Gauss

A vida de Bernhard Riemann

Linha do tempo 1826Nasce em 17 de setembro em Breselenz, no Reino de Hanôver, filho de um pastor luterano. 1846Entra na Universidade de Göttingen para estudar teologia, mas logo passa à matemática. 1847Vai estudar em Berlim, com Dirichlet, Jacobi, Steiner e Eisenstein. 1851Doutorado em Göttingen, sob a orientação de Gauss, com a tese sobre funções complexas. 1854Em 10 de junho, faz a palestra de habilitação sobre os fundamentos da geometria. 1857Publica a teoria das funções abelianas e torna-se professor extraordinário. 1859Sucede a Dirichlet na cátedra de Göttingen e é eleito para a Academia de Berlim. Publica o artigo sobre os números primos. 1862Casa-se com Elise Koch. Adoece de tuberculose. 1866Morre em 20 de julho em Selasca, na Itália, aos 39 anos. O filho do pastor Georg Friedrich Bernhard Riemann nasceu em 17 de setembro de 1826 em Breselenz, uma aldeia do Reino de Hanôver, no norte da Alemanha. O pai, também chamado Friedrich Bernhard, era pastor luterano e tinha lutado nas guerras contra Napoleão. A família era pobre, e Bernhard era o segundo de seis filhos. Foi o pai quem o ensinou até os dez anos.

October 30, 2026 Iniciar leitura

A vida de Carl Friedrich Gauss

Linha do tempo 1777Nasce em 30 de abril, em Braunschweig, filho de um jardineiro e pedreiro. 1786Por volta dos 9 anos, soma de 1 a 100 em segundos na escola. 1791O duque Carl Wilhelm Ferdinand passa a pagar seus estudos. 1795Entra na Universidade de Göttingen. 1796Em 30 de março, descobre como construir o polígono regular de 17 lados. Começa seu diário matemático. 1799Doutorado em Helmstedt, com a prova do teorema fundamental da álgebra. 1801Publica as Disquisitiones Arithmeticae e calcula a órbita do planeta anão Ceres. 1807Torna-se diretor do Observatório de Göttingen, onde fica até morrer. 1809Publica a Theoria motus, com o método dos mínimos quadrados e a curva normal. 1818Começa a medir o Reino de Hannover com triângulos. Em 1821 inventa o heliotrópio. 1827Publica o Theorema Egregium, sobre a curvatura das superfícies. 1833Com Wilhelm Weber, monta um dos primeiros telégrafos elétricos. 1855Morre em 23 de fevereiro, em Göttingen. ◀ Anterior Percorrer a viagem Próxima ▶ 1777–1795 BraunschweigFilho de um jardineiro e pedreiro, soma de 1 a 100 em segundos na escola. O duque Carl Wilhelm Ferdinand passa a pagar seus estudos. 1795–1798 GöttingenEstuda na universidade. Em 30 de março de 1796 descobre como construir o polígono regular de 17 lados e começa o seu diário. 1799 HelmstedtDoutora-se com a prova do teorema fundamental da álgebra. 1799–1807 BraunschweigPublica as Disquisitiones Arithmeticae (1801) e calcula a órbita de Ceres. Aqui recebe as cartas de “Monsieur Le Blanc”. 1807–1855 Observatório de GöttingenDirige o observatório por quase cinquenta anos. Mede o Reino de Hannover com triângulos, publica o Theorema Egregium e monta um telégrafo com Weber. Morre em 1855. Ative o JavaScript para ver o mapa. As etapas estão na lista abaixo. Gauss quase não viajou. Passou a vida num raio de cem quilômetros entre Braunschweig e Göttingen. Mapa: © colaboradores do OpenStreetMap

October 1, 2026 Iniciar leitura

A soma de 1 a 100

A história mais famosa de Gauss é de quando ele tinha uns 9 anos. Para manter a turma ocupada, o professor Büttner mandou os alunos somarem todos os números de 1 a 100. Em poucos segundos, Gauss colocou a lousa na mesa com a resposta certa: 5050. (A história foi contada pelo primeiro biógrafo de Gauss, e os números exatos da conta podem ter sido outros, mas a ideia é a mesma.)

October 1, 2026 Iniciar leitura

O polígono de 17 lados

Desde os gregos se sabia construir com régua e compasso os polígonos regulares de 3, 4, 5 e 15 lados, e todos os que saem deles dobrando o número de lados (6, 8, 10, 12…). Por 2000 anos, ninguém achou outro. Gauss mostrou que construir o polígono de $n$ lados é o mesmo que calcular $\cos\frac{2\pi}{n}$ usando só números inteiros, as quatro operações e raízes quadradas. E régua e compasso sabem tirar raiz quadrada: é exatamente a construção que vimos no capítulo de Descartes. Para 17 lados, ele chegou a

October 1, 2026 Iniciar leitura

A aritmética do relógio

Se agora são 15 h, que horas serão daqui a 10 horas? Não são “25 h”, e sim 1 h da manhã: no relógio, depois do 24 a conta recomeça. Gauss deu nome e símbolo a essa ideia nas Disquisitiones: $$25 \equiv 1 \pmod{24}$$ Lê-se “25 é côngruo a 1, módulo 24”: os dois deixam o mesmo resto na divisão por 24. O símbolo $\equiv$ funciona quase como um sinal de igual: dá para somar e multiplicar dos dois lados.

