Triângulo Retângulo

Exercícios do capítulo IX — Triângulos retângulos

Faça sempre uma figura: marque o ângulo reto, os dados e a incógnita. Em seguida, escolha o triângulo retângulo em que a incógnita e os dados aparecem juntos. Relações métricas 321 Calcule os elementos $a$, $h$, $m$ e $n$ indicados na figura (catetos $b = 4$ e $c = 3$). Ative o JavaScript para ver esta figura interativa. Ver a resoluçãoSendo $c = 3$ e $b = 4$: $$a^2 = b^2 + c^2 = 16 + 9 = 25 \Rightarrow a = 5$$$$h = \frac{bc}{a} = \frac{4 \cdot 3}{5} = \frac{12}{5}$$$$m = \frac{c^2}{a} = \frac{9}{5}$$$$n = \frac{b^2}{a} = \frac{16}{5}.$$

October 24, 2026 Iniciar leitura

Resolução de triângulos retângulos

Resolver um triângulo retângulo significa calcular os seus elementos principais: os ângulos agudos ($\hat{B}$ e $\hat{C}$) e os lados ($a$, $b$, $c$). Para isso é necessário que sejam dadas duas informações sobre o triângulo, sendo pelo menos uma delas a medida de um segmento ligado a ele (lado, altura, mediana, bissetriz etc.) — só com ângulos, conhecemos a forma mas não o tamanho. A história Resolver triângulos retângulos foi, durante séculos, o trabalho diário de agrimensores, navegadores e artilheiros. Para medir ângulos no terreno, o inglês Leonard Digges descreveu um instrumento que chamou de theodelitus — o antepassado do teodolito, que até hoje aparece nas ruas sobre um tripé. A descrição saiu na Pantometria (“Medição universal”), livro que Leonard deixou inacabado e que o filho, Thomas Digges, completou e publicou em 1571. Com um ângulo medido e uma distância conhecida, as tábuas trigonométricas davam o resto.

October 24, 2026 Iniciar leitura

Razões trigonométricas no triângulo retângulo

Vamos provar três propriedades que relacionam as medidas dos lados com as medidas dos ângulos de um triângulo retângulo. Elas ligam a trigonometria do ciclo, que estudamos até aqui, à trigonometria dos triângulos, de onde tudo começou. A história Conta-se que Tales de Mileto (século VI a.C.) mediu a altura da Grande Pirâmide do Egito comparando a sua sombra com a sombra de uma vara: no mesmo instante, o Sol forma o mesmo ângulo com os dois objetos, e a razão entre altura e sombra é a mesma para ambos. É exatamente a ideia deste capítulo — fixado um ângulo, a razão entre dois lados do triângulo retângulo é fixa — embora, para Tales, ainda não houvesse nomes nem tabelas para essas razões. A história chegou até nós por autores muito posteriores, como Diógenes Laércio e Plutarco.

October 24, 2026 Iniciar leitura

Elementos e relações métricas

Sabemos que um triângulo é retângulo quando um de seus ângulos internos é reto. Neste capítulo vamos desenvolver uma teoria geométrico-trigonométrica que permite calcular as medidas de segmentos e ângulos de um triângulo retângulo partindo de um número mínimo de dados. A história As relações métricas do triângulo retângulo são das mais antigas da matemática. Tabletes babilônicos de cerca de 1800 a.C., como o famoso Plimpton 322, listam ternos de números que satisfazem $a^2 = b^2 + c^2$, e o tablete YBC 7289 traz uma excelente aproximação de $\sqrt{2}$, a diagonal do quadrado de lado 1. A primeira demonstração conhecida do teorema, porém, é grega: ela aparece como a proposição 47 do livro I dos Elementos de Euclides (cerca de 300 a.C.), e a tradição a atribui à escola de Pitágoras.

October 24, 2026 Iniciar leitura

Exercícios do capítulo 14 — Triângulos retângulos

Relações métricas 506 Determine o valor de $x$ nos casos: Ver respostaa) 5 · b) 12 · c) $\sqrt{7}$ · d) $3\sqrt{3}$ 507 Determine $x$ em função de $a$ nos casos: Ver respostaa) $a\sqrt{3}$ · b) $\dfrac{a}{2}$ 508 Determine $x$ nos casos: Ver respostaa) 12 · b) 24 · c) 20 · d) 8

October 9, 2026 Iniciar leitura

Aplicações do teorema de Pitágoras

A diagonal do quadrado, a altura do triângulo equilátero e as razões trigonométricas de 30°, 45° e 60° saem todas do mesmo teorema. Quem descobriu A diagonal do quadrado já foi calculada pelos babilônios: a tábua YBC 7289 (c. 1800–1600 a.C.) dá $\sqrt{2}$ com seis casas decimais corretas. As razões entre os lados de um triângulo retângulo começaram como tabelas astronômicas: Hiparco de Niceia (século II a.C.) montou uma tabela de cordas, o indiano Aryabhata (499) passou a usar a meia-corda — o nosso seno — e astrônomos islâmicos como Abu al-Wafa (século X) organizaram tabelas de sombras, as nossas tangentes. A fórmula que gera todos os triângulos pitagóricos, com lados $x^2 - y^2$, $2xy$ e $x^2 + y^2$, aparece num lema do livro X dos Elementos de Euclides.

October 9, 2026 Iniciar leitura

Relações métricas

O quadrado da hipotenusa é a soma dos quadrados dos catetos. Mas essa é só uma de várias relações que a altura revela dentro do triângulo retângulo. Quem descobriu A relação entre os lados do triângulo retângulo é muito mais antiga que Pitágoras de Samos (século VI a.C.). Tábuas da Babilônia de cerca de 1800 a.C. usam ternos como 3, 4, 5 e calculam a diagonal do quadrado; os Sulba Sutras da Índia (c. 800–500 a.C.) enunciam a regra para construir altares; e o texto chinês Zhoubi Suanjing traz uma prova visual. A tradição grega associou o teorema a Pitágoras, mas não há prova documental de que ele o tenha demonstrado. A demonstração mais antiga que chegou até nós está nos Elementos de Euclides (c. 300 a.C.): a proposição I.47 prova o teorema por áreas, e a I.48 prova a recíproca. As relações com a altura — cada cateto e a altura como médias proporcionais — estão na proposição VI.8 e no seu corolário.

October 9, 2026 Iniciar leitura