Física

Combinações: contar sem listar

Na Mega-Sena, você escolhe 6 números entre 60. Quantos jogos diferentes existem? Listar todos levaria uma vida: são mais de cinquenta milhões. Mas dá para contar sem listar, e Pascal mostrou como. Escolher sem ordem Comece com um caso pequeno: de quantas maneiras se pode escolher 2 pessoas num grupo de 5 para uma comissão? Se a ordem importasse, haveria $5$ opções para a primeira pessoa e $4$ para a segunda: $5\cdot4=20$. Mas numa comissão “Ana e Bruno” é o mesmo que “Bruno e Ana”, e cada par foi contado duas vezes. São $20/2=10$ comissões.

October 8, 2026 Iniciar leitura

A mecânica de Hamilton

Em 1788 Lagrange tinha transformado a mecânica de Newton num conjunto de equações que valiam em quaisquer coordenadas. Hamilton admirava esse livro, que chamou de “uma espécie de poema científico”. Em 1834 e 1835, nos dois ensaios Sobre um método geral em dinâmica, levou a ideia adiante, trazendo para a mecânica o que tinha aprendido com os raios de luz. Posição e momento Lagrange descrevia um sistema pelas posições $q$ e pelas velocidades $\dot q$. Hamilton trocou a velocidade pelo momento $p$ (para uma partícula simples, massa vezes velocidade, $p = m\dot q$) e pôs no centro de tudo uma única função, a hamiltoniana $H(q, p)$, que na maioria dos casos é a energia total: cinética mais potencial,

October 27, 2026 Iniciar leitura

A mecânica quântica num espaço de Hilbert

Em 1925 e 1926 nasceram, quase ao mesmo tempo, duas versões da mecânica quântica. A de Werner Heisenberg usava matrizes infinitas; a de Erwin Schrödinger, uma equação de ondas. As duas davam os mesmos resultados nos experimentos, mas pareciam falar de coisas diferentes, e os físicos usavam truques que os matemáticos achavam inaceitáveis, como a “função” delta de Dirac. Em Göttingen, trabalhando com Hilbert, von Neumann mostrou que as duas eram a mesma teoria escrita em coordenadas diferentes, e reescreveu tudo numa linguagem só. O livro Fundamentos matemáticos da mecânica quântica, de 1932, é até hoje a referência para quem quer a teoria com todo o rigor.

October 26, 2026 Iniciar leitura

As velocidades das moléculas: a distribuição de Maxwell

Ocupei-me ultimamente de algumas questões sobre o movimento e as colisões de esferas perfeitamente elásticas, como exercício de mecânica. — James Clerk Maxwell, carta a George Stokes (30 de maio de 1859) Num litro de ar há cerca de $2{,}5\times10^{22}$ moléculas, todas se movendo e se chocando bilhões de vezes por segundo. Seguir cada uma é impossível. Em 1859, Maxwell teve uma ideia que mudou a física: não perguntar o que faz cada molécula, mas que fração delas tem cada velocidade. Era a primeira vez que se usavam probabilidades numa lei da física. Ele apresentou o resultado num congresso em Aberdeen, em 1859, e o publicou em 1860.

October 14, 2026 Iniciar leitura

A relatividade especial: um relógio feito de luz

Se eu perseguir um raio de luz com a velocidade c, a velocidade da luz no vácuo, deveria ver esse raio como um campo eletromagnético em repouso, oscilando no espaço. Mas parece que tal coisa não existe. — Albert Einstein, Notas autobiográficas (1949) Aos 16 anos, no colégio de Aarau, Einstein se fez uma pergunta: o que eu veria se corresse ao lado de um raio de luz, na mesma velocidade? Segundo a física de Newton, a luz pareceria parada, como um carro ao lado do nosso na estrada. Mas as equações de Maxwell não admitem luz parada: para elas, a luz sempre anda a $c\approx300\,000$ km/s. Alguém estava errado. Einstein levou dez anos para descobrir quem.

October 11, 2026 Iniciar leitura

Os dados do Cavaleiro de Méré e a partilha justa

Antoine Gombaud, que se apresentava como Cavaleiro de Méré, era um escritor da corte francesa e um jogador apaixonado. Por volta de 1654, levou a Pascal duas perguntas sobre apostas. Pascal achou as perguntas tão boas que escreveu a Pierre de Fermat, e daquelas cartas nasceu a teoria das probabilidades. Sobre o amigo, Pascal comentou com Fermat: Ele tem muito bom espírito, mas não é geômetra; e isso, como o senhor sabe, é um grande defeito. — Blaise Pascal, carta a Fermat (29 de julho de 1654)

October 8, 2026 Iniciar leitura

As equações de Maxwell: das linhas de força de Faraday aos vetores

Fiquei quase assustado, no começo, ao ver tanta força matemática aplicada ao assunto, e depois me admirei de ver que o assunto a suportava tão bem. — Michael Faraday, carta a Maxwell (25 de março de 1857) Até 1820, eletricidade e magnetismo eram assuntos separados. A eletricidade fazia faíscas e arrepiava os cabelos; o magnetismo fazia as bússolas apontarem para o norte. Naquele ano, numa aula na Universidade de Copenhague, o dinamarquês Hans Christian Oersted ligou uma pilha a um fio e viu que uma agulha magnética próxima se mexia. A corrente elétrica produzia magnetismo.

