Tangente

Razões trigonométricas no triângulo retângulo

Vamos provar três propriedades que relacionam as medidas dos lados com as medidas dos ângulos de um triângulo retângulo. Elas ligam a trigonometria do ciclo, que estudamos até aqui, à trigonometria dos triângulos, de onde tudo começou. A história Conta-se que Tales de Mileto (século VI a.C.) mediu a altura da Grande Pirâmide do Egito comparando a sua sombra com a sombra de uma vara: no mesmo instante, o Sol forma o mesmo ângulo com os dois objetos, e a razão entre altura e sombra é a mesma para ambos. É exatamente a ideia deste capítulo — fixado um ângulo, a razão entre dois lados do triângulo retângulo é fixa — embora, para Tales, ainda não houvesse nomes nem tabelas para essas razões. A história chegou até nós por autores muito posteriores, como Diógenes Laércio e Plutarco.

October 24, 2026 Iniciar leitura

Inequações em tangente

Para a tangente, a fronteira não é mais uma reta paralela a um eixo, mas a reta $OT$ que passa pelo centro: ela corta o ciclo em dois pontos diametralmente opostos, e as soluções vêm sempre em pares de arcos simétricos em relação a $O$ — o reflexo de a tangente ter período $\pi$. A história O nome tangente vem do eixo que usamos para medi-la: o segmento $\overline{AT}$ está sobre a reta tangente ao ciclo em $A$. A palavra, em latim tangens, foi introduzida pelo matemático dinamarquês Thomas Fincke no livro Geometria rotundi (1583), junto com secans. Antes, os árabes já tabelavam essa grandeza como a “sombra” de uma vara vertical iluminada pelo Sol, num estudo ligado aos relógios de sol (veja o capítulo II).

October 24, 2026 Iniciar leitura

Função tangente

A tangente mede a inclinação da reta que liga o centro do ciclo ao ponto $P$. Ela é lida num eixo vertical que toca o ciclo em $A$ — o eixo das tangentes — e, ao contrário de seno e cosseno, pode assumir qualquer valor real. A história A tangente nasceu longe do círculo: nasceu das sombras. Uma vara vertical espetada no chão, o gnômon, projeta uma sombra cujo comprimento depende da altura do Sol — e a razão entre a sombra e a vara é, em linguagem de hoje, uma tangente (ou uma cotangente, conforme a posição da vara). Por causa dos relógios de sol e da hora das orações, os astrônomos do mundo islâmico precisavam dessas razões, e as primeiras tábuas de sombras conhecidas foram feitas em Bagdá por volta de 860. Costuma-se atribuí-las a Habash al-Hasib. Um século e meio depois, al-Biruni reuniu tudo o que se sabia no Tratado exaustivo sobre as sombras. O nome “tangente” só viria em 1583, com Thomas Fincke (veja o capítulo VIII).

October 22, 2026 Iniciar leitura

Exercícios do capítulo 10 — Circunferência e círculo

Exercícios e resoluções 336 Determine o raio do círculo de centro $O$, dados $AB = 3x - 3$ e $OA = x + 3$. Ver resposta$r = 12$ 337 A circunferência tem raio de 16 cm e o ponto $P$ dista 7 cm do centro. Determine a distância entre $P$ e a circunferência. Ver resposta9 cm 338 Determine o valor de $x$ nos casos: a) $s$ é perpendicular a $\overline{AB}$; b) $\overline{PA}$ e $\overline{PB}$ são tangentes à circunferência. Ver respostaa) $x = 6$ · b) $x = 9$

October 5, 2026 Iniciar leitura

Segmentos tangentes — quadriláteros circunscritíveis

De um ponto fora de uma circunferência saem duas tangentes, e os dois segmentos até os pontos de contato têm o mesmo comprimento. Quem descobriu A igualdade dos segmentos tangentes é consequência direta da proposição III.17 dos Elementos de Euclides, que ensina a traçar a tangente por um ponto exterior. Dela sai o teorema de Pitot: num quadrilátero que tem uma circunferência inscrita, as somas dos lados opostos são iguais. O engenheiro francês Henri Pitot o publicou em 1725 (veja a curiosidade sobre ele mais abaixo). A recíproca — se as somas dos lados opostos são iguais, o quadrilátero admite circunferência inscrita — foi provada no século XIX e costuma ser atribuída a Jakob Steiner.

October 5, 2026 Iniciar leitura

Posições relativas de duas circunferências

Duas circunferências podem ser secantes, tangentes, uma dentro da outra ou afastadas. A distância entre os centros decide qual é o caso. Quem descobriu Os casos básicos estão nos Elementos de Euclides (c. 300 a.C.): duas circunferências distintas se cortam em no máximo dois pontos (proposição III.10), e, quando se tocam, o ponto de contato está na reta que une os centros (III.11 e III.12). Um século depois, Apolônio de Perga propôs o problema mais famoso sobre o tema: dadas três circunferências, traçar uma quarta tangente a todas elas.

October 5, 2026 Iniciar leitura

Posições relativas de reta e circunferência

Uma reta pode cortar uma circunferência em dois pontos, tocá-la em um só ou passar longe. A reta que só toca é a tangente. Quem descobriu As propriedades da tangente estão no livro III dos Elementos de Euclides (c. 300 a.C.). A proposição III.16 mostra que a reta perpendicular ao raio, na sua extremidade, toca a circunferência num único ponto, e a III.18 prova a recíproca: a tangente é perpendicular ao raio no ponto de contato. A palavra tangente vem do latim tangere, “tocar”.

October 4, 2026 Iniciar leitura

Definições e elementos

Todos os pontos à mesma distância de um centro: a definição da circunferência cabe numa linha, e ainda assim ela esconde o número π. Quem descobriu O círculo é uma das formas mais antigas da história humana, das rodas da Mesopotâmia (c. 3500 a.C.) aos monumentos de pedra. A definição rigorosa é de Euclides (definições I.15 a I.18 dos Elementos): uma figura limitada por uma linha cujos pontos estão todos à mesma distância de um ponto interior, o centro. Seu terceiro postulado garante que é possível traçar uma circunferência com qualquer centro e qualquer raio. Quem primeiro calculou com rigor a razão entre o contorno e o diâmetro foi Arquimedes (século III a.C.).

October 4, 2026 Iniciar leitura