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埃瓦里斯特·伽罗瓦的一生

年表 181110 月 25 日生于巴黎附近的布尔拉雷讷。 1823进入巴黎的路易大帝中学。 1827发现了数学，放弃了其他一切。 1828第一次参加巴黎综合理工学院入学考试，落榜。 1829发表第一篇论文。向科学院提交论文。父亲自杀。第二次落榜。进入高等师范学校。 1830参加大奖评选的论文因傅里叶去世而丢失。七月革命。 1831被高等师范学校开除。泊松退回他的论文。两次被捕。 18325 月 31 日在决斗中受伤后去世，年仅 20 岁。 1846约瑟夫·刘维尔出版他的著作。 ◀ 上一站 沿路线走一遍 下一站 ▶ 1811–1823 布尔拉雷讷生于父亲后来担任镇长的小镇。母亲在家教他到 12 岁。 1823–1829 路易大帝中学15 岁时在这所学校发现了数学，“对数学的狂热支配着他”。两次落榜综合理工学院后，1829 年进入高等师范学校，1831 年被开除。 1831 新桥7 月 14 日，他穿着已被解散的炮兵制服、携带武器，在桥上被捕。 1831–1832 圣佩拉吉监狱在狱中度过八个月。1831 年 7 月收到泊松的退稿。 1832 科钦医院5 月 30 日在决斗中受伤，被送到医院，5 月 31 日早晨去世，年仅 20 岁。 请启用 JavaScript 以查看地图。各站列在下方。 伽罗瓦的巴黎：从学校到监狱和医院，都在几公里之内。 地图：© OpenStreetMap 贡献者

October 16, 2026 阅读
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尼尔斯·亨里克·阿贝尔的一生

年表 18028 月 5 日生于挪威西海岸的斯塔万格附近。 1804全家迁往耶尔斯塔，父亲在那里任牧师。 1815进入克里斯蒂安尼亚（今奥斯陆）的主教座堂学校。 1818伯恩特·霍尔姆伯成为他的数学老师。 1820父亲去世。阿贝尔开始负担家庭的部分开销。 1821进入大学。以为自己解出了五次方程，随后发现了错误。 1824自费出版五次方程没有求根公式的证明。 1825前往柏林，结识奥古斯特·利奥波德·克雷勒。 1826在巴黎向科学院提交关于积分的重要论文。柯西把它弄丢了。 1827回到挪威，没有工作，负债累累。发表椭圆函数理论。 18294 月 6 日在弗罗兰死于肺结核，年仅 26 岁。 1830死后与雅可比共同获得巴黎科学院大奖。 ◀ 上一站 沿路线走一遍 下一站 ▶ 1802 斯塔万格附近生于挪威西海岸，是一位牧师七个孩子中的老二。 1804–1815 耶尔斯塔在父亲位于南部的教区长大。 1815–1825 克里斯蒂安尼亚在主教座堂学校，霍尔姆伯老师发现了他的才华。1824 年出版关于五次方程的六页小册子。 1825–1826 柏林结识奥古斯特·利奥波德·克雷勒，后者在其杂志第一卷上发表了他的七篇文章。 1826 巴黎向科学院提交关于积分的大论文。没有人理会他，柯西还弄丢了手稿。 1827–1828 克里斯蒂安尼亚回国时没有工作，负债累累。发表椭圆函数，并与雅可比竞赛。 1828–1829 弗罗兰圣诞节乘雪橇去看未婚妻，病倒了，4 月 6 日死于肺结核。两天后，柏林的任命书寄到。 请启用 JavaScript 以查看地图。各站列在下方。 阿贝尔的远行：从挪威到柏林和巴黎，又回到弗罗兰离世。 地图：© OpenStreetMap 贡献者 1802 · 斯塔万格附近1804–1815 · 耶尔斯塔1815–1825 · 克里斯蒂安尼亚1825–1826 · 柏林1826 · 巴黎1827–1828 · 克里斯蒂安尼亚1828–1829 · 弗罗兰 阿贝尔的远行：从挪威到柏林和巴黎，又回到弗罗兰离世。 牧师的儿子 约 1890 年挪威南部耶尔斯塔的教堂和牧师住宅。阿贝尔在这个教区长大，他的父亲是这里的牧师。照片中的教堂建于 1848 年，但牧师住宅的主楼建于 1707 年。Peder Bentsen Melaas · Wikimedia Commons · 公有领域 尼尔斯·亨里克·阿贝尔于 1802 年 8 月 5 日出生在挪威西海岸，是路德宗牧师瑟伦·格奥尔格·阿贝尔七个孩子中的老二。两年后，全家搬到南部的耶尔斯塔，父亲在那里接管了教区。当时的挪威是丹麦的一个贫穷省份，饱受拿破仑战争和英国封锁之苦，1812 年还发生了饥荒。1814 年，挪威有了自己的宪法，并与瑞典结成联合，阿贝尔的父亲后来还当上了新议会的议员。

