Sejam $f$ e $g$ duas funções trigonométricas da variável $x$. Resolver a equação $f(x) = g(x)$ é determinar o conjunto $S$ dos números $r$ para os quais $f(r) = g(r)$ é uma sentença verdadeira. Esse conjunto é o conjunto-solução (ou conjunto-verdade) da equação.

A história

Equações trigonométricas apareceram muito antes de terem esse nome: os astrônomos gregos, indianos e árabes precisavam achar o arco que tem um seno dado para converter observações em posições no céu. A mais famosa delas é a equação de Kepler, publicada na Astronomia nova (1609):

$$M = E - e\operatorname{sen} E,$$

que dá a posição $E$ de um planeta na sua órbita elíptica a partir do tempo decorrido ($M$) e da excentricidade $e$ da órbita. Ela não pode ser resolvida com as operações da álgebra, e Kepler, depois de muito tentar, desafiou os geômetras a encontrar um método; ele mesmo a resolvia por tentativas. A ideia de escrever todas as soluções de uma equação numa só fórmula, com um inteiro $k$, só se tornou natural depois que Euler, no século XVIII, passou a tratar seno e cosseno como funções de um número real, definidas para qualquer arco — positivo, negativo ou maior que uma volta.

Johannes Kepler (1571–1630).
Johannes Kepler (1571–1630).August Köhler · Wikimedia Commons · Domínio público
A equação de Kepler. Dado o tempo $M$, procura-se o ângulo $E$ (verde) que dá a posição do planeta na elipse; o Sol fica num foco.
  1. Nasce numa família pobre. A varíola, na infância, lhe deixa a vista fraca.
  2. Estuda teologia na universidade, onde o professor Michael Mästlin lhe apresenta, em aulas particulares, a teoria de Copérnico.
  3. Professor de matemática. Publica o Mysterium cosmographicum (1596).
  4. Assistente e depois sucessor de Tycho Brahe. Na Astronomia nova (1609) publica as duas primeiras leis e a equação $M = E - e\operatorname{sen}E$.
  5. Matemático da província. Publica a terceira lei (1619) e defende a mãe, acusada de bruxaria em Leonberg.
  6. Morre durante uma viagem para cobrar salários atrasados.
As cidades de Johannes Kepler. Clique numa etapa ou use Percorrer a viagem. Mapa: © colaboradores do OpenStreetMap

Fontes: Kepler (MacTutor) · Euler (MacTutor) · L. Euler, Introductio in analysin infinitorum (1748).

No dia a dia

  • Roda-gigante. Numa roda com centro a 20 m de altura, raio 18 m e uma volta a cada 10 minutos, a cabine que parte da altura do centro subindo chega a 29 m quando $20 + 18\operatorname{sen}\theta = 29$, isto é, $\operatorname{sen}\theta = \frac{1}{2}$: em $\frac{1}{12}$ e $\frac{5}{12}$ da volta, aos 50 s e aos 4 min 10 s.
  • Tomada. A tensão da rede, com 60 ciclos por segundo, passa por zero 120 vezes por segundo — as soluções de $\operatorname{sen}(2\pi \cdot 60\,t) = 0$.
  • Marés. Saber a que horas a maré atinge certa altura é resolver uma equação trigonométrica; as tábuas de marés da Marinha trazem essas soluções calculadas.
Em que instantes a cabine passa pela altura escolhida? As soluções da equação são os pontos verdes.

Teoria

Equações fundamentais

Quase todas as equações trigonométricas, depois de transformadas com as relações e fórmulas dos capítulos anteriores, se reduzem a uma das três equações fundamentais:

$$\operatorname{sen}\alpha = \operatorname{sen}\beta \qquad \cos\alpha = \cos\beta \qquad \operatorname{tg}\alpha = \operatorname{tg}\beta.$$

Aqui $\alpha$ e $\beta$ são expressões em $x$ (por exemplo $\alpha = 2x$ e $\beta = \frac{\pi}{3}$). Equações com cotangente, secante e cossecante se reduzem a essas por inversão: $\operatorname{cossec} x = \operatorname{cossec} a \iff \operatorname{sen} x = \operatorname{sen} a$, e assim por diante.

Resolução de sen α = sen β

Se $\operatorname{sen}\alpha = \operatorname{sen}\beta = \overline{OP_1}$, as imagens de $\alpha$ e $\beta$ no ciclo estão sobre a reta perpendicular ao eixo dos senos que passa por $P_1$: ou ambas em $P$, ou ambas em $P'$, ou uma em cada um desses pontos.

