Números Complexos

Os números complexos como pares

No começo do século XIX os números complexos já eram usados havia trezentos anos, desde Cardano e Bombelli, e Euler tinha feito maravilhas com eles. Wessel, Argand e Gauss os tinham desenhado como pontos do plano. Mas continuava o desconforto: o que é, afinal, $\sqrt{-1}$? Um número que, ao quadrado, dá negativo parecia uma ficção útil, não um objeto da matemática. Hamilton resolveu a questão sem desenhar nada. No ensaio Teoria das funções conjugadas, ou pares algébricos, apresentado à Royal Irish Academy em 1833 e 1835 e publicado em 1837, ele propôs que um número complexo é um par ordenado de números reais, e nada mais.

October 27, 2026 Iniciar leitura

As superfícies de Riemann

A tese de doutorado de Riemann, de 1851, tem um título modesto: Fundamentos de uma teoria geral das funções de uma variável complexa. Dentro dela estão duas ideias que mudaram a matemática: as condições que uma função complexa precisa cumprir para ter derivada e uma maneira geométrica de lidar com funções que têm vários valores. Funções que se podem derivar Uma função complexa $f(z)$, com $z = x + iy$, pode ser escrita como $f = u + iv$, em que $u$ e $v$ são funções reais de $x$ e $y$. Para que $f$ tenha derivada no sentido complexo, isto é, para que o limite $\frac{f(z + h) - f(z)}{h}$ seja o mesmo qualquer que seja a direção em que $h$ vai a zero, as partes $u$ e $v$ precisam satisfazer as equações de Cauchy–Riemann:

October 31, 2026 Iniciar leitura

Os quatérnios: a fórmula da ponte

Depois de mostrar que os complexos são pares de números reais e que a sua multiplicação gira o plano, Hamilton quis fazer o mesmo no espaço. Procurava tripletos $a + bi + cj$, com uma multiplicação que respeitasse a lei dos módulos: o tamanho do produto deveria ser o produto dos tamanhos. Tentou durante anos, sobretudo em 1843, a ponto de os filhos lhe perguntarem toda manhã se já sabia multiplicar tripletos.

October 27, 2026 Iniciar leitura

ITA 2026 – 1ª fase: Matemática resolvida

Fonte: ITA – prova da 1ª fase e gabarito oficial. Arquivos na página de provas anteriores do ITA. A 1ª fase do ITA 2026 teve 48 questões de múltipla escolha: 12 de Matemática, 12 de Física, 12 de Química e 12 de Inglês. Este post traz as questões de matemática, numeradas de 1 a 12 como na prova. Convenções da prova. $i^2 = -1$; $\bar{z}$ é o conjugado de $z$; $]a, b[$ é o intervalo aberto $a < x < b$.

October 28, 2026 Iniciar leitura

ITA 2025 – 1ª fase: Matemática resolvida

Fonte: ITA – prova da 1ª fase e gabarito oficial. Arquivos na página de provas anteriores do ITA. A 1ª fase do ITA 2025 teve 48 questões de múltipla escolha: 12 de Matemática, 12 de Física, 12 de Química e 12 de Inglês. Este post traz as questões de matemática, numeradas de 1 a 12 como na prova. Convenções da prova. Os eixos horizontal e vertical são $O_x$ e $O_y$, e $O$ é a origem; $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}$; $i^2 = -1$; $\overline{AB}$ é o segmento e $AB$ a reta por $A$ e $B$.

October 28, 2026 Iniciar leitura

ITA 2024 – 1ª fase: Matemática resolvida

Fonte: ITA – prova da 1ª fase e gabarito oficial. Arquivos na página de provas anteriores do ITA. A 1ª fase do ITA 2024 teve 60 questões de múltipla escolha, 12 de cada disciplina (Física, Português, Inglês, Matemática e Química). Este post traz as questões de matemática, numeradas de 37 a 48 como na prova. Convenções da prova. $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}$; $A - B$ é a diferença dos conjuntos $A$ e $B$; $i^2 = -1$; $M_n(\mathbb{R})$ é o conjunto das matrizes $n \times n$ reais; $\overline{AB}$ é o segmento e $AB$ a reta por $A$ e $B$; $m(\overline{AB})$ é o comprimento de $\overline{AB}$; $A\hat{B}C$ é o ângulo de vértice $B$; $\det A$ é o determinante e $A^T$ a transposta de $A$.