October 16, 2026 阅读
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约瑟夫-路易·拉格朗日的一生

年表 17361 月 25 日生于撒丁王国首都都灵，原名朱塞佩·洛多维科·拉格朗吉亚。 175317 岁时读到埃德蒙·哈雷的一篇文章，决定献身数学。 1755写信给欧拉，提出后来发展成变分法的方法。9 月，19 岁的他被任命为都灵炮兵学校教授。 1757参与创立后来成为都灵科学院的科学学会。 1764解释了月球为什么总是以同一面朝向地球，获得巴黎科学院的奖项。 1766迁居柏林，在腓特烈大帝的科学院接替欧拉的位置。 1770证明每个正整数都是四个平方数之和，并开始研究方程根的置换。 1772因三体问题与欧拉分享巴黎科学院奖，拉格朗日点就出现在这项工作中。 1787腓特烈去世后迁居巴黎，住进卢浮宫。 1788出版《分析力学》。 1790加入创立公制的委员会。 1794拉瓦锡被送上断头台。拉格朗日成为新成立的巴黎综合理工学院教授。 1797出版《解析函数论》，书中使用记号 $f'(x)$。 1808拿破仑封他为帝国伯爵。 18134 月 10 日在巴黎去世，安葬于先贤祠。 ◀ 上一站 沿路线走一遍 下一站 ▶ 1736–1766 都灵19 岁时担任炮兵学校教授，写信给欧拉，提出了后来发展为变分法的方法。 1766–1787 柏林接替欧拉在腓特烈大帝科学院的职位。证明四平方和定理，发现拉格朗日点。 1787–1813 巴黎住在卢浮宫，出版《分析力学》，参与创立米制，在巴黎综合理工学院任教。葬于先贤祠。 请启用 JavaScript 以查看地图。各站列在下方。 拉格朗日的三座首都：都灵、柏林和巴黎。 地图：© OpenStreetMap 贡献者 1736–1766 · 都灵1766–1787 · 柏林1787–1813 · 巴黎 拉格朗日的三座首都：都灵、柏林和巴黎。 一位失去一切的父亲 拉格朗日 1736 年生于都灵。他的家族在曾祖父那一支有法国血统，曾祖父曾为萨伏依公爵效力。孩子受洗时取名朱塞佩·洛多维科·拉格朗吉亚，一生中用过许多种署名，最后定为法文形式：约瑟夫-路易·拉格朗日。他是十一个孩子中的老大，只有两个活到成年。 父亲是王国公共工程与要塞事务的司库，这是个体面的职位，家里很富裕。但他在金融投机中几乎赔光了家产。年老时，拉格朗日谈起这件事时很幽默： 如果我当初很富有，大概就不会献身于数学了。 — 约瑟夫-路易·拉格朗日，据其传记作者德朗布尔 哈雷与转向 父亲希望他当律师，年轻的拉格朗日也乐于学习拉丁文和古典文学。希腊几何让他觉得乏味。转变发生在 17 岁左右：他偶然读到英国天文学家埃德蒙·哈雷 1693 年的一篇文章，讲的是代数方法在光学中的好处。拉格朗日被这种用计算、不用图形来解决问题的想法迷住了，决定自学数学。这种偏好一辈子都没有离开他。

October 13, 2026 阅读
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打乱方程的根：方程的群

