Descartes conheceu a guerra de perto. Em 1618 serviu como voluntário no exército de Maurício de Nassau e, segundo seu primeiro biógrafo, Adrien Baillet, esteve em 1628 no cerco de La Rochelle, conduzido pelo cardeal Richelieu. Nos campos de batalha, um problema prático ocupava os artilheiros: com que ângulo inclinar o canhão para acertar um alvo a certa distância?

Um homem diante de um tabuleiro sobre a mesa.
Um homem diante de um tabuleiro sobre a mesa.Recorte da gravura original; nitidez aprimorada para o acervo Euler’s Eyes
Dois homens junto ao canhão e às balas.
Dois homens junto ao canhão e às balas.Recorte da gravura original; nitidez aprimorada para o acervo Euler’s Eyes
Um anjo ao lado de uma balança em equilíbrio.
Um anjo ao lado de uma balança em equilíbrio.Recorte da gravura original; nitidez aprimorada para o acervo Euler’s Eyes

É uma relação entre dois números: a distância do alvo (o que o artilheiro “ouve”) e o ângulo do canhão (o que ele “fala”). Galileu mostrou em 1638 que, sem a resistência do ar, a bala descreve uma parábola, e o alcance $R$ depende do ângulo $\theta$ e da velocidade $v$ de saída:

$$R = \frac{v^2 \cdot \sin(2\theta)}{g}, \qquad g \approx 9{,}8 \text{ m/s}^2.$$
Ângulos diferentes, trajetórias diferentes.
Ângulos diferentes, trajetórias diferentes.Diagrama redesenhado para o acervo Euler’s Eyes

Com uma bala saindo a 100 m/s:

Ângulo 15° 30° 45° 60° 75°
Alcance 510 m 884 m 1020 m 884 m 510 m
Escolha o ângulo e dispare. O alcance é máximo a 45°, e ângulos que somam 90° caem no mesmo lugar.

Repare em duas coisas. O alcance é uma função do ângulo: cada ângulo dá um único alcance. Mas o caminho contrário não funciona assim: para acertar um alvo a 900 metros servem dois ângulos, cerca de 30,9° e 59,1°. Na linguagem de hoje, a função não é injetiva.

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