October 28, 2026 Iniciar leitura

ITA 2023 – 1ª fase: Matemática resolvida

Fonte: ITA – prova da 1ª fase e gabarito oficial. Arquivos na página de provas anteriores do ITA. A 1ª fase do ITA 2023 teve 60 questões de múltipla escolha, 12 de cada disciplina (Física, Português, Inglês, Matemática e Química). Este post traz as questões de matemática, numeradas de 37 a 48 como na prova. Convenções da prova. $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}$; $i^2 = -1$; $M_n(\mathbb{R})$ é o conjunto das matrizes $n \times n$ reais; $\overline{AB}$ é o segmento e $AB$ a reta por $A$ e $B$; $m(\overline{AB})$ é o comprimento de $\overline{AB}$; $A\hat{O}B$ é o ângulo de vértice $O$; $\det A$ é o determinante de $A$.

October 28, 2026 Iniciar leitura

ITA 2022 – 2ª fase: Matemática resolvida

Fonte: ITA – prova de Matemática da 2ª fase. Arquivos na página de provas anteriores do ITA. A prova de Matemática da 2ª fase do ITA 2022 tem 10 questões dissertativas. O ITA não publica resolução oficial da 2ª fase; as resoluções abaixo são nossas, e cada resposta foi conferida por um segundo caminho (substituição, outra fórmula ou verificação numérica). As convenções de notação são as mesmas da 1ª fase: $i^2 = -1$, $m(\overline{AB})$ é o comprimento do segmento $\overline{AB}$ e $A\hat{O}B$ é o ângulo de vértice $O$.

October 28, 2026 Iniciar leitura

ITA 2022 – 1ª fase: Matemática resolvida

Fonte: ITA – prova da 1ª fase e gabarito oficial. Arquivos na página de provas anteriores do ITA. A 1ª fase do ITA 2022 teve 70 questões de múltipla escolha: 15 de Física, 15 de Português, 10 de Inglês, 15 de Matemática e 15 de Química. Este post traz as questões de matemática, numeradas de 41 a 55 como na prova. Convenções da prova. $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}$; $i$ é a unidade imaginária ($i^2 = -1$); $M_n(\mathbb{R})$ é o conjunto das matrizes $n \times n$ de entradas reais; $\overline{AB}$ é o segmento de extremidades $A$ e $B$, e $m(\overline{AB})$ é o seu comprimento; $A\hat{O}B$ é o ângulo de vértice $O$ formado pelas semirretas $\overrightarrow{OA}$ e $\overrightarrow{OB}$.

October 28, 2026 Iniciar leitura

O plano de Argand: o número imaginário que ganhou lugar

Desde o século XVI, os algebristas italianos sabiam que, para resolver certas equações do terceiro grau, era preciso passar por raízes quadradas de números negativos, mesmo quando a resposta final era um número real. Usavam $\sqrt{-1}$ com desconforto. Descartes os chamou de imaginários, e o nome ficou. Leibniz os descreveu como “um anfíbio entre o ser e o não ser”. O problema era semiótico. $\sqrt{-1}$ era uma escrita que obedecia às regras da álgebra, mas que não apontava para nada que se pudesse ver ou medir. Um número real tem lugar na reta; $\sqrt{-1}$ não tinha lugar nenhum.

October 19, 2026 Iniciar leitura

FUVEST 2023 – 2ª fase: Matemática resolvida

Fonte: FUVEST – prova da 2ª fase, 2º dia (questões M01 a M06) e documento de abordagens esperadas. A 2ª fase da FUVEST 2023 teve dois dias. O 1º dia foi de Português e Redação; no 2º dia, a prova trazia 6 questões de cada disciplina, e a de Matemática vai de M01 a M06. Cada candidato respondeu só as disciplinas da sua carreira (em algumas carreiras, só as primeiras questões de cada disciplina).

September 27, 2026 Iniciar leitura