双脚并拢跳过计算；把运算分组，按照它们的难度而不是形式来分类：在我看来，这就是未来几何学家的使命。 — 埃瓦里斯特·伽罗瓦，一份手稿的序言（1831） 在伽罗瓦之前六十年，拉格朗日研究过由方程的根构成的表达式，并计算了当根交换位置时它们取多少个值。伽罗瓦更进了一步。他不再看表达式，而是看交换本身。而且不是所有的交换：只看方程允许的那些。 允许的交换 取一个有理系数的方程，把它的根记作 $a, b, c,\dots$ 根之间成立某些关系：系数为有理数的真等式，比如 $a+b=0$ 或 $a^2=2$。伽罗瓦把方程的群定义为根的这样一些置换的集合：它们把每一个成立的关系都变成另一个成立的关系。 最简单的例子是 $x^2-2=0$，根为 $a=\sqrt2$ 和 $b=-\sqrt2$。例如，下列关系成立： $$a+b=0,\qquad ab=-2,\qquad a^2=2,\qquad b^2=2.$$把 $a$ 和 $b$ 交换，四个关系仍然成立。这个群有两个元素：什么都不换，以及交换两个根。 与 $x^2-3x+2=0$ 比较，它的根是 $a=1$ 和 $b=2$。这里关系 $a=1$ 成立。交换两个根，它变成 $b=1$，这是错的。所以这个交换不被允许，群里只有恒等置换。这并非偶然： 根的一个有理表达式是有理数，当且仅当群中没有任何置换改变它。 这是整个理论的核心原理。特别地，当且仅当群只有恒等置换时，所有的根都是有理数。群越大，根就"藏"得越深。 四个根，四种交换 方程 $x^4-5x^2+6=0$ 可以分解为 $(x^2-2)(x^2-3)=0$。它的根是 $$a=\sqrt2,\qquad b=-\sqrt2,\qquad c=\sqrt3,\qquad d=-\sqrt3.$$四个根有 $4!=24$ 种打乱方式，但其中大多数会破坏某个关系。例如，交换 $a$ 和 $c$ 会把成立的关系 $a^2=2$ 变成错误的 $c^2=2$。只剩下把 $\sqrt2$ 变为 $\pm\sqrt2$、把 $\sqrt3$ 变为 $\pm\sqrt3$ 的那些交换： 置换 $a$ 变为 $c$ 变为 恒等 $a$ $c$ 交换 $a\leftrightarrow b$ $b$ $c$ 交换 $c\leftrightarrow d$ $a$ $d$ 两个都交换 $b$ $d$ 这个群有四个元素，而可能的置换有 24 个。这个看上去是四次的方程，实际上用两个相互独立的平方根就能解出，群把这一点显示了出来。

October 16, 2026 阅读
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五次方程：不存在的公式

