Vamos provar três propriedades que relacionam as medidas dos lados com as medidas dos ângulos de um triângulo retângulo. Elas ligam a trigonometria do ciclo, que estudamos até aqui, à trigonometria dos triângulos, de onde tudo começou. A história Conta-se que Tales de Mileto (século VI a.C.) mediu a altura da Grande Pirâmide do Egito comparando a sua sombra com a sombra de uma vara: no mesmo instante, o Sol forma o mesmo ângulo com os dois objetos, e a razão entre altura e sombra é a mesma para ambos. É exatamente a ideia deste capítulo — fixado um ângulo, a razão entre dois lados do triângulo retângulo é fixa — embora, para Tales, ainda não houvesse nomes nem tabelas para essas razões. A história chegou até nós por autores muito posteriores, como Diógenes Laércio e Plutarco.
Sejam $f$ e $g$ duas funções trigonométricas da variável $x$. Resolver a inequação $f(x) < g(x)$ é obter o conjunto $S$ — o conjunto-solução ou conjunto-verdade — dos números $r$ para os quais $f(r) < g(r)$ é uma sentença verdadeira. A história Os sinais $<$ e $>$ apareceram impressos em 1631, no livro Artis analyticae praxis, publicado dez anos depois da morte do matemático inglês Thomas Harriot, que também foi astrônomo e navegador. Os sinais $\le$ e $\ge$ (com um traço sob o sinal) foram introduzidos em 1734 pelo francês Pierre Bouguer, matemático e hidrógrafo. Antes disso, as desigualdades eram escritas por extenso — “é maior que”, “é menor que”.
O seno é a altura do ponto que gira no ciclo. Quando o ponto dá voltas, a altura sobe e desce entre $-1$ e $1$, desenhando a curva mais famosa da matemática: a senoide. A história Durante mais de mil anos o seno foi um número de tabela: ninguém pensava em desenhar o seu gráfico. A primeira senoide de que se tem notícia apareceu por volta de 1634, num trabalho do francês Gilles Personne de Roberval sobre a cicloide, a curva descrita por um ponto de uma roda que rola. Para calcular a área sob a cicloide, Roberval usou uma curva auxiliar, que chamou de “companheira da cicloide” — e essa companheira é exatamente uma senoide. Foi Euler, um século depois, quem passou a tratar o seno como função de um número real, e só então o gráfico ganhou o lugar central que tem hoje.