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没有无穷小的导数与中值定理

18 世纪末，微积分用起来很好，却没有人能说清楚它为什么好用。莱布尼茨的 $dx$ 是“无穷小”的量：有时把它们当作不等于零，好拿来做除数；紧接着又把它们当作零，好把它们略去。贝克莱主教在 1734 年嘲笑过这一点，称它们为“消逝的量的幽灵”。 拉格朗日为此感到不安。1797 年，他出版了一本书，书的副标题本身就是一整套纲领： 包含微分学的原理，摆脱了一切关于无穷小、消逝量、极限和流数的考虑，并归结为有限量的代数分析。 — 约瑟夫-路易·拉格朗日，《解析函数论》（1797） 导出的函数 拉格朗日的想法是：每个合理的函数都可以展开成幂级数。给变量 $x$ 一个增量 $i$，那么 $$f(x+i)=f(x)+p\,i+q\,i^2+r\,i^3+\cdots,$$其中 $p, q, r, \ldots$ 是 $x$ 的新函数。拉格朗日把其中第一个，即 $i$ 的系数，定义为 $f$ 的导出函数，并用一撇来写：$f'(x)$。$f'$ 的导数是 $f''$，依此类推。 看看这对 $f(x)=x^3$ 是怎么用的。把立方展开， $$(x+i)^3=x^3+3x^2\,i+3x\,i^2+i^3.$$$i$ 的系数是 $3x^2$，所以 $f'(x)=3x^2$。不需要用一个后来会消失的东西做除数，也不需要略去任何东西：只要读出一个系数就行。这正是拉格朗日想要的。 请启用 JavaScript 以使用这个交互图形。完整的推理见正文。 留下来的一撇 今天学校里导数有两种记号：莱布尼茨的 $\frac{dy}{dx}$，和拉格朗日的 $f'(x)$。“导数”（derivative）这个词也来自这本书：fonction dérivée，即由第一个函数导出的函数。牛顿在字母上面加一点写成 $\dot y$，今天主要在物理里、当变量是时间时才会用到。 计划在哪里失败了 这个计划有一个缺陷，柯西在 1823 年指出了它：并不是每个函数都等于它的幂级数。函数 $$f(x)=e^{-1/x^2}\ \ (x\neq0),\qquad f(0)=0$$在零附近平坦到它所有的导数在那里都等于零。它在零处的幂级数是 $0+0\,i+0\,i^2+\cdots=0$，但函数本身并不是零。像拉格朗日那样从级数出发是不够的。柯西用极限的思想重建了微积分，今天教的就是他的版本。 不过，拉格朗日在途中找到了两件工具，它们在他的计划失败后保留了下来。 中值定理 第一件是中值定理，他需要用它来控制自己的级数。用今天的形式来说：如果 $f$ 在从 $a$ 到 $b$ 的区间上可导，那么两者之间至少有一点 $c$，使得

October 14, 2026 阅读
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历史图片和照片 全部来自维基共享资源（Wikimedia Commons）。我们使用共享资源提供的缩略图，未作编辑。 15 岁的伽罗瓦，作者不详的素描：来源页面 · 公有领域。 弟弟阿尔弗雷德所绘的伽罗瓦像，1848 年发表：来源页面 · 公有领域。 致奥古斯特·舍瓦利耶的信，1832 年 5 月 29 日：来源页面 · 公有领域。 巴黎的路易大帝中学，Celette 摄：来源页面 · CC BY-SA 4.0。 博客绘图 三角形六种对称的图是原创插图。文中的乘法表已用程序复合三个角的置换加以核对。图中没有文字，适用于网站的所有语言。 记录 文件 data/galois_imagens.json 记录了每张下载图片的出处、许可、核实日期和 SHA-256 哈希值。各主题的历史资料列在每篇文章的末尾。 新增的历史图片 这些图片来自维基共享资源。每张图片的来源、许可和 SHA-256 哈希值记录在 data/galois_imagens.json 中。 布尔拉雷讷的明信片: 作者不详 · Wikimedia Commons · 公有领域 埃瓦里斯特·伽罗瓦的全部主题 · ← 埃瓦里斯特·伽罗瓦的遗产

