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f、f(x) 与 x ↦ x²：给函数命名的三种方式

第 1 章讲述了欧拉如何在 1734 年发明 $f(x)$，函数又如何变成一个带空格的句子（欧拉与函数）。这一篇看的是给函数命名的各种方式，以及每一种带来的混淆。 函数与它的值 比较两句话： “函数 $f$ 是递增的”； “当 $x>0$ 时，$f(x)$ 是正的”。 在第一句里，$f$ 是整个函数，是规则，是可以求导、复合、画图的对象。在第二句里，$f(x)$ 是一个数：输入为 $x$ 时函数给出的值。两者的区别，就像“计算器”和“屏幕上显示的数”的区别。 实际上大家都写“函数 $f(x)=x^2$”，几乎从不出问题。但有些情况下这个区别很重要。函数 $f$ 的导数是另一个函数 $f'$，而 $f'(3)=2\cdot3=6$。如果先算出 $f(3)=9$，再“对 $9$ 求导”，就会得到 $0$，因为常数的导数是零。错误在于顺序：求导的是一个数，即值 $f(3)$，而不是函数 $f$。 三种写法 “平方”这同一个函数，至少有三种记号： 记号 读法 来源 $f(x)=x^2$ $f$ 在 $x$ 处的值是 $x^2$ 欧拉，1734 年 $f:x\mapsto x^2$ $f$ 把每个 $x$ 送到 $x^2$ 二十世纪由布尔巴基学派推广 $\lambda x.\,x^2$ 接受 $x$、返回 $x^2$ 的那个函数 阿隆佐·丘奇，1930 年代 箭头 $\mapsto$ 有一个优点：它把函数表现为从输入到输出的移动，不会让人觉得 $x$ 是某个特定的数。丘奇的 $\lambda$ 走得更远：它给函数一个不需要名字的名字。表达式 $\lambda x.\,x^2$ 就是函数本身，正如 $5$ 就是数本身。函数式编程语言正是从这个想法诞生的，在其中可以写出，例如，lambda x: x**2。

October 15, 2026 阅读
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参数：别的字母移动时保持不动的字母

在方程 $$y=ax^2+bx+c$$中有五个字母，它们不在同一个层次上。$x$ 和 $y$ 在变：它们走遍一条抛物线上的点。在这期间，$a$、$b$ 和 $c$ 保持不动，但可以事先随意选择。每一种选择给出一条不同的抛物线。这样的字母叫作参数，来自希腊语 pará（旁边）和 métron（度量）：站在度量旁边、调节它的东西。 请启用 JavaScript 以使用这个交互图形。完整的推理见正文。 改变参数和改变变量不是一回事。改变 $x$，是沿着曲线走。改变 $a$，是换一条曲线：整条抛物线张开或收拢。 一个方程，一个家族 这是韦达的伟大发明，第 3 篇讲过：问题中给定的数也用字母表示。方程 $$ax^2+bx+c=0$$不是一个方程，而是一个方程家族，每个满足 $a\ne0$ 的三元组 $(a,b,c)$ 对应一个。在这里角色很清楚：$x$ 是未知数，$a$、$b$、$c$ 是参数。公式 $$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$用参数表示未知数，一次就解出了整个家族。这使得我们能提出任何单独一个方程都无法提出的问题：参数取哪些值时有两个解？答案 $b^2-4ac>0$ 是关于家族的论断，而不是关于某一个方程的。 物理学的字母 物理学是参数的王国。在匀速运动中， $$s=s_0+vt,$$时间 $t$ 和位置 $s$ 在运动中变化，而初始位置 $s_0$ 和速度 $v$ 保持固定。但换一个运动，它们就变了。在理想气体定律 $pV=nRT$ 中，$R$ 是普适常数，对所有气体都一样；$n$ 对给定的样品是固定的；$p$、$V$、$T$ 在变。一行之中有三个层次的“不动”，却没有任何记号来区分它们。 另一种参数 更复杂的是，参数这个词还有第二种意思。在方程 $$x=\cos t,\qquad y=\sin t$$中，字母 $t$ 叫作参数，这些方程叫作参数方程。但在这里，$t$ 并不静止：它从 $0$ 跑到 $2\pi$，跑的时候点 $(x,y)$ 画出一个圆。好像 $t$ 是时间，点是一个运动的物体。在这个意义上，参数是指挥另外两个变量的隐藏变量。 超参数 在人工智能里，这套词汇又多了一层。神经网络在训练中调整的数是它的参数，有数十亿个。程序员事先选定、用来调节训练的数，比如学习率，就成了超参数。结构和 $y=ax^2+bx+c$ 一样：会动的字母，别的字母动时不动的字母，以及在那些字母不动时也不动的字母。

