Soluções num intervalo e equações clássicas
Até aqui resolvemos as equações em $\mathbb{R}$, obtendo famílias infinitas de soluções. Muitas vezes, porém, só interessam as soluções num intervalo — por exemplo, os ângulos de um triângulo, que estão entre $0$ e $\pi$. E certas equações aparecem tanto que ganharam métodos próprios: são as equações clássicas.
A história A equação $a\operatorname{sen} x + b\cos x = c$ é a equação da soma de duas oscilações de mesmo período: ela aparece na astronomia (a combinação de dois movimentos circulares), na física das ondas e na eletricidade (correntes alternadas defasadas). O truque de reescrever $a\operatorname{sen} x + b\cos x$ como uma só senoide deslocada — o ângulo auxiliar $\theta$ — já era usado pelos astrônomos do século XVIII. Ele ganhou importância industrial no fim do século XIX, quando o engenheiro Charles Steinmetz mostrou, em 1893, que as correntes alternadas podiam ser somadas como números complexos: cada senoide vira uma seta com comprimento (a amplitude) e inclinação (a fase), e somar oscilações vira somar setas. É exatamente o que fazemos ao escrever $a\operatorname{sen} x + b\cos x = \sqrt{a^2 + b^2}\,\operatorname{sen}(x + \theta)$.