TeoremaEquação sen α = sen β

$$\operatorname{sen}\alpha = \operatorname{sen}\beta \iff \alpha = \beta + 2k\pi \;\;\text{ou}\;\; \alpha = \pi - \beta + 2k\pi \qquad (k \in \mathbb{Z})$$

Isto é: $\alpha$ e $\beta$ são côngruos ou suplementares (a menos de voltas inteiras).

Ver a demonstração

(⇐) Se $\alpha = \beta + 2k\pi$, então $\operatorname{sen}\alpha = \operatorname{sen}\beta$ pela periodicidade. Se $\alpha = \pi - \beta + 2k\pi$, então $\operatorname{sen}\alpha = \operatorname{sen}(\pi - \beta) = \operatorname{sen}\beta$ (redução do 2º quadrante).

(⇒) Pela fórmula de transformação em produto,

$$\operatorname{sen}\alpha - \operatorname{sen}\beta = 2\operatorname{sen}\frac{\alpha - \beta}{2}\cos\frac{\alpha + \beta}{2} = 0.$$

Logo $\operatorname{sen}\frac{\alpha - \beta}{2} = 0$, isto é, $\frac{\alpha - \beta}{2} = k\pi$ e $\alpha = \beta + 2k\pi$; ou $\cos\frac{\alpha + \beta}{2} = 0$, isto é, $\frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{\pi}{2} + k\pi$ e $\alpha = \pi - \beta + 2k\pi$.

Exemplosen x = √2/2

Como $\frac{\sqrt{2}}{2} = \operatorname{sen}\frac{\pi}{4}$:

$$x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \;\;\text{ou}\;\; x = \pi - \frac{\pi}{4} + 2k\pi = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi.$$

$S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \text{ ou } x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi\right\}$.

Resolução de cos α = cos β

Se $\cos\alpha = \cos\beta = \overline{OP_2}$, as imagens de $\alpha$ e $\beta$ estão sobre a reta perpendicular ao eixo dos cossenos por $P_2$: em $P$ ou em $P'$, simétricos em relação ao eixo $u$.

TeoremaEquação cos α = cos β

$$\cos\alpha = \cos\beta \iff \alpha = \pm\beta + 2k\pi \qquad (k \in \mathbb{Z})$$

Isto é: $\alpha$ e $\beta$ são côngruos ou replementares ($\alpha + \beta = 2k\pi$).

Ver a demonstração

(⇐) $\cos(\pm\beta + 2k\pi) = \cos(\pm\beta) = \cos\beta$, porque o cosseno é par e periódico.

(⇒) $\cos\alpha - \cos\beta = -2\operatorname{sen}\frac{\alpha + \beta}{2}\operatorname{sen}\frac{\alpha - \beta}{2} = 0$. Então $\frac{\alpha + \beta}{2} = k\pi$, isto é, $\alpha = -\beta + 2k\pi$; ou $\frac{\alpha - \beta}{2} = k\pi$, isto é, $\alpha = \beta + 2k\pi$.

Exemplocos 2x = cos x

$2x = \pm x + 2k\pi$. Com o sinal $+$: $x = 2k\pi$. Com o sinal $-$: $3x = 2k\pi$, $x = \frac{2k\pi}{3}$. Como a primeira família está contida na segunda ($k$ múltiplo de 3), $S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \frac{2k\pi}{3}\right\}$.

Resolução de tg α = tg β

Se $\operatorname{tg}\alpha = \operatorname{tg}\beta = \overline{AT}$, as imagens de $\alpha$ e $\beta$ estão sobre a reta $OT$: em $P$ ou no ponto diametralmente oposto $P'$.

TeoremaEquação tg α = tg β

$$\operatorname{tg}\alpha = \operatorname{tg}\beta \iff \alpha = \beta + k\pi \qquad (k \in \mathbb{Z};\ \alpha, \beta \ne \tfrac{\pi}{2} + k\pi)$$

Isto é: $\alpha$ e $\beta$ são côngruos ou explementares (diferem de meia volta).

Ver a demonstração

(⇐) A tangente tem período $\pi$.

(⇒) $\operatorname{tg}\alpha - \operatorname{tg}\beta = \dfrac{\operatorname{sen}(\alpha - \beta)}{\cos\alpha\cos\beta} = 0 \Rightarrow \operatorname{sen}(\alpha - \beta) = 0 \Rightarrow \alpha - \beta = k\pi$.

AtençãoCuidado com a existência

Ao resolver equações com tangente, cotangente, secante ou cossecante, confira se as soluções encontradas não anulam algum denominador da equação original. Por exemplo, ao multiplicar os dois membros por $\cos x$ podemos introduzir soluções $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ que não servem.

Os exercícios desta seção são os de números 193 a 214 da lista do capítulo.