几何学家们一直非常关注代数方程的一般解法，其中好几位还试图证明它的不可能性。但是，如果我没有弄错的话，至今还没有人成功。 — 尼尔斯·亨里克·阿贝尔，《论代数方程》（1824） 上过学的人都知道一个解方程的公式：二次方程的求根公式。方程 $ax^2+bx+c=0$ 的根是 $$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$$这个配方只用到四则运算和一个平方根。巴比伦人在近四千年前就会解这类问题，欧几里得则用正方形和矩形来解它们。一个自然的问题是：更高次的方程也有这样的配方吗？ 三次和四次 三次方程的答案来自文艺复兴时期的意大利。希皮奥内·德尔·费罗、尼科洛·塔尔塔利亚和吉罗拉莫·卡尔达诺找到了公式，卡尔达诺于 1545 年在《大术》（Ars magna）中发表了它。对于方程 $x^3+px+q=0$，一个根是 $$x=\sqrt[3]{-\frac q2+\sqrt{\frac{q^2}4+\frac{p^3}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac q2-\sqrt{\frac{q^2}4+\frac{p^3}{27}}}.$$我们用 $x^3+6x-20=0$ 来验证，即 $p=6$、$q=-20$。先算平方根： $$\frac{q^2}4+\frac{p^3}{27}=100+8=108,\qquad\sqrt{108}=6\sqrt3.$$公式给出 $$x=\sqrt[3]{10+6\sqrt3}+\sqrt[3]{10-6\sqrt3}.$$看起来很可怕，但是 $(1+\sqrt3)^3=1+3\sqrt3+9+3\sqrt3=10+6\sqrt3$，同样 $(1-\sqrt3)^3=10-6\sqrt3$。所以 $$x=(1+\sqrt3)+(1-\sqrt3)=2.$$确实，$2^3+6\cdot2-20=0$。不久之后，卡尔达诺的学生洛多维科·费拉里找到了四次方程的公式，也发表在同一本书中。这两个公式都只用四则运算和开方：我们说这些方程可以用根式求解。 两百五十年的尝试 剩下的是五次方程。两个多世纪里，最伟大的数学家们都尝试过，所有在四次以内管用的技巧到了五次都卡住了。1771 年，拉格朗日解释了这些技巧为什么管用：它们取决于根的某些表达式在根被打乱时如何变化。对于五次，这笔账算不通。1799 年，意大利人保罗·鲁菲尼发表了一个不存在公式的证明，但其中有漏洞，几乎没有人接受。 阿贝尔定理 1824 年，阿贝尔给出了完整的证明： $$\boxed{\text{对于 }n\geq5\text{ 次的一般方程，不存在只用四则运算和开方的公式。}}$$今天这个结果被称为阿贝尔–鲁菲尼定理。证明的思路是：假设这样的公式存在，看看它必须怎样构造。它是一层一层建起来的，每一层都对前面各层构成的表达式开方。阿贝尔证明，这些中间的根本身必须是方程五个根的表达式。这时拉格朗日和鲁菲尼的论证就派上了用场：五个根有 $5!=120$ 种打乱方式，而公式需要的那些表达式必须以某种方式变化，可是没有任何五个字母的表达式能这样变化。假设导致矛盾。 必须准确理解这个定理说了什么。它并没有说没有一个五次方程能解。方程 $x^5-32=0$ 的根是 $x=\sqrt[5]{32}=2$。不存在的是一个一般公式，能从系数出发解出所有五次方程。而且有些具体的方程，比如 $$x^5-x-1=0,$$它的实根 $x\approx1.1673$ 存在，也可以算到任意多位小数，却无论如何都不能用根式写出来。哪些方程能解、哪些不能解，这个问题几年后由伽罗瓦回答。 请启用 JavaScript 以使用这个交互图形。完整的推理见正文。 高斯没有打开的小册子 1824 年的小册子《论代数方程，证明一般五次方程不可能求解》是用阿贝尔自己的钱在克里斯蒂安尼亚印刷的。为了少花钱，他把证明删减到只剩六页，许多步骤都没有解释。阿贝尔把它寄给了几位数学家，其中包括高斯。据传，人们在高斯死后发现他那一本的书页仍未裁开。1826 年，阿贝尔在《克雷勒杂志》第一卷上发表了一个详细清楚的版本。 练习：像拉斐尔·邦贝利在 1572 年那样，把卡尔达诺公式用于 x³ − 15x − 4 = 0。这里 $p=-15$、$q=-4$，$\frac{q^2}4+\frac{p^3}{27}=4-125=-121$。公式需要 $\sqrt{-121}=11i$，即一个负数的平方根：$x=\sqrt[3]{2+11i}+\sqrt[3]{2-11i}$。邦贝利注意到 $(2+i)^3=8+12i-6-i=2+11i$，而 $(2-i)^3=2-11i$。于是 $x=(2+i)+(2-i)=4$，确实 $64-60-4=0$。虚数就是从这扇门进入数学的：为了得到一个实数答案，三次方程的公式有时必须经过虚数。

October 16, 2026 阅读
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变分法：一位十九岁青年的信

