A equação $\operatorname{sen} x = \frac{1}{3}$ tem infinitas soluções, mas nenhuma delas é um arco notável. Como escrever a solução? Precisamos de um nome para “o arco cujo seno é $\frac{1}{3}$”. O problema é que há infinitos arcos assim; para que o nome designe um número, escolhemos um intervalo onde o seno não se repete. Essa escolha define as funções circulares inversas.

A história

A notação $\operatorname{arc\,sen} x$ — “o arco cujo seno é $x$” — foi usada por Daniel Bernoulli em 1729 e pelo matemático austríaco Joseph Scherffer em 1772, e ganhou força com Lagrange e outros autores do fim do século XVIII. A notação $\operatorname{sen}^{-1} x$, comum em calculadoras, foi proposta pelo astrônomo inglês John Herschel em 1813, por analogia com a inversa de uma função; ela tem o defeito de se confundir com $\frac{1}{\operatorname{sen} x}$, por isso neste livro usamos $\operatorname{arc\,sen}$.

  1. 1729
    Daniel Bernoulli escreve “A S.” para o arco cujo seno é dado.
  2. 1772
    Joseph Scherffer usa arc. sin.
  3. fim do séc. XVIII
    Lagrange e outros difundem arc sin.
  4. 1813
    John Herschel propõe $\sin^{-1} x$.
  5. hoje
    As calculadoras usam $\sin^{-1}$; os livros brasileiros, $\operatorname{arc\,sen}$.

Fontes: John Herschel (MacTutor) · F. Cajori, A History of Mathematical Notations, vol. II (1929), §§ 532–535 · Earliest Uses of Function Symbols (Jeff Miller).

No dia a dia

  • Ruas íngremes. Uma rua com 20% de inclinação sobe 20 m a cada 100 m na horizontal; o ângulo é $\operatorname{arc\,tg} 0{,}2 \approx 11{,}3^\circ$.
  • Escada de mão. A regra de segurança manda afastar o pé da escada 1/4 do seu comprimento da parede; o ângulo com o chão fica $\operatorname{arc\,cos}\frac{1}{4} \approx 75{,}5^\circ$.
  • Celular como nível. O acelerômetro mede quanto da gravidade cai em cada eixo do aparelho, e o aplicativo de nível calcula a inclinação com o arco tangente.
Da regra de segurança (pé afastado 1/4 do comprimento) ao ângulo: $\operatorname{arc\,cos}\frac14 \approx 75{,}5^\circ$. Use o botão.

Teoria

Uma função só tem inversa se for bijetora. O seno, de $\mathbb{R}$ em $[-1, 1]$, é sobrejetor mas não injetor (cada valor é atingido infinitas vezes). Restringindo o domínio a um intervalo em que ela é crescente ou decrescente, obtemos uma bijeção — e então podemos invertê-la.

Função arco seno

A função $f\colon \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \to [-1, 1]$, $f(x) = \operatorname{sen} x$, é bijetora: é crescente nesse intervalo (1º e 4º quadrantes) e assume todos os valores de $-1$ a $1$.

DefiniçãoArco seno

A inversa dessa restrição é a função arco seno, $\operatorname{arc\,sen}\colon [-1, 1] \to \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$:

$$y = \operatorname{arc\,sen} x \iff \operatorname{sen} y = x \;\;\text{e}\;\; -\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}.$$

Como acontece com toda função e sua inversa, os gráficos de $\operatorname{sen}$ (restrito) e $\operatorname{arc\,sen}$ são simétricos em relação à reta $y = x$.

$\operatorname{sen} x$ em $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ (azul), $\operatorname{arc\,sen} x$ em $[-1, 1]$ (vermelho) e a bissetriz $y = x$ (tracejada).

Função arco cosseno

O cosseno é decrescente em $[0, \pi]$ (1º e 2º quadrantes) e assume ali todos os valores de $1$ a $-1$; logo $f\colon [0, \pi] \to [-1, 1]$, $f(x) = \cos x$, é bijetora.

DefiniçãoArco cosseno

$\operatorname{arc\,cos}\colon [-1, 1] \to [0, \pi]$:

$$y = \operatorname{arc\,cos} x \iff \cos y = x \;\;\text{e}\;\; 0 \le y \le \pi.$$
$\operatorname{arc\,cos} x$: decrescente, de $\pi$ (em $x = -1$) a $0$ (em $x = 1$), passando por $\frac{\pi}{2}$ em $x = 0$.

PropriedadeDuas relações

$$\operatorname{arc\,sen} x + \operatorname{arc\,cos} x = \frac{\pi}{2}$$$$\operatorname{arc\,cos}(-x) = \pi - \operatorname{arc\,cos} x \qquad (-1 \le x \le 1)$$
Ver as demonstrações

I) Seja $y = \operatorname{arc\,sen} x$: $\operatorname{sen} y = x$ e $-\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}$. Então $\cos\left(\frac{\pi}{2} - y\right) = \operatorname{sen} y = x$ e $0 \le \frac{\pi}{2} - y \le \pi$; pela definição, $\frac{\pi}{2} - y = \operatorname{arc\,cos} x$.

II) Seja $y = \operatorname{arc\,cos} x$: $\cos(\pi - y) = -\cos y = -x$ e $0 \le \pi - y \le \pi$; logo $\pi - y = \operatorname{arc\,cos}(-x)$.

Função arco tangente

A tangente é crescente em $\left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[$ e assume ali todos os valores reais; logo $f\colon \left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[ \to \mathbb{R}$, $f(x) = \operatorname{tg} x$, é bijetora.

DefiniçãoArco tangente

$\operatorname{arc\,tg}\colon \mathbb{R} \to \left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[$:

$$y = \operatorname{arc\,tg} x \iff \operatorname{tg} y = x \;\;\text{e}\;\; -\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}.$$
$\operatorname{arc\,tg} x$ é definida em todo $\mathbb{R}$ e se aproxima das retas $y = \pm\frac{\pi}{2}$ (tracejadas) sem nunca tocá-las.

Atençãoarc sen (sen x) nem sempre é x

$\operatorname{sen}(\operatorname{arc\,sen} x) = x$ para todo $x \in [-1, 1]$. Mas $\operatorname{arc\,sen}(\operatorname{sen} x) = x$ só quando $x \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$: por exemplo, $\operatorname{arc\,sen}(\operatorname{sen}\pi) = \operatorname{arc\,sen} 0 = 0 \ne \pi$.

ExemploResolvendo sen x = 1/3

Com o arco seno podemos escrever a solução: $x = \operatorname{arc\,sen}\frac{1}{3} + 2k\pi$ ou $x = \pi - \operatorname{arc\,sen}\frac{1}{3} + 2k\pi$.

Os exercícios desta seção são os de números 246 a 270 da lista do capítulo.