October 16, 2026 阅读
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历史图片和照片 全部来自维基共享资源（Wikimedia Commons）。我们使用共享资源提供的缩略图，未作编辑。 阿贝尔肖像，约翰·格尔比茨绘，巴黎，1826 年：来源页面 · 公有领域。 《克雷勒杂志》第一卷，柏林，1826 年：来源页面 · 公有领域。 阿贝尔在弗罗兰的坟墓，Karl Ragnar Gjertsen 摄：来源页面 · CC BY 4.0。 奥斯陆的阿贝尔纪念碑，古斯塔夫·维格兰雕塑，Wolfmann 摄：来源页面 · CC BY-SA 4.0。 博客绘图 双纽线分成八段等弧的图是原创插图。图中的点是用文中推导的公式 $r=\sqrt{\sqrt2-1}$ 计算的。图中没有文字，适用于网站的所有语言。 记录 文件 data/abel_imagens.json 记录了每张下载图片的出处、许可、核实日期和 SHA-256 哈希值。各主题的历史资料列在每篇文章的末尾。 新增的历史图片 这些图片来自维基共享资源。每张图片的来源、许可和 SHA-256 哈希值记录在 data/abel_imagens.json 中。 耶尔斯塔的教堂与牧师住宅（约 1890）: Peder Bentsen Melaas · Wikimedia Commons · 公有领域 1929 年挪威邮票: 挪威邮政 · Wikimedia Commons · 公有领域 尼尔斯·亨里克·阿贝尔的全部主题 · ← 尼尔斯·亨里克·阿贝尔的遗产

October 16, 2026 阅读
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拉格朗日乘数：带约束的最优化

几乎每个现实中的决定都是一个带约束的最大或最小值问题。工厂想要最大的利润，但原料有限。一个罐子要装 350 毫升，用的铝要尽量少。单摆想怎么动都行，只要小球一直拴在绳子上。拉格朗日为所有这些问题找到了一个统一的方法。它出现在 1788 年的《分析力学》中，用来处理力学系统的约束；也出现在 1797 年的《解析函数论》中，作为一条一般的计算规则。 围栏 先从一个希腊人就会解的问题开始。用 20 米长的围栏，围成的哪个矩形面积最大？设两边为 $x$ 和 $y$，我们要求 $$f(x,y)=xy\qquad\text{在约束}\qquad g(x,y)=x+y=10$$下的最大值。这里很容易解出 $y=10-x$，再求 $x(10-x)$ 的最大值。但在许多问题中，约束是一个复杂的方程，什么也解不出来。拉格朗日想要一种永远不需要这样做的方法。 一个新字母 拉格朗日的配方是增加一个新的未知数，今天我们叫它 $\lambda$，即乘数，并要求 $f$ 的导数与 $g$ 的导数成比例： $$\begin{aligned}\frac{\partial f}{\partial x}&=\lambda\,\frac{\partial g}{\partial x},\\ \frac{\partial f}{\partial y}&=\lambda\,\frac{\partial g}{\partial y},\\ g(x,y)&=10.\end{aligned}$$在围栏问题中，$\frac{\partial f}{\partial x}=y$，$\frac{\partial f}{\partial y}=x$，$g$ 的导数都等于 $1$。方程变成 $$y=\lambda,\qquad x=\lambda,\qquad x+y=10,$$于是 $x=y=5$。最好的矩形是 5 乘 5 的正方形，面积 25 平方米。不需要解出任何东西：约束作为又一个方程进来，$\lambda$ 作为又一个未知数进来。 为什么管用 下图画出了面积 $xy$ 取固定值 9、16、25 和 36 的曲线，以及约束直线 $x+y=10$。沿着直线走，我们经过面积越来越大的曲线，直到面积为 25 的曲线。之后面积又开始减小。面积为 36 的曲线根本碰不到这条直线。 在最优点，约束直线与面积为 25 的曲线相碰而不相交：它们相切。Euler’s Eyes 绘图 在最优点，直线与面积最大的曲线相切。如果它们相交，就可以沿直线再走一点，进入面积更大的曲线。相切的曲线方向相同，所以在那里 $f$ 和 $g$ 的导数成比例。乘数 $\lambda$ 就是这个比例的因子。