牛顿和莱布尼茨的微积分会找曲线的最高点：就在导数为零的地方。但还有另一类问题。两点之间最短的路是什么？滑梯做成什么形状，小球滑下来最快？一根挂着的链子是什么曲线？在这些问题里，答案不是一个数，而是一整条曲线，要从无穷多条可能的曲线中挑出来。 最速降线 1696 年，约翰·伯努利向全欧洲的数学家发出挑战。给定两点 $A$ 和 $B$，$B$ 比 $A$ 低，但不在 $A$ 的正下方。一个小球只靠自身重量、无摩擦地滑行，沿哪条曲线从 $A$ 到 $B$ 用时最短？这个问题的名字来自希腊语：brachistos 意为最短，chronos 意为时间。 直线是最短的路，却不是最快的。一开始陡一点往下冲，早点获得速度，即使路程变长也划算。约翰、他的哥哥雅各布、莱布尼茨、洛必达，还有一位大家都认出是牛顿的匿名作者回应了挑战。答案是摆线，即滚动的轮子上一点所画出的曲线。 每个解法都是一个各不相同的巧妙技巧。例如约翰把小球想象成一束光，穿过密度越来越小的一层层玻璃，用的是折射定律。还缺一个一般的方法。 欧拉的方法 欧拉花了多年寻找这种方法，并在 1744 年把它发表在一本名为《寻求具有某种极大或极小性质的曲线的方法》的书中。思路是几何的：用一个边数很多的多边形代替曲线，只移动其中一个顶点，看看要优化的量如何变化。这个方法管用，但计算冗长，而且每个问题都需要单独画一幅图。 1755 年的信 1755 年 8 月 12 日，欧拉收到一封来自都灵、一位 19 岁无名青年的信。拉格朗日提出了另一种做法：不去移动一个顶点，而是一次改变整条曲线。如果 $y(x)$ 是要找的曲线，他考虑一条邻近的曲线 $$y(x)+\delta y(x),$$其中 $\delta y$ 是一个小扰动，在两端为零，因为端点 $A$ 和 $B$ 是固定的。$\delta$ 是希腊字母的 d，这是个新符号：它表示函数的变化，正如莱布尼茨的 $d$ 表示变量的变化。 这类问题中，许多都要求让一个积分取最小或最大值： $$J=\int_a^b F(x,y,y')\,dx,$$其中 $F$ 依赖于点的位置、曲线的高度和它的斜率。例如，曲线的长度是 $$J=\int_a^b\sqrt{1+y'^2}\,dx.$$方程 拉格朗日的计算只需三步。第一步，积分的变化等于 $y$ 和 $y'$ 的变化各自引起的变化之和： $$\delta J=\int_a^b\left(\frac{\partial F}{\partial y}\,\delta y+\frac{\partial F}{\partial y'}\,\delta y'\right)dx.$$第二步，由于 $\delta y'$ 是 $\delta y$ 的导数，分部积分可以把导数转移到另一个因子上。边界项消失了，因为 $\delta y$ 在两端为零：

October 13, 2026 阅读
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行列式与置换

1812 年 11 月 30 日，来自瑟堡的年轻工程师在法兰西学会宣读了一篇标题很长的论文：论那些在变量互换时只能取两个大小相等、符号相反的值的函数。标题背后，是第一套一般的行列式理论。 会变号的函数 取三个变量 $a_1, a_2, a_3$，以及它们之差的乘积 $$\Delta = (a_2 - a_1)(a_3 - a_1)(a_3 - a_2).$$如果交换 $a_1$ 和 $a_2$，每个因子要么不变，要么变号，总的结果是 $\Delta$ 变成 $-\Delta$。交换任何两个变量都是如此。变量的置换是一连串交换，它把 $\Delta$ 乘以 $+1$ 或 $-1$：置换分为偶置换和奇置换。 柯西用这个观察整理了莱布尼茨、克拉默、范德蒙德和拉普拉斯在解线性方程组时得到的各种表达式。他把 $n^2$ 个系数排成一个方阵，用两个下标记为 $a_{i,j}$，并把行列式定义为所有这样的乘积之和：每个乘积从每一行、每一列各取一个元素，并带上相应置换的符号： $$\det\begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} \\ a_{2,1} & a_{2,2}\end{pmatrix} = a_{1,1}a_{2,2} - a_{1,2}a_{2,1}.$$“行列式”（déterminant）这个词来自高斯，他曾把它用于二次型；是柯西把它固定为今天的含义。 乘积 这篇论文的主要结果是乘积定理：如果 $C$ 是 $A$ 与 $B$ 按行乘列得到的方阵，那么 $$\det C = \det A \cdot \det B.$$雅克·比内在同一年也提出了这个定理，适用于长方阵列的一般形式今天称为柯西–比内公式。用数字验证一下。设 $$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 1 \end{pmatrix},$$则 $\det A = 6 - 1 = 5$，$\det B = 1 - 8 = -7$。乘积是

