou ao cálculo de forma independente em 1675 e publicou em 1684. Por alguns anos ninguém brigou. Em 1676, os dois até trocaram cartas cordiais por meio de Henry Oldenburg, e Newton escondeu suas ideias num anagrama.

October 6, 2026 Iniciar leitura

O Theorema Egregium e a curvatura

Medindo Hannover, Gauss pensou muito em como fazer mapas de uma Terra curva. Em 1827 publicou o resultado que chamou de Theorema Egregium, o “teorema notável”: a curvatura de uma superfície pode ser medida por quem vive dentro dela, sem sair para olhar de fora. Uma consequência: num plano, os ângulos de um triângulo somam 180°. Numa esfera, somam mais. Pegue o triângulo com um vértice no polo norte e os outros dois no equador:

October 1, 2026 Iniciar leitura

Uma leitura do Cogito: ouvir e falar

Cogito ergo sum desenhado no plano cartesiano.Diagrama redesenhado para o acervo Euler’s Eyes Aqui no Euler’s Eyes gostamos de ler o “penso, logo existo” como uma pequena máquina. O pensamento ouve alguma coisa (em latim, audire) e fala outra (fabulari). A regra que liga o que se ouve ao que se fala é a função. Palavras do método physis: a natureza; méthode: o raciocínio, o caminho; graphiko’s: os traços, o desenho; máthema: aquilo que se aprende, o ato de decifrar; functus: quem cumpre um encargo; dominus: o senhor, de onde vem a palavra domínio.

September 30, 2026 Iniciar leitura

Infinitos números primos a partir de uma soma

Euclides já tinha provado, por volta de 300 a.C., que existem infinitos números primos. Em 1737 Euler encontrou uma prova completamente diferente, que ligou os primos ao cálculo. Para cada primo $p$, a soma de uma progressão geométrica dá $$\frac{1}{1 - \frac{1}{p}} = 1 + \frac{1}{p} + \frac{1}{p^2} + \frac{1}{p^3} + \cdots$$ Multiplique essas expressões para $p = 2, 3, 5, 7, \dots$ Cada produto de termos tem a forma $\frac{1}{2^a 3^b 5^c \cdots}$. Como todo número natural se escreve de um único jeito como produto de primos, cada fração $\frac{1}{n}$ aparece exatamente uma vez:

September 30, 2026 Iniciar leitura

O legado de Fermat

O pai da teoria dos números Folha de rosto da edição de 1670 da Aritmética de Diofanto, impressa em Toulouse “com as observações de P. de Fermat”. Foi por este livro, publicado pelo filho cinco anos depois da morte do pai, que as notas da margem chegaram a Euler.Bernard Bosc, Toulouse (1670) · Wikimedia Commons · domínio público Antes de Fermat, os problemas sobre números inteiros eram vistos como enigmas, quebra-cabeças de Diofanto. Fermat os transformou numa área da matemática, com perguntas profundas e métodos próprios. Durante quase um século, quase ninguém o acompanhou. Foi Euler, a partir de 1730, quem leu as notas de Fermat, provou boa parte delas e fez da teoria dos números um ramo central da matemática. Depois vieram Lagrange, Legendre e Gauss.

October 7, 2026 Iniciar leitura

Sistemas de equações: o determinante e a eliminação de Gauss

Para calcular órbitas pelos mínimos quadrados, Gauss precisava resolver sistemas de equações com muitas incógnitas. Dois nomes que todo estudante conhece vêm dessa história: o determinante e a eliminação de Gauss. O determinante. Pegue um sistema com duas equações: $$\begin{cases} a\,x + b\,y = e \\ c\,x + d\,y = f \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{e\,d - b\,f}{a\,d - b\,c}, \qquad y = \frac{a\,f - e\,c}{a\,d - b\,c}.$$ Tudo depende do número $ad - bc$ no denominador: se ele não for zero, o sistema tem uma única solução. Esse número “determina” o sistema.

October 1, 2026 Iniciar leitura

Descartes e o problema dos canhões

Descartes conheceu a guerra de perto. Em 1618 serviu como voluntário no exército de Maurício de Nassau e, segundo seu primeiro biógrafo, Adrien Baillet, esteve em 1628 no cerco de La Rochelle, conduzido pelo cardeal Richelieu. Nos campos de batalha, um problema prático ocupava os artilheiros: com que ângulo inclinar o canhão para acertar um alvo a certa distância? Um homem diante de um tabuleiro sobre a mesa.Recorte da gravura original; nitidez aprimorada para o acervo Euler’s Eyes Dois homens junto ao canhão e às balas.Recorte da gravura original; nitidez aprimorada para o acervo Euler’s Eyes Um anjo ao lado de uma balança em equilíbrio.Recorte da gravura original; nitidez aprimorada para o acervo Euler’s Eyes É uma relação entre dois números: a distância do alvo (o que o artilheiro “ouve”) e o ângulo do canhão (o que ele “fala”). Galileu mostrou em 1638 que, sem a resistência do ar, a bala descreve uma parábola, e o alcance $R$ depende do ângulo $\theta$ e da velocidade $v$ de saída:

September 30, 2026 Iniciar leitura

O número de Fermat que não era primo

Pierre de Fermat acreditava que todos os números da forma $2^{2^n} + 1$ eram primos. Para $n = 0, 1, 2, 3, 4$ dá certo: 3, 5, 17, 257 e 65 537 são primos. O próximo é $$2^{32} + 1 = 4\,294\,967\,297.$$ Testar todos os divisores à mão é impraticável. Em 1732, Euler mostrou que esse número é divisível por 641. Uma forma elegante de ver isso usa duas maneiras de escrever 641:

September 30, 2026 Iniciar leitura