Vamos provar três propriedades que relacionam as medidas dos lados com as medidas dos ângulos de um triângulo retângulo. Elas ligam a trigonometria do ciclo, que estudamos até aqui, à trigonometria dos triângulos, de onde tudo começou.

A história

Conta-se que Tales de Mileto (século VI a.C.) mediu a altura da Grande Pirâmide do Egito comparando a sua sombra com a sombra de uma vara: no mesmo instante, o Sol forma o mesmo ângulo com os dois objetos, e a razão entre altura e sombra é a mesma para ambos. É exatamente a ideia deste capítulo — fixado um ângulo, a razão entre dois lados do triângulo retângulo é fixa — embora, para Tales, ainda não houvesse nomes nem tabelas para essas razões. A história chegou até nós por autores muito posteriores, como Diógenes Laércio e Plutarco.

Tales e a Grande Pirâmide: no mesmo instante, a razão entre altura e sombra é a mesma para a pirâmide e para uma vara. Mude a altura do Sol: as sombras mudam, a altura calculada não.

O triângulo retângulo nos livros. Entre a tábua de sombras de Bagdá e as tábuas modernas, o triângulo retângulo com os seus nomes foi desenhado e redesenhado:

  1. c. 850
    Habash al-Hasib (Ahmad ibn Abdallah) usa sombras e meias-cordas nos seus manuscritos de astronomia.
  2. 1220
    Leonardo de Pisa (Fibonacci), na Practica geometriae, aplica cordas e triângulos à medição de terrenos.
  3. 1551
    Rheticus, no Canon doctrinae triangulorum, define as seis funções pelos lados do triângulo retângulo.
  4. 1558
    Francesco Maurolico edita a Esférica de Menelau, com tábuas e triângulos esféricos.
  5. 1620
    Edmund Gunter, no Canon triangulorum, introduz co-sinus e co-tangens.

Fontes: Tales (MacTutor) · Diógenes Laércio, Vidas dos filósofos ilustres, I.27 · Aristóteles, Política, I.11.

No dia a dia

  • Altura de um prédio com o celular. Aplicativos de clinômetro medem o ângulo até o topo. A 30 m do prédio, com $40^\circ$, a altura acima dos olhos é $30\operatorname{tg} 40^\circ \approx 25{,}2$ m.
  • Pouso de aviões. A descida final é feita com cerca de $3^\circ$: a 10 km da pista, o avião está a $10\,000\operatorname{tg} 3^\circ \approx 524$ m de altura.
  • Declividade de terrenos. Topógrafos e engenheiros classificam terrenos pela tangente da inclinação, em porcentagem, para decidir onde se pode construir.
A altura de um prédio medida com o celular: distância, ângulo e tangente.

Teoria

Seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo

Consideremos o triângulo $ABC$ retângulo em $A$, uma circunferência de raio unitário com centro no vértice $B$ e um sistema $uOv$ com origem em $B$ e o eixo $u$ sobre o cateto $\overline{BA}$. Seja $P$ o ponto em que a hipotenusa $\overline{BC}$ corta a circunferência, $P_1$ a projeção de $P$ sobre o eixo $u$ e $T$ o ponto em que a reta $BC$ corta a reta tangente à circunferência em $I = (1, 0)$.

TeoremaRazões trigonométricas

Num triângulo $ABC$ retângulo em $A$:

$$\operatorname{sen}\hat{B} = \frac{b}{a} = \frac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}}$$$$\cos\hat{B} = \frac{c}{a} = \frac{\text{cateto adjacente}}{\text{hipotenusa}}$$$$\operatorname{tg}\hat{B} = \frac{b}{c} = \frac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}}$$
Ver as demonstrações

No ciclo de centro $B$, o ponto $P$ é a imagem do arco $\hat{B}$: então $PP_1 = \operatorname{sen}\hat{B}$, $BP_1 = \cos\hat{B}$ e $IT = \operatorname{tg}\hat{B}$, com $BP = BI = 1$.

1) $\triangle BP_1P \sim \triangle BAC$ (o ângulo $\hat{B}$ é comum e ambos têm um ângulo reto), logo $\dfrac{CA}{BC} = \dfrac{P_1P}{BP}$, isto é, $\dfrac{b}{a} = \dfrac{\operatorname{sen}\hat{B}}{1}$.

2) Da mesma semelhança, $\dfrac{BA}{BC} = \dfrac{BP_1}{BP}$, isto é, $\dfrac{c}{a} = \dfrac{\cos\hat{B}}{1}$.

3) $\triangle BIT \sim \triangle BAC$, logo $\dfrac{CA}{BA} = \dfrac{TI}{BI}$, isto é, $\dfrac{b}{c} = \dfrac{\operatorname{tg}\hat{B}}{1}$.

Ângulos complementares

Como $\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 180^\circ$ e $\hat{A} = 90^\circ$, temos $\hat{B} + \hat{C} = 90^\circ$: os ângulos agudos são complementares. O cateto oposto a $\hat{C}$ é o adjacente a $\hat{B}$, e vice-versa; por isso

$$\operatorname{sen}\hat{C} = \cos\hat{B} = \frac{c}{a}$$$$\cos\hat{C} = \operatorname{sen}\hat{B} = \frac{b}{a}$$$$\operatorname{tg}\hat{C} = \frac{c}{b} = \frac{1}{\operatorname{tg}\hat{B}}.$$

É a mesma propriedade dos arcos complementares do capítulo IV, agora lida no triângulo.