October 27, 2026 阅读
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作为数对的复数

到十九世纪初，复数已经用了三百年，从卡尔达诺和邦贝利开始，欧拉更是用它们创造了奇迹。韦塞尔、阿尔冈和高斯把它们画成了平面上的点。但不安依然存在：$\sqrt{-1}$ 究竟是什么？一个平方为负的数，看起来像是一种有用的虚构，而不是数学的对象。 哈密顿没有画任何图就解决了这个问题。在 1833 年和 1835 年提交给皇家爱尔兰学院、1837 年发表的论文《共轭函数或代数数对的理论》中，他提出：复数就是一个有序实数对，仅此而已。 游戏规则 对数对 $(a, b)$ 和 $(c, d)$，哈密顿定义 $$(a, b) + (c, d) = (a + c,\; b + d), \qquad (a, b)\cdot(c, d) = (ac - bd,\; ad + bc).$$形如 $(a, 0)$ 的数对与实数的行为完全一样：$(a, 0) + (c, 0) = (a + c, 0)$，$(a, 0)\cdot(c, 0) = (ac, 0)$。所以可以把 $(a, 0)$ 简单地写成 $a$。而数对 $(0, 1)$ 有一个特殊的性质： $$(0, 1)\cdot(0, 1) = (0 \cdot 0 - 1 \cdot 1,\; 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0) = (-1, 0) = -1.$$把 $(0, 1)$ 记作 $i$，数对 $(a, b)$ 就是 $a + bi$，且 $i^2 = -1$。“负一的平方根”不再是个谜：它是一对服从明确乘法规则的实数。关于复数的一切，都可以用实数的算术来验证。

October 27, 2026 阅读
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什么是群：三角形的六种对称

用纸剪一个正三角形，把三个角编号为 1、2、3，放在桌上画好的轮廓上。有多少种方法可以把三角形拿起来再放回去，使它恰好盖住同一个轮廓？ 有六种。可以什么都不做；转 $120°$ 或 $240°$；或者绕三条轴之一把三角形翻过来，每条轴经过一个角和对边的中点。 正三角形的六种对称。数字表示每个角最后到了哪里：e 什么都不动，r 顺时针转 120°，r² 转 240°，s₁、s₂、s₃ 沿虚线轴翻折三角形。Euler’s Eyes 绘图 我们把什么都不做的动作记作 $e$，两个旋转记作 $r$ 和 $r^2$，三个翻折记作 $s_1, s_2, s_3$，其中 $s_1$ 沿竖直轴，$s_2$ 沿经过右下角的轴，$s_3$ 沿经过左下角的轴。 对称的乘法表 连续做两个动作，结果总是六个之一。例如，转两次 $120°$ 就是转 $240°$：$r$ 之后再做 $r$ 得到 $r^2$。转三次回到起点：$r^3=e$。我们用 $a\star b$ 表示"先做 $a$，再做 $b$"。用纸三角形把所有组合都试一遍，就得到完整的表： $a\star b$ $e$ $r$ $r^2$ $s_1$ $s_2$ $s_3$ $e$ $e$ $r$ $r^2$ $s_1$ $s_2$ $s_3$ $r$ $r$ $r^2$ $e$ $s_2$ $s_3$ $s_1$ $r^2$ $r^2$ $e$ $r$ $s_3$ $s_1$ $s_2$ $s_1$ $s_1$ $s_3$ $s_2$ $e$ $r^2$ $r$ $s_2$ $s_2$ $s_1$ $s_3$ $r$ $e$ $r^2$ $s_3$ $s_3$ $s_2$ $s_1$ $r^2$ $r$ $e$ 行表示第一个动作，列表示第二个动作。用纸验证其中一格：转 $120°$ 后，角 1 到了右下，角 3 到了上方。再沿竖直轴翻折，角 3 留在上方，下面两个角交换位置。原来在左下的角 2 最后到了右下，正是它一开始所在的位置。这就是 $s_2$ 的效果：$r\star s_1=s_2$。

October 16, 2026 阅读
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二项式级数与魔鬼的级数