October 14, 2026 阅读
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周游世界游戏与哈密顿回路

1856 年，仍在研究非交换代数的哈密顿发明了二十面体演算：三个符号 $\iota$、$\kappa$ 和 $\lambda$，服从规则 $$\iota^2 = 1, \qquad \kappa^3 = 1, \qquad \lambda^5 = 1, \qquad \lambda = \iota\kappa.$$今天我们会说，它们生成了正二十面体（有二十个三角形面的立体）的旋转群。1857 年，哈密顿在英国科学促进会于都柏林举行的会议上介绍了这种演算，并注意到它描述的是沿正十二面体（有十二个五边形面和二十个顶点的立体）的棱行走的路径。 谜题 为了让这个想法流行起来，哈密顿把十二面体压平画在一块板上，在二十个顶点处开了孔，每个孔标上一个城市的名字，另配二十个编了号的木钉。挑战是：从一个城市出发，只沿着棱走，把其他每个城市恰好访问一次，再回到出发点。1859 年，他以 25 英镑把版权卖给了伦敦的游戏制造商约翰·贾克斯父子公司。这个游戏以“周游世界游戏”（The Icosian Game）的名字出售，还有一个叫“旅行者的十二面体”的袖珍版，但在商业上失败了：只要有点耐心，基本的挑战几分钟就能解决。 圣保罗大学数学与统计研究所 Matemateca 收藏的周游世界游戏复制品。编号的木钉标出了经过二十个顶点的顺序。Estes Objethos Atelier，Alisson Ricardo 摄 · Wikimedia Commons · CC BY-SA 4.0 试一试。字母是哈密顿用来给城市命名的辅音字母： 请启用 JavaScript 以使用这个交互图形。完整的推理见正文。 欧拉解决了，哈密顿没有 每个顶点恰好经过一次再回到起点的路线，今天称为哈密顿回路。这个问题看起来像是柯尼斯堡七桥问题的表亲，在那个问题里欧拉想把每条边恰好走一次。但两者非常不同。对于边，欧拉在 1736 年给出了一个简单的判据：只要看每个顶点连出多少条边。对于顶点，没有人知道简单的判据。1972 年，理查德·卡普把哈密顿回路问题列入他的 NP 完全问题清单：谁能为它找到一个快速方法，谁就有了解决成千上万其他难题的快速方法，还能从克莱研究所赢得一百万美元。 它最著名的亲戚是旅行商问题：在一张地图的所有哈密顿回路中，哪一条最短？它出现在送货路线、电路板钻孔和 DNA 测序中。 柯克曼抢先了一步 1855 年，比哈密顿早两年，英国牧师兼数学家托马斯·柯克曼就已经问过：哪些多面体存在一条经过每个顶点恰好一次的回路？他还给出了一个不可能做到的例子。名字却归了哈密顿，他名气更大，还有一个在售的游戏。 练习：数一数棱在正十二面体中，20 个顶点中的每一个都连着 3 条棱。共有多少条棱？一条哈密顿回路用了其中多少条？ 按顶点数，共有 $20 \times 3 = 60$ 个棱端，每条棱有两个端点：$60 / 2 = 30$ 条棱。一条哈密顿回路经过 20 个顶点再回来，用了 20 条棱；其余 10 条没有用到。