October 14, 2026 Iniciar leitura

E = mc²: a energia escondida na massa

Ocorreu-me ainda uma consequência do trabalho sobre a eletrodinâmica. O princípio da relatividade, junto com as equações de Maxwell, exige que a massa seja uma medida direta da energia contida num corpo. A ideia é engraçada e sedutora; mas não sei se o Senhor não está rindo disso e me fazendo de bobo. — Albert Einstein, carta a Conrad Habicht (verão de 1905) Em setembro de 1905, três meses depois do artigo da relatividade, Einstein mandou aos Annalen der Physik um complemento de apenas três páginas, com um título em forma de pergunta: “A inércia de um corpo depende do seu conteúdo de energia?”. A resposta era sim, e a conclusão, escrita em palavras e com outras letras, é a fórmula mais famosa da física:

October 12, 2026 Iniciar leitura

A Pascalina: uma soma feita por engrenagens

Em 1640, Étienne Pascal foi nomeado coletor de impostos da Normandia. O trabalho era somar colunas e colunas de valores, noite adentro, e o filho Blaise, então com 17 anos, ajudava. Para piorar, o dinheiro francês não era decimal: $$1\ \text{livra}=20\ \text{soldos},\qquad 1\ \text{soldo}=12\ \text{dinheiros}.$$Somar $3$ livras, $15$ soldos e $8$ dinheiros com $2$ livras, $7$ soldos e $9$ dinheiros exige três tipos de “vai um”: dinheiros: $8+9=17$, que é $1$ soldo e $5$ dinheiros; soldos: $15+7+1=23$, que é $1$ livra e $3$ soldos; livras: $3+2+1=6$. Resultado: $6$ livras, $3$ soldos e $5$ dinheiros. Faça isso mil vezes por noite e você vai errar. Em 1642, Blaise começou a construir uma máquina que não errasse.

October 8, 2026 Iniciar leitura

A corrente de deslocamento: o termo que faltava

Das quatro equações de Maxwell, três já eram conhecidas de alguma forma antes dele: a de Gauss, a do magnetismo e a de Faraday. A quarta, a de Ampère, também, mas estava incompleta. O que Maxwell acrescentou a ela foi um único termo, $\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\mathbf E}{\partial t}$. Parece pouco. Foi esse termo que fez a eletricidade e o magnetismo virarem luz. A lei de Ampère Em 1826, o francês André-Marie Ampère encontrou a regra que liga uma corrente ao campo magnético em volta dela. Em linguagem de hoje: se você percorre um caminho fechado em volta de um fio e soma a componente do campo magnético ao longo do caminho, o resultado é proporcional à corrente $I$ que atravessa qualquer superfície apoiada nesse caminho:

October 14, 2026 Iniciar leitura

A relatividade geral: do elevador ao eclipse de Sobral

Eu estava sentado numa cadeira no escritório de patentes de Berna quando, de repente, me ocorreu um pensamento: se uma pessoa cai livremente, ela não sente o próprio peso. Fiquei espantado. Esse pensamento simples me causou uma impressão profunda. Ele me impeliu para uma teoria da gravitação. — Albert Einstein, sobre uma ideia de 1907 A relatividade de 1905 tinha um defeito: não incluía a gravidade. A lei de Newton diz que o Sol atrai a Terra instantaneamente, através de 150 milhões de quilômetros, e a relatividade diz que nada viaja mais rápido que a luz. Einstein passou oito anos tentando consertar isso. O ponto de partida foi o que ele chamou de “o pensamento mais feliz da minha vida”.

October 12, 2026 Iniciar leitura

O hexagrama místico: seis pontos numa cônica

Em fevereiro de 1640, circulou em Paris uma folha impressa de um lado só, como um cartaz, com o título Ensaio sobre as cônicas. Não trazia demonstrações, só definições, três lemas e uma lista de resultados. O autor tinha 16 anos e se chamava Blaise Pascal. Quando o padre Mersenne mostrou a folha a Descartes, a reação foi de desconfiança: Descartes achou que o rapaz tinha tirado tudo de Girard Desargues, o arquiteto e geômetra que Pascal admirava. A influência de Desargues era real, e o próprio Pascal a reconhecia. Mas o resultado central da folha era novo.

October 8, 2026 Iniciar leitura