October 1, 2026 Iniciar leitura

O teorema fundamental da álgebra

Na tese de doutorado, em 1799, Gauss provou que todo polinômio de grau $n$ tem $n$ raízes, desde que se aceitem os números complexos. Por exemplo, $x^2 + 1 = 0$ não tem solução real, mas tem duas complexas: $$x^2 + 1 = (x - i)(x + i).$$ Gauss também popularizou o jeito de desenhar os números complexos como pontos de um plano, o plano complexo: $a + bi$ é o ponto $(a, b)$. O norueguês Caspar Wessel (1797) e o suíço Jean-Robert Argand (1806) tiveram a mesma ideia, mas quase ninguém leu seus trabalhos; foi a fama de Gauss, a partir de 1831, que espalhou o desenho. Por isso ele também se chama plano de Argand-Gauss. E aí aparece uma ligação bonita com o polígono de 17 lados. As três raízes de $x^3 = 1$ são

October 1, 2026 Iniciar leitura

Contando os números primos

Euler provou que os primos nunca acabam (veja o capítulo dele). Mas quantos são? Aos 15 anos, Gauss passava o tempo livre contando primos em tabelas, de mil em mil. Percebeu que, perto de um número $x$, mais ou menos 1 em cada $\ln x$ números é primo. Daí a estimativa: a quantidade de primos até $x$, que chamamos de $\pi(x)$, é parecida com $$\pi(x) \approx \frac{x}{\ln x}, \qquad \text{ou melhor ainda,} \qquad \pi(x) \approx \text{Li}(x) = \int_2^x \frac{dt}{\ln t}.$$ $x$ Primos até $x$ $x / \ln x$ $\text{Li}(x)$ 100 25 21,7 29,1 1 000 168 144,8 176,6 10 000 1 229 1 085,7 1 245,1 100 000 9 592 8 685,9 9 628,8 1 000 000 78 498 72 382,4 78 626,1 O computador conta os primos de verdade (em azul) e compara com as estimativas de Gauss. Quanto maior x, menor o erro em porcentagem. Ative o JavaScript para ver esta figura interativa.

October 1, 2026 Iniciar leitura

Ceres e o método dos mínimos quadrados

Em 1º de janeiro de 1801, o astrônomo Giuseppe Piazzi, em Palermo, descobriu um pontinho que se movia entre as estrelas: era Ceres, hoje classificado como planeta anão. Piazzi o acompanhou por 41 dias, até ele sumir no brilho do Sol. Com tão poucas observações, ninguém sabia calcular a órbita, e Ceres parecia perdido para sempre. Gauss, com 24 anos, criou um método novo e calculou a órbita em poucas semanas. Na noite de 31 de dezembro de 1801, o astrônomo Franz von Zach apontou o telescópio para onde Gauss indicava, e lá estava Ceres.

October 1, 2026 Iniciar leitura

A curva normal, o sino de Gauss

Se os erros de medida são aleatórios, como eles se distribuem? Na Theoria motus, Gauss partiu da ideia de que a média é a melhor estimativa e chegou à forma da curva dos erros: $$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\, e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}},$$ em que $\mu$ é a média e $\sigma$ é o desvio padrão. É a curva normal, ou sino de Gauss: alta no meio, simétrica, e cada vez mais baixa longe da média. Ela aparece em toda parte, das alturas das pessoas aos erros de uma máquina.

October 1, 2026 Iniciar leitura

O Theorema Egregium e a curvatura

Medindo Hannover, Gauss pensou muito em como fazer mapas de uma Terra curva. Em 1827 publicou o resultado que chamou de Theorema Egregium, o “teorema notável”: a curvatura de uma superfície pode ser medida por quem vive dentro dela, sem sair para olhar de fora. Uma consequência: num plano, os ângulos de um triângulo somam 180°. Numa esfera, somam mais. Pegue o triângulo com um vértice no polo norte e os outros dois no equador:

October 1, 2026 Iniciar leitura

Sistemas de equações: o determinante e a eliminação de Gauss

Para calcular órbitas pelos mínimos quadrados, Gauss precisava resolver sistemas de equações com muitas incógnitas. Dois nomes que todo estudante conhece vêm dessa história: o determinante e a eliminação de Gauss. O determinante. Pegue um sistema com duas equações: $$\begin{cases} a\,x + b\,y = e \\ c\,x + d\,y = f \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{e\,d - b\,f}{a\,d - b\,c}, \qquad y = \frac{a\,f - e\,c}{a\,d - b\,c}.$$ Tudo depende do número $ad - bc$ no denominador: se ele não for zero, o sistema tem uma única solução. Esse número “determina” o sistema.

October 1, 2026 Iniciar leitura

A quadratura de Gauss: integrar com dois pontos

Quadratura circuli: capa redesenhada em vetor, com as construções geométricas da quadratura do círculo.Redesenho Euler’s Eyes “Quadratura” é o nome antigo para calcular uma área. Os gregos aproximavam a área do círculo por polígonos cada vez com mais lados, e daí nasceu o cálculo integral. O problema prático é: como calcular a área sob uma curva fazendo poucas contas?

October 1, 2026 Iniciar leitura