October 27, 2026 阅读
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拉格朗日的遗产

拉格朗日是数学科学中的一座高耸的金字塔。 — 拿破仑·波拿巴，据同时代人记载 拉格朗日没有留下像帕斯卡那样少年天才的轶事，也没有留下欧拉那样规模的著作。他留下了另一样东西：一种做数学的方式。别人画图的地方，他计算；别人为每个问题找一个技巧的地方，他寻找能解释所有技巧的规则。他做的几乎每件事都以他的名字留在教科书里：欧拉-拉格朗日方程、拉格朗日量、拉格朗日点、拉格朗日定理、拉格朗日余项、拉格朗日乘数。 谈牛顿 拉格朗日最敬佩的是牛顿，但也毫不掩饰地带着一丝羡慕。他的传记作者德朗布尔记下了他常说的话： 牛顿是有史以来最伟大的天才，也是最幸运的，因为世界体系只能被建立一次。 — 约瑟夫-路易·拉格朗日，据德朗布尔（1814） 米与十进制 1790 年起，在创立公制的委员会中，拉格朗日支持所有度量都采用十进制划分，反对主张因数更多的十二进制的人。据说，为了说明 12 的众多因数并不那么重要，他甚至半开玩笑地提议用 11 进制，因为 11 是素数。米、升和克都按 10 划分，其中也有他的一份功劳。 穿过给定点的多项式 在 1795 年巴黎高等师范学校的课上，拉格朗日给出了求穿过给定点的多项式的公式。对于三个点 $(x_0,y_0)$、$(x_1,y_1)$ 和 $(x_2,y_2)$，它是 $$\begin{aligned}P(x)={}&y_0\,\frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)}\\&+y_1\,\frac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)}\\&+y_2\,\frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}.\end{aligned}$$思路很简单：每个分式在自己的点上等于 $1$，在另外两个点上等于 $0$，所以 $P(x_0)=y_0$，$P(x_1)=y_1$，$P(x_2)=y_2$。英国人爱德华·华林在 1779 年已经发表过同一个公式，欧拉也知道它，但它保留了拉格朗日插值的名字。今天，它存在于计算器和计算机的数值方法中，甚至存在于一种把秘密分给多人保管的密码学方法中。 留下了什么 物理。 《分析力学》把力学变成了分析的一个分支。相对论、量子力学和标准模型至今仍以拉格朗日量 $L=T-V$ 的形式写成。 变分法。 拉格朗日与欧拉一起创立了选择最佳曲线的数学，从光学到火箭控制都在使用。 天文学。 拉格朗日点上停着空间望远镜，也聚集着成千上万颗特洛伊小行星。 数论。 四平方和定理为华林问题和二次型的研究开辟了道路，勒让德和高斯继续了这些研究。 代数。 关于根的置换的思考为鲁菲尼、阿贝尔和伽罗瓦的工作以及群论做了准备。 分析。 记号 $f'(x)$、“导数”一词、中值定理和拉格朗日余项出现在每一门微积分课程中。 拉格朗日在他出生的城市都灵的雕像。Twice25 · Wikimedia Commons · CC BY-SA 3.0 许多地方的名字 拉格朗日安葬在巴黎先贤祠，他的名字是埃菲尔铁塔上镌刻的 72 个名字之一。都灵有一座以他命名的广场、一条街和他的一座雕像，意大利和法国至今还在争论他究竟是意大利数学家还是法国数学家。月球上有一座拉格朗日环形山，正是他 28 岁时解释了其天平动的那个月球；还有一颗名叫 1006 Lagrangea 的小行星。 意大利人还是法国人？ 拉格朗日生于都灵，家族有法国血统；他最早的论文用拉丁文和意大利文写成，之后几乎全用法文。他在意大利生活了 30 年，在普鲁士 20 年，在法国 26 年。意大利人称他为朱塞佩·路易吉·拉格朗吉亚，法国人称他为约瑟夫-路易·拉格朗日。

October 14, 2026 阅读
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拉格朗日的图片来源

历史图片 全部来自维基共享资源（Wikimedia Commons）。我们使用共享资源提供的缩略图，未作编辑。 约瑟夫-路易·拉格朗日肖像，作者不详的版画：来源页面 · 公有领域。 拉格朗日侧面圆章，皮埃尔-让·大卫·德昂热的青铜作品，昂热博物馆藏：来源页面 · CC0。 《分析力学》（Méchanique analitique）扉页，巴黎，1788 年：来源页面 · 公有领域。 都灵的拉格朗日雕像，Twice25 摄，2009 年：来源页面 · CC BY-SA 3.0。 本站图示 封面、五个拉格朗日点的示意图，以及等面积曲线与约束直线的图都是原创插图，并为本站的每种语言制作了相应版本。拉格朗日点示意图未按比例绘制：实际上，L1 和 L2 离地球的距离只有太阳离地球距离的百分之一。 记录 文件 data/lagrange_imagens.json 记录了每张下载图片的来源、许可、核实日期和 SHA-256 哈希值。各主题的历史资料来源列在每篇文章末尾。 拉格朗日的全部主题 · ← 拉格朗日的遗产

