Para a tangente, a fronteira não é mais uma reta paralela a um eixo, mas a reta $OT$ que passa pelo centro: ela corta o ciclo em dois pontos diametralmente opostos, e as soluções vêm sempre em pares de arcos simétricos em relação a $O$ — o reflexo de a tangente ter período $\pi$.

A história

O nome tangente vem do eixo que usamos para medi-la: o segmento $\overline{AT}$ está sobre a reta tangente ao ciclo em $A$. A palavra, em latim tangens, foi introduzida pelo matemático dinamarquês Thomas Fincke no livro Geometria rotundi (1583), junto com secans. Antes, os árabes já tabelavam essa grandeza como a “sombra” de uma vara vertical iluminada pelo Sol, num estudo ligado aos relógios de sol (veja o capítulo II).

Fontes: Fincke (MacTutor) · Trigonometric functions — History (MacTutor).

No dia a dia

  • Acessibilidade. A norma brasileira limita as rampas a 8,33% de inclinação: $\operatorname{tg}\alpha \le 0{,}0833$, ou seja, $\alpha \le 4{,}76^\circ$.
  • Telhados. Telhas cerâmicas exigem inclinação mínima, em torno de 30% conforme o modelo, para a água escorrer: $\operatorname{tg}\alpha \ge 0{,}30$, isto é, $\alpha \ge 16{,}7^\circ$.
  • Estradas. As placas de “declive acentuado” avisam trechos em que a tangente da inclinação passa de um certo valor, perigoso para caminhões pesados.
A norma de acessibilidade é uma inequação em tangente: $\operatorname{tg}\alpha \le 0{,}0833$.

Teoria

Resolução de tg x > m

ResumoRoteiro

  1. Marque sobre o eixo das tangentes o ponto $T$ tal que $\overline{AT} = m$ e trace a reta $r = \overleftrightarrow{OT}$.
  2. As imagens dos reais $x$ tais que $\operatorname{tg} x > m$ estão na interseção do ciclo com o ângulo $r\hat{O}v$ (entre a reta $r$ e o eixo $v$, do lado de $T$) e com o seu oposto pelo vértice.
  3. Descreva os intervalos que convêm.

Exemplotg x > 1

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$$\frac{\pi}{4} + 2k\pi < x < \frac{\pi}{2} + 2k\pi \quad\text{ou}\quad \frac{5\pi}{4} + 2k\pi < x < \frac{3\pi}{2} + 2k\pi,$$

que se resumem em $\frac{\pi}{4} + k\pi < x < \frac{\pi}{2} + k\pi$.

Resolução de tg x < m

ResumoRoteiro

  1. Marque $T$ com $\overline{AT} = m$ e trace $r = \overleftrightarrow{OT}$.
  2. As imagens dos reais $x$ tais que $\operatorname{tg} x < m$ estão na interseção do ciclo com o ângulo $v\hat{O}r$ do outro lado de $r$ (o que contém $A$) e com o seu oposto pelo vértice.
  3. Descreva os intervalos que convêm, lembrando que $\frac{\pi}{2} + k\pi$ nunca é solução.

Exemplotg x < √3

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$$2k\pi \le x < \frac{\pi}{3} + 2k\pi \;\text{ ou }\; \frac{\pi}{2} + 2k\pi < x < \frac{4\pi}{3} + 2k\pi \;\text{ ou }\; \frac{3\pi}{2} + 2k\pi < x < 2\pi + 2k\pi,$$

isto é, $-\frac{\pi}{2} + k\pi < x < \frac{\pi}{3} + k\pi$.

Os exercícios desta seção são os de números 311 a 320 da lista do capítulo.