发散级数是魔鬼的发明，在它们上面建立任何证明都是一种耻辱。 — 尼尔斯·亨里克·阿贝尔，致霍尔姆伯的信（1826 年 1 月） 1665 年，年轻的牛顿发现，二项式公式对于非整数的指数也成立： $$(1+x)^m=1+mx+\frac{m(m-1)}{2}x^2+\frac{m(m-1)(m-2)}{6}x^3+\cdots$$当 $m$ 是正整数时，这个和在 $m+1$ 项之后就停止了。当 $m=\frac12$ 或 $m=-1$ 时，它永远不会停：这是一个级数，一个有无穷多项的和。牛顿、欧拉以及 18 世纪的所有数学家都用这个级数取得了巨大成功。几乎没有人问过它什么时候成立。 阿贝尔在中学时就认识了这个级数。16 岁时，他注意到欧拉对二项式公式的证明只对有理数指数成立，于是尝试把它推广到所有的数。八年后，他在柏林以严格得多的方式重新研究了这个问题。 级数骗人的时候 取 $m=-1$。级数给出 $$\frac1{1+x}=1-x+x^2-x^3+x^4-\cdots$$当 $x=\frac12$ 时，左边是 $\frac23$，右边 $1-0.5+0.25-0.125+\cdots$ 确实趋近于 $0.666\ldots$ 但当 $x=1$ 时，右边变成 $1-1+1-1+\cdots$，在 $1$ 和 $0$ 之间来回跳，拿不定主意，而左边等于 $\frac12$。欧拉接受这个和"就是" $\frac12$。当 $x=2$ 时情况更糟：左边是 $\frac13$，右边 $1-2+4-8+16-\cdots$ 无限增大。 部分和不趋近于任何数的级数称为发散级数。18 世纪的数学家们随意地摆弄这类级数，有时得出荒谬的结果。在法国，柯西从 1821 年起用他的《分析教程》开始整顿秩序。阿贝尔在巴黎读了柯西的书，并且走得更远。 阿贝尔的证明 在 1826 年发表于《克雷勒杂志》的文章中，阿贝尔以完全严格的方式研究了二项式级数，指数 $m$ 可以是任意的，甚至是复数，$x$ 也可以是任意的。他证明了当 $|x|<1$ 时级数收敛于 $(1+x)^m$，并精确描述了在边界 $|x|=1$ 上会发生什么。这是第一次有人对牛顿的级数做到这一点。 在区间内部，级数表现得非常好。取 $m=\frac12$，系数是 $1,\ \frac12,\ -\frac18,\ \frac1{16},\ -\frac5{128},\dots$，于是 $$\sqrt{1+x}=1+\frac x2-\frac{x^2}8+\frac{x^3}{16}-\frac{5x^4}{128}+\cdots$$对于 $\sqrt{1.2}$，取 $x=0.2$：

October 16, 2026 阅读
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《分析力学》：一本没有图的书

翻开牛顿 1687 年的《原理》，几乎每一页都有图：三角形、椭圆、箭头、切线。翻开一百年后、1788 年出版的拉格朗日《分析力学》，一幅图也看不到。作者本人在序言里自豪地预先说明了这一点，并补充道： 热爱分析的人会高兴地看到力学成为分析的一个新分支，并会感谢我这样扩展了它的领域。 — 约瑟夫-路易·拉格朗日，《分析力学》序言（1788） 《分析力学》（Méchanique analitique）初版扉页，巴黎，1788 年。Joseph-Louis Lagrange · Wikimedia Commons · 公有领域 这本书是在柏林写的，带到巴黎时已经差不多完成了。没有出版商愿意为这样一本艰深的论著冒险，是年轻的阿德里安-马里·勒让德说服了一位书商出版它，并校对了校样。据说印好的书送来后，拉格朗日在一段消沉的日子里两年都没有打开它。 力的麻烦 在牛顿力学里，要知道一个物体怎样运动，必须列出作用在它上面的所有力，再像箭头一样把它们加起来。比如在单摆中，作用的有重力和绳子的张力。重力好办，张力却不然：它每时每刻都在变化，事先谁也不知道。它的作用只是让小球拴在绳上，但即便如此，还是得先把它算出来，才能得到运动。 拉格朗日想要一种方法，让这些约束力根本不出现。 一个函数管全部 拉格朗日的想法是用随意选择的坐标来描述系统，哪种最自然就用哪种。对单摆来说，一个数就够了：绳子与竖直方向的夹角 $\theta$。然后用这些坐标写出两种能量： $T$，运动的能量（今天叫动能）； $V$，因位置而储存的能量（今天叫势能）。 再组成一个函数，今天叫作拉格朗日量： $$L=T-V.$$真实的运动就是满足欧拉-拉格朗日方程的那一个，只是现在用时间 $t$ 代替 $x$： $$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot q}-\frac{\partial L}{\partial q}=0,$$其中 $q$ 是坐标，上面带一点的 $\dot q$ 是它的速度，这是牛顿的记号。这是一份配方：写出 $L$，求导，令其为零。没有图，也没有箭头。 第一个检验：自由落体 对于高度为 $h$、质量为 $m$ 的物体，运动的能量是 $T=\frac12m\dot h^2$，储存的能量是 $V=mgh$。于是 $$\begin{aligned}L&=\tfrac12m\dot h^2-mgh,\\ \frac{\partial L}{\partial\dot h}&=m\dot h,\qquad\frac{\partial L}{\partial h}=-mg.\end{aligned}$$方程变成 $m\ddot h+mg=0$，即 $\ddot h=-g$：物体以恒定加速度 $g$ 下落。这是伽利略的定律，一个箭头也没画就重新得到了。 单摆 现在来看让牛顿吃力的例子。质量为 $m$ 的小球挂在长为 $\ell$ 的绳子上。设角度为 $\theta$，小球的速度是 $\ell\dot\theta$，位于悬挂点下方 $-\ell\cos\theta$ 的高度。所以

