No começo do século XIX os números complexos já eram usados havia trezentos anos, desde Cardano e Bombelli, e Euler tinha feito maravilhas com eles. Wessel, Argand e Gauss os tinham desenhado como pontos do plano. Mas continuava o desconforto: o que é, afinal, $\sqrt{-1}$? Um número que, ao quadrado, dá negativo parecia uma ficção útil, não um objeto da matemática.

Hamilton resolveu a questão sem desenhar nada. No ensaio Teoria das funções conjugadas, ou pares algébricos, apresentado à Royal Irish Academy em 1833 e 1835 e publicado em 1837, ele propôs que um número complexo é um par ordenado de números reais, e nada mais.

As regras do jogo

Para pares $(a, b)$ e $(c, d)$, Hamilton definiu

$$(a, b) + (c, d) = (a + c,\; b + d), \qquad (a, b)\cdot(c, d) = (ac - bd,\; ad + bc).$$

Os pares da forma $(a, 0)$ se comportam exatamente como os números reais: $(a, 0) + (c, 0) = (a + c, 0)$ e $(a, 0)\cdot(c, 0) = (ac, 0)$. Por isso podemos escrever simplesmente $a$ em vez de $(a, 0)$. E o par $(0, 1)$ tem uma propriedade especial:

$$(0, 1)\cdot(0, 1) = (0 \cdot 0 - 1 \cdot 1,\; 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0) = (-1, 0) = -1.$$

Chamando $(0, 1)$ de $i$, o par $(a, b)$ é $a + bi$, e $i^2 = -1$. A “raiz de menos um” deixou de ser um mistério: é um par de números reais que obedece a uma regra de multiplicação bem definida. Tudo o que se faz com os complexos pode ser verificado com aritmética de números reais.

Por que essa regra?

A regra de multiplicação parece arbitrária, mas tem uma propriedade preciosa, que Hamilton chamou de lei dos módulos. O módulo de $(a, b)$ é $\sqrt{a^2 + b^2}$, a distância à origem. E o módulo do produto é o produto dos módulos:

$$(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac - bd)^2 + (ad + bc)^2.$$

É uma identidade antiga, conhecida por Diofanto e por Brahmagupta, e é ela que torna a multiplicação de complexos uma operação geométrica: multiplicar por um complexo de módulo 1 é girar o plano. Multiplicar por $i$ gira $90°$.

Multiplicar por i leva (2, 1) a (−1, 2): um giro de 90° que preserva o módulo.
Multiplicar por i leva (2, 1) a (−1, 2): um giro de 90° que preserva o módulo.Ilustração original · Euler’s Eyes

Dividir também é uma conta com pares

Para dividir $a+bi$ por $c+di\ne0$, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado $c-di$. O denominador fica real:

$$(c+di)(c-di)=c^2+d^2.$$

Portanto,

$$\frac{a+bi}{c+di}=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}\,i.$$

Por exemplo, $(1+2i)/(3+4i)=(11+2i)/25$. Multiplicar esse resultado por $3+4i$ devolve $1+2i$. Nos quatérnios, a mesma ideia do conjugado funciona, mas a ordem dos fatores passa a importar.

Girar e mudar o tamanho

Multiplicar por $i$ é um caso particular. Se $z=r(\cos\theta+i\operatorname{sen}\theta)$ e $w=s(\cos\varphi+i\operatorname{sen}\varphi)$, as fórmulas de adição dos ângulos dão

$$zw=rs\bigl(\cos(\theta+\varphi)+i\operatorname{sen}(\theta+\varphi)\bigr).$$

Os módulos se multiplicam e os ângulos se somam. A conta com pares, portanto, reúne uma mudança de escala e uma rotação.

As direções do diagrama antigo de operações complexas, redesenhadas com i no lugar de w. Os ângulos são considerados módulo 360°.
As direções do diagrama antigo de operações complexas, redesenhadas com i no lugar de w. Os ângulos são considerados módulo 360°.Adaptado de inst/Math/vector/rich-content/images/w3.png · acervo local

O passo seguinte

Se os pares descrevem o plano e as rotações do plano, não haveria tripletos $(a, b, c)$, ou $a + bi + cj$, que fizessem o mesmo no espaço de três dimensões? Hamilton queria uma multiplicação de tripletos com a lei dos módulos: o tamanho do produto deveria ser o produto dos tamanhos. Essa pergunta o ocupou por mais de dez anos, e a resposta, surpreendente, está nos quatérnios.

Exercício: multiplicar pares

Calcule $(1, 2)\cdot(3, 4)$ e verifique a lei dos módulos.

$(1 \cdot 3 - 2 \cdot 4,\; 1 \cdot 4 + 2 \cdot 3) = (-5, 10)$. Os quadrados dos módulos são $1 + 4 = 5$ e $9 + 16 = 25$, e o do produto é $25 + 100 = 125 = 5 \cdot 25$. A lei dos módulos funciona.

Exercício: girar com i

Mostre que multiplicar um par $(a, b)$ por $i = (0, 1)$ dá o par girado $90°$ no sentido anti-horário.

$(a, b)\cdot(0, 1) = (a \cdot 0 - b \cdot 1,\; a \cdot 1 + b \cdot 0) = (-b, a)$. O ponto $(a, b)$ vai para $(-b, a)$, que tem o mesmo comprimento e é perpendicular a ele, um quarto de volta adiante. Por exemplo, $(1, 0)$ vai para $(0, 1)$, e este vai para $(-1, 0)$.

Fontes: William Rowan Hamilton, “Theory of Conjugate Functions, or Algebraic Couples; with a Preliminary and Elementary Essay on Algebra as the Science of Pure Time”, Transactions of the Royal Irish Academy (1837) · Thomas L. Hankins, Sir William Rowan Hamilton (1980) · Paul J. Nahin, An Imaginary Tale (1998).

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