October 14, 2026 阅读
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有道理的错误：错误规则

问一个班 $(a+b)^2$ 等于什么，会有一部分人回答 $a^2 + b^2$。问 $\sqrt{9 + 16}$ 等于什么，有人会说 $3 + 4 = 7$。这些错误如此常见，而且在不同学校之间如此相似，不可能是偶然。它们遵循着某条规则。 推广过头的规则 1982 年，美国研究者玛丽莲·马茨研究了高中生的代数错误，提出其中许多来自由正确规则构造出来的错误规则（malrules）。其中最"多产"的是分配律： $$a(b + c) = ab + ac.$$它是正确的，出现得早，而且时时都在用。学生学到“外面的东西要分配进每一项”，而在没有人说过不行的情况下，就把这个动作推广到一切看起来像“对一个和施加运算”的东西上： $$(a+b)^2 \overset{?}{=} a^2 + b^2, \quad \sqrt{a+b} \overset{?}{=} \sqrt{a} + \sqrt{b}, \quad \frac{1}{a+b} \overset{?}{=} \frac{1}{a} + \frac{1}{b}, \quad \sin(a+b) \overset{?}{=} \sin a + \sin b.$$它们全是错的。它们全都和分配律有同样的形状。从记号的角度看，学生把书写读得很好：看出一个视觉模式，并且一贯地应用它。缺少的是知道形状并不够：分配律对乘法成立，是因为乘法本身是什么，而不是因为括号长成什么样。 请启用 JavaScript 以使用这个交互图形。完整的推理见正文。 反例这面放大镜 拆穿错误规则的工具是反例：只要一个它不成立的情形。取 $a = 3$、$b = 4$，$(a+b)^2 = 49$，而 $a^2 + b^2 = 25$。好了：这条规则就此作废。正确的规则，比如 $(ab)^2 = a^2 b^2$，经得起所有检验；上面的图可以让你试一试。

October 25, 2026 阅读
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参考文献与图片来源

延伸阅读 Usiskin, Zalman. Conceptions of school algebra and uses of variables. In: Coxford, A. F.; Shulte, A. P. (eds.). The Ideas of Algebra, K–12. Reston: NCTM, 1988, pp. 8–19. Küchemann, Dietmar. Algebra. In: Hart, K. M. (ed.). Children’s Understanding of Mathematics: 11–16. London: John Murray, 1981, pp. 102–119. Clement, John; Lochhead, Jack; Monk, George S. Translation difficulties in learning mathematics. The American Mathematical Monthly, 88(4), 1981, pp. 286–290. MacGregor, Mollie; Stacey, Kaye. Students’ understanding of algebraic notation: 11–15. Educational Studies in Mathematics, 33, 1997, pp. 1–19. Philipp, Randolph A. The many uses of algebraic variables. The Mathematics Teacher, 85(7), 1992, pp. 557–561. Kieran, Carolyn. The learning and teaching of school algebra. In: Grouws, D. A. (ed.). Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning. New York: Macmillan, 1992, pp. 390–419. Kleiner, Israel. Evolution of the function concept: a brief survey. The College Mathematics Journal, 20(4), 1989, pp. 282–300. Cajori, Florian. A History of Mathematical Notations. 2 vols. Chicago: Open Court, 1928–1929. 关于 cossic 记号、韦达和笛卡儿的字母、$f(x)$ 以及赫歇尔的 $\sin^{-1}$。 Heath, Thomas L. Diophantus of Alexandria: A Study in the History of Greek Algebra. Cambridge: Cambridge University Press, 1910. Viète, François. In artem analyticem isagoge. Tours: Jamet Mettayer, 1591. l’Hôpital, Guillaume de. Analyse des infiniment petits, pour l’intelligence des lignes courbes. Paris: Imprimerie Royale, 1696. 本站早期关于函数的文章提供了“函数是带空格的句子”这一想法，第 1 章用过，这里再次采用。

October 15, 2026 阅读
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如何阅读一个字母：指南与术语表