October 15, 2026 阅读
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变量：会移动的字母

连续增加或减少的量称为变量；反之，在其他量变化时保持不变的量称为常量。 — 洛必达侯爵，《无穷小分析》（1696），定义 I 未知数是一个静止的字母：它隐藏一个值，而这个值不变。变量是一个会移动的字母。在 $y=x^2-4x+3$ 中，没有人问“$x$ 等于多少？”。问的是另一件事：“$x$ 变化时，$y$ 会怎样？” 从方程到曲线 从一种想法到另一种想法的过渡发生在十七世纪。1637 年前后，笛卡儿和费马把方程和曲线联系起来，含两个字母的方程，比如 $y=x^2$，就不再只有一个答案，而有无穷多个：组成抛物线的所有数对 $(x,y)$。$x$ 不再被寻找，而是被走遍。对每一个位置，方程都告诉我们 $y$ 在哪里。 请启用 JavaScript 以使用这个交互图形。完整的推理见正文。 流动的量 牛顿给这个想法赋予了一个物理形象。对他来说，变量是随时间流动的量，就像运动物体的位置，他称之为流量（fluent）；它流动的速度则是流数（fluxion）。莱布尼茨说 quantitas variabilis（可变的量），而第一本微积分教科书，洛必达 1696 年的著作，就以本页开头引用的定义开篇：变量增加或减少，常量保持不动。 这个词带着运动的形象。所以我们说“当 $x$ 趋于 $0$ 时”“$y$ 增长”“函数上升”，好像字母在走路。 一个字母依赖另一个 有了两个变量，就出现了依赖的观念。1755 年，欧拉在《微分学原理》的序言中写道：如果某些量依赖于另一些量，使得后者变化时前者也随之变化，那么前者就称为后者的函数。在 $y=x^2-4x+3$ 中： $x$ 是自变量：我们可以自由选择它的值； $y$ 是因变量：它的值由规则决定。 这种选择并没有写在字母里。在 $A=\pi r^2$ 中，我们通常把半径看作自变量，但如果问题是“多大的半径给出 $10$ 平方米的面积？”，角色就颠倒了：$r=\sqrt{A/\pi}$。 魏尔斯特拉斯的静止变量 运动的形象很有用，但也带来了问题。如果 $h$ 只是纸上的一个字母，“$h$ 趋于零”是什么意思？十九世纪，卡尔·魏尔斯特拉斯等人把时间从定义中去掉了。变量变成仅仅是一个可以被某个集合（它的定义域）中任何元素替换的字母。什么也不动：存在的只是所有可能替换的总和。这就是柯西与魏尔斯特拉斯的极限定义及其 $\varepsilon$ 和 $\delta$ 背后的读法。 今天，两种形象并存。说“随着 $x$ 不断增大”的老师用的是牛顿的变量；书里的定义用的是魏尔斯特拉斯的变量。记号是同一个，读者需要懂得在两者之间切换。 常量不等于数字 对洛必达来说，常量是“在其他量变化时保持不变”的东西。它不必是用数字写出来的数。在 $y=ax^2$ 中，$a$ 在问题进行期间是常量，但可以取任何值。物理学里满是这样的字母：重力加速度 $g$，气体常数 $R$，光速 $c$。下一篇讨论它们。 练习：从表格找出规则一张表记录着：$x=0\to y=1$，$x=1\to y=3$，$x=2\to y=5$，$x=3\to y=7$。$x$ 增加 $1$，$y$ 增加 $2$，而 $x=0$ 时 $y$ 等于 $1$。规则是 $y=2x+1$。注意，有限的表格永远不能证明规则：另一条规则可能在这四个点上一致，却在 $x=4$ 处不同。表格只是提示；公式才是断言。

October 15, 2026 阅读
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用来推广的字母：从 3 + 5 = 5 + 3 到 a + b = b + a

