Euler's Eyes
2026-10-24
Inequações em seno
Sejam $f$ e $g$ duas funções trigonométricas da variável $x$. Resolver a inequação $f(x) < g(x)$ é obter o conjunto $S$ — o conjunto-solução ou conjunto-verdade — dos números $r$ para os quais $f(r) < g(r)$ é uma sentença verdadeira.
A história
Os sinais $<$ e $>$ apareceram impressos em 1631, no livro Artis analyticae praxis, publicado dez anos depois da morte do matemático inglês Thomas Harriot, que também foi astrônomo e navegador. Os sinais $\le$ e $\ge$ (com um traço sob o sinal) foram introduzidos em 1734 pelo francês Pierre Bouguer, matemático e hidrógrafo. Antes disso, as desigualdades eram escritas por extenso — “é maior que”, “é menor que”.
- 1557Robert Recorde inventa o sinal $=$: “duas retas paralelas, porque nada pode ser mais igual”.
- 1631Os sinais $<$ e $>$ de Harriot saem impressos.
- 1734Pierre Bouguer introduz $\le$ e $\ge$.
Fontes: F. Cajori, A History of Mathematical Notations, vol. I (1928), §§ 484–485 · Harriot (MacTutor).
No dia a dia
- Roda-gigante. Na roda do capítulo VII, a cabine fica acima de 29 m enquanto $\operatorname{sen}\theta > \frac{1}{2}$, isto é, durante $\frac{1}{3}$ da volta: 3 min 20 s a cada 10 minutos.
- Energia solar. Um painel horizontal só gera energia útil quando o Sol está alto o suficiente; exigir pelo menos metade da intensidade máxima é exigir $\operatorname{sen} h > \frac{1}{2}$, isto é, Sol acima de $30^\circ$.
- Travessia na maré baixa. Os horários em que se pode atravessar a pé um banco de areia são as soluções de uma inequação do tipo $a + b\operatorname{sen}(ct + d) < m$.
Teoria
Inequações fundamentais
Quase todas as inequações trigonométricas podem ser reduzidas a um dos seis tipos seguintes, em que $m$ é um número real dado:
$$\operatorname{sen} x > m \qquad \cos x > m \qquad \operatorname{tg} x > m$$$$\operatorname{sen} x < m \qquad \cos x < m \qquad \operatorname{tg} x < m$$Por isso eles são chamados de inequações fundamentais, e é preciso saber resolvê-los para resolver as demais. (Com $\ge$ e $\le$ o raciocínio é o mesmo; só mudam os extremos dos intervalos, que passam a ser incluídos.)
Resolução de sen x > m
ResumoRoteiro
- Marque sobre o eixo dos senos o ponto $P_1$ tal que $\overline{OP_1} = m$.
- Trace por $P_1$ a reta $r$ perpendicular ao eixo. As imagens dos reais $x$ tais que $\operatorname{sen} x > m$ estão na interseção do ciclo com o semiplano acima de $r$.
- Descreva os intervalos aos quais $x$ pode pertencer, partindo de $A$ e percorrendo o ciclo no sentido anti-horário até completar uma volta.
Exemplosen x > −√2/2
A reta $r$ ($v = -\frac{\sqrt{2}}{2}$) corta o ciclo nas imagens de $\frac{5\pi}{4}$ e $\frac{7\pi}{4}$. O arco acima dela, percorrido a partir de $A$, dá dois intervalos:
AtençãoPor que começar em A?
Seria errado escrever $\frac{7\pi}{4} + 2k\pi < x < \frac{5\pi}{4} + 2k\pi$: como $\frac{7\pi}{4} > \frac{5\pi}{4}$, não existe $x$ nenhum nesse “intervalo”. Partindo de $A$, o arco que passa por $A$ fica dividido em dois intervalos legítimos. (Outra saída é usar uma determinação negativa: $-\frac{\pi}{4} + 2k\pi < x < \frac{5\pi}{4} + 2k\pi$.)