本章表明，一个字母至少能做五种不同的工作，而写法几乎从不说明是哪一种。下面的指南汇集了有助于弄清这一点的问题。 关于一个字母的五个问题 它隐藏一个值，还是代表任意值？ 如果隐藏一个值，它就是未知数，任务是找出它。如果代表任意值，这句话就是一条普遍定律或一个恒等式。 它在问题中移动吗？ 如果是，它就是变量，值得问它依赖于谁、谁依赖于它。 别的字母移动时它保持不动吗？ 那它就是参数或常数。值得问：是永远固定，像 $\pi$，还是只在这个问题里固定，像 $ax^2$ 中的 $a$？ 它被某个运算符约束吗？ 如果出现在 $\Sigma$、$\int$、$\forall$ 或 $\mapsto$ 中，它就是约束字母，可以换成别的字母而什么都不改变。 文中哪个词宣告了它的角色？ “求”“对任意”“设”“当……时”“已知”。如果一个也没有，就由这一领域的惯例来决定，最好把惯例说明白。 对 y = ax² + bx + c 的完整解读 $y$ 和 $x$： 变量。$x$ 是自变量，$y$ 是因变量。它们一起走遍一条抛物线上的点。 $a$、$b$ 和 $c$： 参数。在问题中固定，它们选择是哪一条抛物线。$a$ 必须不为零，否则曲线就变成直线。 问题变了，角色就变了。 在“抛物线在哪里与 $x$ 轴相交？”中，我们令 $y=0$，$x$ 就成了未知数。在“哪条抛物线经过 $(1,2)$、$(2,3)$ 和 $(3,6)$？”中，参数成了未知数，$x$ 和 $y$ 成了已知数据：$a+b+c=2$，$4a+2b+c=3$，$9a+3b+c=6$，解得 $a=1$，$b=-2$，$c=3$。 没有哪个字母是哑字母。 它们都重要：把 $a$ 换成 $k$，就必须在全文中都换。 短短一行，三种不同的角色，而每个问题都会把一切重新安排。 术语表 未知数。 代表一个确定而尚不知道的值的字母，这个值由问题的条件决定。在 $2x+1=7$ 中，$x=3$。 推广的数。 代表某个集合中任意元素的字母，所在的句子对所有元素都成立。如 $a+b=b+a$。 恒等式。 对字母的一切值都成立的等式，如 $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$。它不用解；要证明。 变量。 走遍某个集合中各个值的字母，通常与它所依赖的或依赖它的其他字母一起变化。 自变量与因变量。 在 $y=f(x)$ 中，$x$ 自由选择，$y$ 由规则决定。这种选择可能随问题而颠倒。 参数。 在一个问题中固定、但在不同问题之间可以取不同值的字母。它从一个家族中选出一个成员。 常数。 值永远相同的字母，如 $\pi$、$e$ 或光速 $c$。 自由字母。 表达式的值所依赖的字母。在 $\sum_{k=1}^n k$ 中，是 $n$。 约束字母（哑字母）。 被运算符约束、可以换成别的字母而不改变意思的字母。在 $\sum_{k=1}^n k$ 中，是 $k$。 函数。 给一个集合（定义域）的每个元素指定另一个集合中唯一元素的规则。$f$ 是函数；$f(x)$ 是它在 $x$ 处的值。 变量捕获。 在同一个表达式中把同一个字母既用作自由字母又用作约束字母的错误，如 $\int_0^x x\,dx$。 练习：运用这份指南读一读 $\displaystyle V(r)=\frac43\pi r^3$。$V$ 是一个函数的名字，$V(r)$ 是它的值。$r$ 是自变量，即半径。$\pi$ 是常数。$\frac43$ 是一个数。没有约束字母。如果问题是“多大的半径给出 $36\pi$ 的体积？”，$r$ 就成了未知数：$\frac43r^3=36$，$r^3=27$，$r=3$。

October 15, 2026 阅读
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当字母误导人：学生、教授与苹果