算一算 $3+5$ 和 $5+3$：两次都得 $8$。再试 $12+7$ 和 $7+12$，$100+1$ 和 $1+100$。总是对的。可是要多少个例子才能确定呢？一千个？一百万个？多少个例子都不够，因为数对有无穷多个。 句子 $$a+b=b+a$$用另一种方式解决了这个问题。它不谈任何一对特定的数：它一次谈的是所有的数对。这里的字母 $a$ 和 $b$ 不像未知数那样隐藏一个值；它们代表任意的值。这就是乌西斯金所说的推广的算术。 想一个数 一个古老的聚会把戏：想一个数，乘以 2，加 $6$，除以 $2$，再减去你想的那个数。结果总是 $3$。 用例子可以增加信心：用 $5$，依次得到 $10$、$16$、$8$、$3$；用 $20$，依次得到 $40$、$46$、$23$、$3$。用一个字母就可以确定。把那个数叫作 $n$： $$n\ \to\ 2n\ \to\ 2n+6\ \to\ \frac{2n+6}{2}=n+3\ \to\ (n+3)-n=3.$$字母做到了例子做不到的事：它一次走遍了所有的数。它还说明了把戏为什么灵：想的那个数进去又出来，只有 $6$ 除以 $2$ 留了下来。 一步一步看这个把戏（点击前进） 想一个数：$n$。 乘以 2：$2n$。 加 $6$：$2n+6$。 除以 $2$：$n+3$。 减去想的那个数：$(n+3)-n=3$。$n$ 消失了；结果与它无关。 奇数之和 把最前面的几个奇数加起来：$1=1$，$1+3=4$，$1+3+5=9$，$1+3+5+7=16$。出现了平方数。要对每一个 $n$ 说这件事，我们需要一个字母： $$1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2.$$式子 $2n-1$ 是第 $n$ 个奇数的画像：$n=1$ 时得 $1$，$n=4$ 时得 $7$。证明可以用另一个字母和一个倒着写的和来完成，就像少年高斯那样：把这列数和倒过来的自己相加，每一对都得 $2n$，共有 $n$ 对，所以和的两倍是 $2n\cdot n$，和就是 $n^2$。

October 15, 2026 阅读
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未知数：为所寻之物留一个位置

未知数，字面意思就是不知道的数。但它不是随便什么东西：它是一个我们还不知道的确定的数。方程 $x+3=7$ 说的不是所有的数；它说的是一个数，任务是找出是哪一个。 为不知道的东西起名字 很长时间里，未知数的名字是一个词，而不是一个字母。 公元 250 年前后，亚历山大的丢番图在《算术》中把未知数叫作 arithmós，“数”，并用一个像词尾西格玛的记号 $\varsigma$ 来缩写。他还有未知数平方的缩写 $\Delta^{\Upsilon}$（dýnamis，幂）和立方的缩写 $K^{\Upsilon}$（kýbos）。 公元 820 年前后在巴格达，花拉子米把它叫作 shay’，东西，把它的平方叫作 māl，财富。他全部用文字书写，没有任何符号。 十五、十六世纪，意大利人把 shay’ 译作 cosa，而抄写意大利人著作的德国代数学家被戏称为 cossists（“东西派”）。1544 年，米夏埃尔·施蒂费尔仍然给“东西”、它的平方和它的立方各用不同的记号： 米夏埃尔·施蒂费尔《整数算术》（1544）中的“cossic”记号：未知数的每个幂都有自己的符号，彼此之间看不出关系。Michael Stifel · Wikimedia Commons · 公有领域 在这些记号里，“东西”的平方和立方看上去都不像“东西”。按本书的说法，这是一种无生气的记号：要知道立方乘平方得到五次幂，必须背一张表。当笛卡儿写下 $x$、$x^2$、$x^3$ 时，规则 $x^3\cdot x^2=x^5$ 在指数里变得看得见了。第 1 章的从修辞到符号一文更详细地讲述了这一转变。 丢番图的一页 1621 年，法国人克洛德-加斯帕尔·巴歇出版了希腊文的丢番图《算术》，旁边附有拉丁文译文。这是第 II 卷第 8 题的一页：把一个给定的平方数分成两个平方数。 巴歇版（1621）中的第 II.8 题：右边是希腊文，左边是拉丁文，用 N 表示未知数，用 Q 表示它的平方。费马正是在这一页的页边写下了他的大定理。Diophantus, ed. Bachet · Wikimedia Commons · 公有领域 在巴歇的拉丁文里，未知数是 N，取自 numerus（数），它的平方是 Q，取自 quadratus（平方）：“Ponatur primus 1 Q”，设第一个平方数为 $1Q$。用今天的语言说，要把 $16$ 分成两个平方数，丢番图把第一个取作 $x^2$，第二个取作 $16-x^2$，并为第二个的边选一个形式 $2x-4$。条件是

October 15, 2026 阅读
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一个字母，五种角色