Resolução de sen x < m
ResumoRoteiro
- Marque sobre o eixo dos senos o ponto $P_1$ tal que $\overline{OP_1} = m$ e trace por ele a reta $r$ perpendicular ao eixo.
- As imagens dos reais $x$ tais que $\operatorname{sen} x < m$ estão na interseção do ciclo com o semiplano abaixo de $r$.
- Partindo de $A$ e percorrendo o ciclo no sentido anti-horário até completar uma volta, descreva os intervalos que convêm.
Exemplosen x < 1/2
A reta $v = \frac{1}{2}$ corta o ciclo nas imagens de $\frac{\pi}{6}$ e $\frac{5\pi}{6}$:
PropriedadeCasos extremos
- Se $m \ge 1$: $\operatorname{sen} x > m$ não tem solução e $\operatorname{sen} x < m$ vale para todo $x$ (exceto $x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$, quando $m = 1$).
- Se $m < -1$: $\operatorname{sen} x > m$ vale para todo $x$ e $\operatorname{sen} x < m$ não tem solução.
Para ir além: $\operatorname{sen} x < x < \operatorname{tg} x$ e o limite fundamental
Uma das desigualdades trigonométricas mais importantes não se resolve no ciclo, mas comparando áreas. Para $0 < x < \frac{\pi}{2}$, no ciclo de centro $O$, sejam $A = (1, 0)$, $P$ a imagem de $x$ e $T$ o ponto do eixo das tangentes na reta $OP$.
Dividindo tudo por $\operatorname{sen} x > 0$ e invertendo: $\cos x < \dfrac{\operatorname{sen} x}{x} < 1$. Quando $x$ se aproxima de $0$, $\cos x$ se aproxima de $1$, e a razão fica espremida entre os dois:
$$\lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{sen} x}{x} = 1.$$(Para $x < 0$ vale o mesmo, porque $\frac{\operatorname{sen}(-x)}{-x} = \frac{\operatorname{sen} x}{x}$.) Na prática: para arcos pequenos, medidos em radianos, $\operatorname{sen} x \approx x$ — era exatamente o que Aryabhata aproveitava ao usar raio 3438.
ExemploDois limites
$$\lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{sen} 2x}{x} = \lim_{x \to 0} 2\cdot\frac{\operatorname{sen} 2x}{2x} = 2 \cdot 1 = 2, \qquad \lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{sen} x}{3x} = \frac{1}{3}\cdot 1 = \frac{1}{3}.$$Ver: a derivada do seno
A taxa de variação do seno no ponto $x$ é o limite de $\dfrac{\operatorname{sen}(x + h) - \operatorname{sen} x}{h}$ quando $h \to 0$. Pela fórmula do seno da soma (capítulo VI),
$$\frac{\operatorname{sen}(x + h) - \operatorname{sen} x}{h} = \cos x \cdot \frac{\operatorname{sen} h}{h} - \operatorname{sen} x \cdot \frac{1 - \cos h}{h}.$$O primeiro quociente tende a $1$. O segundo tende a $0$, porque $\dfrac{1 - \cos h}{h} = \dfrac{2\operatorname{sen}^2\frac{h}{2}}{h} = \operatorname{sen}\frac{h}{2}\cdot\dfrac{\operatorname{sen}\frac{h}{2}}{\frac{h}{2}} \to 0 \cdot 1$. Logo a derivada do seno é o cosseno. Do mesmo modo, a do cosseno é $-\operatorname{sen} x$.
Derivando duas vezes, o seno volta com o sinal trocado: $(\operatorname{sen} x)'' = -\operatorname{sen} x$. É por isso que senos e cossenos descrevem as molas, em que a aceleração é proporcional ao deslocamento, com sinal oposto — veja Euler e a mola.
Os exercícios desta seção são os de números 271 a 285 da lista do capítulo.