October 13, 2026 阅读
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方程何时可以用根式求解

有了方程的群这个概念，伽罗瓦回答了阿贝尔之后悬而未决的问题：哪些方程可以用根式求解？答案不依赖任何技巧，只取决于群的形状。 每开一次方就切小群 用根式解方程，就是在已知的数之外，一次添加一个根。一开始我们只知道有理数，方程的群是完整的。每添加一个根，比如 $\sqrt3$ 或 $\sqrt[3]{5}$，就会出现新的成立关系，尊重它们的置换就更少了。群缩小了。当群只剩下恒等置换时，方程的所有根都能用已知的数写出：方程就解出来了。 伽罗瓦证明，每开一次素数 $p$ 次方，无论是平方根、立方根还是五次方根，群都以一种非常特殊的方式缩小：新的群是原来那个群的正规子群，并且在原来的群中恰好容纳 $p$ 次。结论就是伽罗瓦定理： $$\boxed{\text{方程可以用根式求解}\iff\text{群可以经过一系列素数指数的正规步骤切到只剩恒等元。}}$$能这样切开的群，为纪念这段历史，被称为可解群。 三次方程：卡尔达诺公式 一般三次方程的群是三个根的六个置换构成的群，与三角形的六种对称相同。它可以这样切开： $$\underbrace{\{e,r,r^2,s_1,s_2,s_3\}}_{6}\ \supset\ \underbrace{\{e,r,r^2\}}_{3}\ \supset\ \underbrace{\{e\}}_{1}.$$指数是 $6\div3=2$ 和 $3\div1=3$。这意味着：先开一个平方根，再开一个立方根。这正是卡尔达诺公式的形状，平方根出现在立方根的里面： $$x=\sqrt[3]{-\frac q2+\sqrt{\frac{q^2}4+\frac{p^3}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac q2-\sqrt{\frac{q^2}4+\frac{p^3}{27}}}.$$群在公式写出来之前就解释了它。 四次方程：费拉里公式 四个根的 24 个置换可以分四步切开： $$24\ \supset\ 12\ \supset\ 4\ \supset\ 2\ \supset\ 1,$$指数为 $2, 3, 2, 2$，全是素数。费拉里公式依次使用一个平方根、一个立方根（用来解拉格朗日的辅助三次方程）以及另外两个平方根。 五次方程：切不开的群 五个根的 $120$ 个置换可以切一次，对半切成一个有 $60$ 个元素的正规子群，即所谓的偶置换。但链条到此为止：这个 60 元群除了 $\{e\}$ 和它自身之外，没有别的正规子群。要到达恒等元，就需要一步指数为 60 的切割，而 60 不是素数。这是不可能的。 这就是一般五次方程没有公式的原因：这是阿贝尔定理，现在通过伽罗瓦的眼睛来看。但伽罗瓦理论走得更远。对每个具体的方程，只要算出它的群就行了。方程 $x^5-2=0$ 的群有 20 个元素，是可解的，它确实可以求解：$x=\sqrt[5]2$。而 $x^5-x-1=0$ 的群是全部 120 个置换，它的实根 $1.1673\ldots$ 不能用根式写出。 请启用 JavaScript 以使用这个交互图形。完整的推理见正文。

October 16, 2026 阅读