Proporcionalidade

Das três propriedades decorre que, fixado um ângulo agudo $\hat{B}$, se marcarmos sobre um de seus lados os pontos $A_1$, $A_2$, $A_3$, … e conduzirmos por eles as perpendiculares $\overline{A_1C_1}$, $\overline{A_2C_2}$, $\overline{A_3C_3}$, …, teremos

$$\operatorname{sen}\hat{B} = \frac{A_1C_1}{BC_1} = \frac{A_2C_2}{BC_2} = \frac{A_3C_3}{BC_3} = \cdots$$$$\cos\hat{B} = \frac{BA_1}{BC_1} = \frac{BA_2}{BC_2} = \cdots $$$$\operatorname{tg}\hat{B} = \frac{A_1C_1}{BA_1} = \frac{A_2C_2}{BA_2} = \cdots$$

Isto é: fixado $\hat{B}$, o cateto oposto a $\hat{B}$ e a hipotenusa são diretamente proporcionais; o mesmo vale para o cateto adjacente e a hipotenusa, e para os dois catetos. A figura interativa da abertura do capítulo permite verificar isso numericamente.

Os ângulos de 30°, 45° e 60° a partir de triângulos

Dois triângulos bem conhecidos dão, sem nenhuma tábua, as razões trigonométricas dos ângulos de $30^\circ$, $45^\circ$ e $60^\circ$.

À esquerda, a altura divide o triângulo equilátero de lado $\ell$ em dois triângulos retângulos com ângulos de $30^\circ$ e $60^\circ$. À direita, a diagonal divide o quadrado de lado $\ell$ em dois triângulos retângulos isósceles.

Triângulo equilátero. A altura $AH$ é também mediana, então $BH = \frac{\ell}{2}$, e por Pitágoras $AH = \sqrt{\ell^2 - \frac{\ell^2}{4}} = \frac{\ell\sqrt{3}}{2}$. No triângulo retângulo $ABH$, o ângulo em $B$ mede $60^\circ$ e o ângulo em $A$ mede $30^\circ$:

$$\operatorname{sen} 60^\circ = \cos 30^\circ = \frac{\ell\sqrt{3}/2}{\ell} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \qquad \cos 60^\circ = \operatorname{sen} 30^\circ = \frac{\ell/2}{\ell} = \frac{1}{2},$$$$\operatorname{tg} 60^\circ = \frac{\ell\sqrt{3}/2}{\ell/2} = \sqrt{3}, \qquad \operatorname{tg} 30^\circ = \frac{\ell/2}{\ell\sqrt{3}/2} = \frac{\sqrt{3}}{3}.$$

Metade do quadrado. A diagonal mede $\sqrt{\ell^2 + \ell^2} = \ell\sqrt{2}$ e forma $45^\circ$ com os lados:

$$\operatorname{sen} 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{\ell}{\ell\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}, \qquad \operatorname{tg} 45^\circ = \frac{\ell}{\ell} = 1.$$

AtençãoO lado não importa

Em todas as contas o $\ell$ se cancela: é a proporcionalidade do tópico anterior. Os mesmos valores aparecem no capítulo V a partir dos polígonos inscritos no ciclo. Confira também a relação fundamental: $\operatorname{sen}^2 45^\circ + \cos^2 45^\circ = \frac{2}{4} + \frac{2}{4} = 1$.

Aplicação: o caminho da luz

A luz que se reflete num espelho ou passa do ar para a água muda de direção, e a trigonometria do triângulo retângulo explica como. Em 1662, Pierre de Fermat propôs que a luz segue, entre dois pontos, o caminho que leva menos tempo.

  • Reflexão. No mesmo meio a velocidade é constante, então o menor tempo é o menor caminho $SM + MT$. Com $S$ a uma altura $a$ do espelho, $T$ a uma altura $b$ e $M$ a uma distância $x$ do pé de $S$ (numa distância total $\ell$), o caminho é $\sqrt{x^2 + a^2} + \sqrt{(\ell - x)^2 + b^2}$. No mínimo vale $\dfrac{x}{SM} = \dfrac{\ell - x}{MT}$, e essas razões são os senos dos ângulos com a vertical: $\operatorname{sen} i = \operatorname{sen} r$, ou seja, o ângulo de incidência é igual ao de reflexão.
  • Refração. Na água a luz é mais lenta ($v_2 < v_1$), e o tempo é $\dfrac{SM}{v_1} + \dfrac{MT}{v_2}$. O mínimo acontece quando
$$\frac{\operatorname{sen} i}{\operatorname{sen} r} = \frac{v_1}{v_2},$$

a lei de Snell. Ela já havia sido enunciada pelo persa Ibn Sahl por volta de 984, redescoberta pelo holandês Willebrord Snellius em 1621 e publicada por Descartes em 1637; Fermat foi o primeiro a deduzi-la de um princípio de mínimo. (O cálculo exato do mínimo usa derivadas; aqui basta ver, na figura, que o tempo é menor exatamente quando as duas razões coincidem.)

Reflexão: mova o ponto $M$ sobre o espelho. O caminho $SM + MT$ é mínimo quando $i = r$.
Refração: a luz sai de $S$, no ar, e chega a $T$, na água, onde anda mais devagar. O tempo é mínimo quando $\frac{\operatorname{sen} i}{\operatorname{sen} r} = \frac{v_1}{v_2}$.
Willebrord Snellius (1580–1626), que redescobriu a lei da refração.
Willebrord Snellius (1580–1626), que redescobriu a lei da refração.Autor não identificado · Wikimedia Commons · Domínio público
Pierre de Fermat (1601–1665), que deduziu a lei de Snell do princípio do menor tempo.
Pierre de Fermat (1601–1665), que deduziu a lei de Snell do princípio do menor tempo.Pintor não identificado · Wikimedia Commons · Domínio público

Os exercícios desta seção são os de números 331 a 351 da lista do capítulo.