1981 年，马萨诸塞大学的三位研究者约翰·克莱门特、杰克·洛克黑德和乔治·蒙克给工科一年级学生出了一道简单的题： 用变量 $S$ 和 $P$ 写一个方程，表示下面这句话：“这所大学的学生人数是教授人数的六倍。”用 $S$ 表示学生人数，用 $P$ 表示教授人数。 大约 37% 的人答错了。而几乎所有答错的人都写了同一个式子： $$6S=P.$$为什么 6S = P 看起来是对的 方程 $6S=P$ 遵循的是词语的顺序：“六倍……学生……教授”。这是逐词翻译，就像不理解句子就去翻译一篇文章。它背后是把字母读作标签：$S$ 的意思是“学生”，就像在 $6\,\text{m}$ 中 m 的意思是“米”。这样读，$6S=P$ 说的是“每位教授对六名学生”，这恰恰是正确的想法。 问题在于，在方程里 $S$ 不是“学生”这个词：它是学生的人数。有 $P=100$ 位教授，就有 $600$ 名学生，正确的方程必须给出 $S=600$： $$S=6P.$$要检验，只需代入数字：$P=100$ 时，错误的方程会给出 $6S=100$，也就是不到 $17$ 名学生。把字母当标签是一种自然的读法，它来自日常语言和计量单位，必须被“忘掉”。 屈赫曼的六种读法 同一年，英国研究者迪特马尔·屈赫曼（Dietmar Küchemann）发表了一项针对 13 到 15 岁学生的大型研究，即 CSMS 项目的结果。他指出，学生对字母至少有六种不同的解释，从最简单到最高级： 字母的读法 学生怎么做 示例题目 给字母赋值 一上来就给字母一个值 若 $a+5=8$，$a$ 等于多少？ 不理会字母 不看字母就把题解了 若 $e+f=8$，$e+f+g$ 等于多少？ 字母作为物体 把字母当成一样东西 $2a+5b+a$“是 3 个苹果和 5 根香蕉” 特定的未知数 接受字母是一个未知的数 若 $e+f=8$，则 $e+f+g=8+g$ 推广的数 接受字母可以是好几个数 若 $c+d=10$ 且 $c

October 15, 2026 阅读
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哑字母：求和里的 k 与积分里的 t

这两个式子的值相同： $$\sum_{k=1}^{4}k^2=1+4+9+16=30,\qquad\sum_{j=1}^{4}j^2=1+4+9+16=30.$$把 $k$ 换成 $j$，什么也没变。字母在那里只是为了标出计算经过的地方；求和一结束，它就消失了。这样的字母叫作哑字母，或约束字母。它们是未知数的反面：未知数保存一个重要的值；哑字母在运算结束后不保存任何值。 自由与约束 再比较： $$\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}.$$这里有两种性质不同的字母。$k$ 被求和约束：它只存在于 $\Sigma$ 和式子结尾之间，可以换成任何别的字母。$n$ 是自由的：结果依赖于它。把 $n$ 换成 $m$，就成了另一个关于另一个数的论断。 积分里也一样： $$\int_0^x t\,dt=\frac{x^2}{2}.$$$t$ 被积分约束，$dt$ 标出它的辖域，像一个右括号。$x$ 是自由的：面积取决于积分到哪里。在逻辑的量词里也是这样： $$\forall x\,(x+0=x)$$$x$ 被 $\forall$ 约束，整句话不依赖任何值：它就是真的。 运算符 约束字母 辖域 $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}$ $k$ 后面的那一项 $\displaystyle\int_a^b\cdots\,dt$ $t$ $\int$ 与 $dt$ 之间 $\forall x,\ \exists x$ $x$ 后面的公式 $\lim\limits_{h\to0}$ $h$ 极限号下的表达式 $\{x\mid x>2\}$ $x$ 花括号之内 $x\mapsto x^2$ $x$ 函数的规则 捕获字母的错误 因为哑字母可以替换，就有一种危险的诱惑：用同一个字母表示两样东西。公式 $$\int_0^x x\,dx$$是一个陷阱。上限的 $x$ 是自由的；积分里面的 $x$ 是约束的。这个式子好像在说“把 $x$ 从 $0$ 积到 $x$”，但分不清哪个 $x$ 是哪个。正确的写法把字母分开：$\int_0^x t\,dt=\frac{x^2}2$。在逻辑和编程中，这个错误有个名字，叫变量捕获，编程语言的编译器会自动给变量改名来避免它。

October 15, 2026 阅读