看看这五行： $$x+3=7,\qquad A=b\cdot h,\qquad a+b=b+a,\qquad y=kx,\qquad \sin^2x+\cos^2x=1.$$它们都用了字母，看起来都是代数。但在任何两行里，字母做的事都不一样。 在 $x+3=7$ 中，$x$ 是一个确定而未知的数。只有 $4$ 合适。它是未知数。 在 $A=b\cdot h$ 中，字母什么也不隐藏：它们说的是三个量之间的关系。这是一个公式，字母是一起变化的量。 在 $a+b=b+a$ 中，字母是任意的数。这句话对每一对数都成立。字母在推广。 在 $y=kx$ 中，$x$ 和 $y$ 在移动，$k$ 保持不动。$k$ 是参数：在每个问题里固定，但可以任意取。 在 $\sin^2x+\cos^2x=1$ 中，$x$ 也是任意的，但这句话不是要解的方程：它是一个恒等式，对每个 $x$ 都成立。 乌西斯金的观念 1988 年，美国教育学者扎尔曼·乌西斯金（Zalman Usiskin）在一篇后来成为经典的文章中提出：学校代数混合了至少四种观念，每一种都给字母一个不同的角色： 代数观 字母是什么 例子 推广的算术 推广某个规律的任意数 $a+b=b+a$ 解决问题 未知数，等待被发现 $3x+5=20$ 研究关系 变量，随其他量一起变化 $y=2x+1$ 研究结构 按规则操作的任意符号 $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$ 在最后一行，没有人去想数：$x$ 和 $y$ 是按规则移动的记号，就像棋子。在这四种之外，我们再加上第五种，它贯穿全书：作为名字的字母，函数的名字（$f$）、常数的名字（$\pi$、$e$、$c$）或对象的名字（点 $A$，直线 $r$）。 请启用 JavaScript 以使用这个交互图形。完整的推理见正文。 文字不提醒你 符号学上的问题在于：对所有角色，写法都一样。能指里没有任何东西能区分未知数和变量：两者都是一个斜体的 $x$。起决定作用的是语境，也就是莫里斯所说的语用（见第 2 章）。线索通常是一些小词，学生学会了忽略它们，其实不该忽略：

October 15, 2026 阅读
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等号是天平，不是箭头

方框里应该填什么数？ $$8+4=\square+5$$1990 年代末，美国研究者卡伦·福克纳、琳达·利瓦伊和托马斯·卡彭特把这个问题拿去问一到六年级的学生。在每个年级，答 $7$ 的都不到十分之一。最常见的答案是 $12$ 和 $17$。 答 $12$ 的学生算了 $8+4$，像往常一样把结果写在 $=$ 后面。答 $17$ 的学生把看到的数全加了起来。两组人都没有算错。他们都读错了等号。 箭头还是天平？ 对很多学生来说，$=$ 的意思是“结果是”。这是计算器教给我们的读法：按下 $8$、$+$、$4$，再按 $=$ 键，它就做出计算，显示答案。按这种读法，等号是一支箭头：左边是问题，右边是答案，计算只朝一个方向走。 可这并不是雷科德在 1557 年画下的意思。两条一样长的平行线说的是：两样东西价值相同。等号是一架天平：两个托盘是平衡的，哪一边在左边都无所谓。 两边都等于 12。方框里填 7，因为 7 + 5 = 12。等式可以从两个方向读。为本书绘制的教学示意图。 按天平的读法，答案一目了然：左盘重 $12$，右盘也必须重 $12$，还差 $7$。在方框里填 $12$，就会得到 $8+4=12+5$，也就是 $12=17$，一架失去平衡的天平。 天平的读法还说明了为什么 $7=3+4$ 和 $3+4=7$ 一样正确，为什么 $3+4=5+2$ 是一个完全正确的句子，尽管它根本没有“结果”。用数学语言来说，相等是一种对称关系：如果 $A=B$，那么 $B=A$。 等号连写 箭头式的读法，会在书写计算过程时造成一个很常见的错误：$5\cdot3=15+2=17$。本意是好的（先算 $5\cdot3$，再加 $2$），可写出来的意思是 $5\cdot3$ 等于 $15+2$，这是错的，因为 $15\ne17$。把等号读成“然后”的人看不出问题；把它读成天平的人则会看到三个不平衡的托盘。 逐个符号读一个方程 正是天平的读法让代数成为可能。回到第 1 章的那个方程，“一个量加上它的一半，得五”：

October 10, 2026 阅读
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公式的语法：括号、顺序与空白

2019 年，一道只有四个数的算式在社交网络上流传，引发了数以百万计的争论： $$8\div2(2+2)=\;?$$一半人回答 $16$，另一半人回答 $1$。不同品牌的计算器给出不同的答案。数学老师们也意见不一。最有意思的是：双方都有道理，各自依据一种约定。 回答 $16$ 的人从左往右读：$8\div2=4$，$4\cdot(2+2)=16$。回答 $1$ 的人认为，没有符号、“粘”在一起的乘法 $2(2+2)$ 构成一个整体，要先于除法计算：$8\div(2\cdot4)=1$。这两种约定都存在，严肃的书里也都在用。问题不在计算，而在句法：这个表达式的写法没有说清楚符号如何组合。数学家绝不会这样写；他会写成 $\frac{8}{2}(2+2)$ 或 $\frac{8}{2(2+2)}$，争论也就不存在了。 同样的零件，不同的组装 公式不是一串排队的符号，而是一种组装，组装方式本身就是意义的一部分。比较： $$a+b\cdot c\qquad\text{和}\qquad(a+b)\cdot c.$$零件是一样的：三个字母、一个 $+$、一个 $\cdot$。但按照通常的约定，第一个式子先做乘法；第二个式子里，括号迫使我们先做加法。取 $a=2$、$b=3$、$c=4$： 取 a = 2、b = 3、c = 4，两种组合分别得 14 和 20。为本书绘制的教学示意图。 括号是一种奇特的符号。它既不代表任何量，也不代表任何运算或对象。它只说明其他符号如何结合在一起。在莫里斯的分类中，它是纯粹句法性的。可它却改变了结果。 先乘后加的规则并不是自然法则，而是一种约定，它在十七到十九世纪之间确立下来，那时笛卡儿的代数开始在多项式中省去括号：写 $3x^2+2x+1$ 时，谁也不想写成 $(3\cdot(x^2))+(2\cdot x)+1$。这种约定的存在，是为了让最常见的表达式变短。 隐藏的树 每个表达式都有一个树状结构，读一个公式，归根结底就是重建这棵树。看看 $2(x+3)^2$： 如何组装 2(x + 3)²（点击继续） 从最“里面”的部分开始：$x+3$。 把结果平方：$(x+3)^2$。高高在上的小小指数，作用于整个括号。 乘以 $2$：$2\,(x+3)^2$。粘在左边的 $2$ 最后才起作用。 再和 $2x+3^2$ 比较一下，它的零件几乎一样。这里 $3^2$ 单独计算，$2x$ 是另一根枝杈，最后由加法把两者连起来。当 $x=1$ 时，第一个表达式得 $2\cdot16=32$，第二个得 $2+9=11$。

October 10, 2026 阅读
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从文字到字母：代数学会了书写

大约公元 820 年，在巴格达，穆罕默德·伊本·穆萨·花拉子米在“智慧宫”工作，那是哈里发马蒙的大图书馆。他在那里写了一本书名很长的书：《还原与对消计算概要》。“还原”在阿拉伯语里是 al-jabr，“代数”（algebra）一词就从这里来。 花拉子米关于 al-jabr 与 al-muqābala 一书的手抄本扉页。花拉子米 · Wikimedia Commons · 公有领域 整本书里没有一个符号。没有 $x$，没有 $+$，也没有 $=$。连数都是用文字写出来的。其中最有名的一个问题是这样的： 一个平方加上它的十个根，等于三十九迪拉姆。取根数的一半，是五；让它自乘，得二十五；加到三十九上，得六十四。取它的根，是八，减去根数的一半，也就是五。剩下三：这就是所求平方的根。 — 花拉子米，约 820 年（意译） 今天我们会把这个问题写成 $x^2+10x=39$，答案写成 $x=3$。花拉子米的做法正是我们所说的配方法，而他用一个图形来论证：一个边长为 $x$ 的正方形，靠上两个 $5\times x$ 的长方形，再补上一个 $5\times5$ 的小正方形，就拼成一个边长为 $x+5$、面积为 $39+25=64$ 的大正方形。 花拉子米的图形：边长为 $x$ 的正方形与两个 $5\times x$ 的长方形之和是 $39$；面积为 $25$ 的小正方形把它补成面积 $64$、边长 $8$ 的正方形。根据本站早期文章为本书绘制的教学示意图。 这种写法叫作文字代数：一切都用句子表达。它行得通，但有代价。每个问题都被讲成一个带具体数字的小故事，读者得自己发现同样的做法也适用于别的数。一般的规则藏在例子里面。

October 10, 2026 阅读