入学考试 | Euler's Eyes

ITA 2026 – 第二阶段：数学题详解

来源： ITA ——第二阶段数学试卷。文件见 ITA 历年试题页面。 ITA 2026 第二阶段数学试卷共有 10 道解答题。ITA 不公布解答题的官方解答（第二阶段的官方答案只涉及葡萄牙语选择题）；下面的解答由我们完成，每个答案都用第二种方法（代入、另一个公式或计算机）核对过。答案一览题号内容答案 01 八面体中的整点 231 02 三角矩阵的幂 $n = 15$ 03 平行四边形与内切圆 30 04 靶子的红色面积 $\pi(\alpha^2 + 32\alpha + 528)$ 05 大球中的四个小球 $\frac{22 + 9\sqrt{6}}{16}$ 06 三角矩阵（题目自相矛盾）见说明 07 四次多项式与余式 $-1$、$\frac{1}{2}$、$1 \pm 2i$ 08 和为 100 的递增三元组 784 09 过一点作双曲线的切线 $y = \pm 2\sqrt{6}\,x - 8$；$(\pm\sqrt{6}, 4)$ 10 相交的圆与公共面积半径 $2\sqrt{3}$ 和 $6$；面积 $10\pi - 12\sqrt{3}$ 第 01 题：八面体中的整点题目考虑以原点为中心的正八面体，它的三个顶点为 $(5, 0, 0)$、$(0, 5, 0)$、$(0, 0, 5)$。这个立体的内部和表面上有多少个坐标全为整数的点？

October 28, 2026 阅读

ITA 2026 – 第一阶段：数学题详解

来源： ITA ——第一阶段试卷和官方答案。文件见 ITA 历年试题页面。 ITA 2026 第一阶段共有 48 道选择题：数学 12 道、物理 12 道、化学 12 道、英语 12 道。本文收录其中的数学题，题号沿用试卷的 1 至 12。试卷约定。 $i^2 = -1$；$\bar{z}$ 为 $z$ 的共轭；$]a, b[$ 为开区间 $a < x < b$。答案一览题号内容答案 1 复数：模与辐角 D 2 对数：用近似值解方程组 B 3 矩阵：对称、等差数列与奇异性 E 4 复数：解构成的多边形 C 5 平面几何：六角星 D 6 空间位置关系作废 7 旋转矩阵 A 8 多项式：关于一点对称 B 9 抛物线、切线与面积 D 10 三角方程组 E 11 双射计数 A 12 半径成等比数列的相切圆 B 第 1 题：z − w 为实数，w 的辐角为 π/6 题目设 $z, w \in \mathbb{C}$，$z - w = -2\sqrt{3}$ 且 $w \ne 0$。若 $z$ 的模为 $2\sqrt{3}$，$w$ 的辐角为 $\pi/6$，则 $z$ 的实部等于

October 28, 2026 阅读

ITA 2025 – 第二阶段：数学题详解

来源： ITA ——第二阶段数学试卷。文件见 ITA 历年试题页面。 ITA 2025 第二阶段数学试卷共有 10 道解答题。ITA 不公布解答题的官方解答（第二阶段的官方答案只涉及葡萄牙语选择题）；下面的解答由我们完成，每个答案都用第二种方法（代入、另一个公式或计算机）核对过。答案一览题号内容答案 1 除以 $x^2 - x + 1$ 的余式 $a = -1$，$b = 3$ 2 椭圆：$y/x$ 的最大值 $r = \sqrt{3}$ 3 三角方程组 $\sin(\alpha + \beta) = \frac{5 + \sqrt{7}}{8}$ 4 旁切圆 $15\sqrt{3}$ 5 $3^{100}$ 的首位数字 5 6 概率：第 $n$ 次抛出第四个正面 $n = 6$ 和 $n = 7$ 7 有二重根的多项式与直角三角形 $a = \pm\frac{3\sqrt[4]{2}}{2}$，$b = \mp\frac{1}{\sqrt[4]{2}}$ 8 行列式之和 1013 9 满足 $A^{-1} = A^T$ 的整数矩阵 3840 10 立方体沿体对角线方向的投影 $4\sqrt{3}$ 第 1 题：除以 x² − x + 1 的余式题目求实数 $a$、$b$，使多项式 $p(x) = x^{57} + ax^{14} + bx^7 + 1$ 除以 $x^2 - x + 1$ 的余式为 $2x + 1$。

October 28, 2026 阅读

ITA 2025 – 第一阶段：数学题详解

来源： ITA ——第一阶段试卷和官方答案。文件见 ITA 历年试题页面。 ITA 2025 第一阶段共有 48 道选择题：数学 12 道、物理 12 道、化学 12 道、英语 12 道。本文收录其中的数学题，题号沿用试卷的 1 至 12。试卷约定。横轴和纵轴记作 $O_x$ 和 $O_y$，$O$ 为原点；$\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}$； $i^2 = -1$；$\overline{AB}$ 为线段，$AB$ 为过 $A$、$B$ 的直线。答案一览题号内容答案 1 复数：三角形 $1$、$z$、$z^2$ 的面积 B 2 多面体：是否存在 E 3 二项式定理：常数项 C 4 函数：单射与满射 D 5 数列、等差数列与等比数列 D 6 含参数的指数方程 B 7 同解的线性方程组 A 8 三角函数的定义域 E 9 旋转体作废 10 两个多项式的公共根 D 11 共焦点的椭圆与双曲线 A 12 约数的个数 C 第 1 题：以 1、z、z² 为顶点的三角形题目设复数 $z = a + 2i$，其中 $a \in \mathbb{R}$ 为正数。使 $1$、$z$、$z^2$ 在复平面上对应的点构成面积为 200 的三角形的 $a$ 的值为

October 28, 2026 阅读

ITA 2024 – 第二阶段：数学题详解

来源： ITA ——第二阶段数学试卷。文件见 ITA 历年试题页面。 ITA 2024 第二阶段数学试卷共有 10 道解答题。ITA 不公布第二阶段的官方解答；下面的解答由我们完成，每个答案都用第二种方法（代入、另一个公式或计算机）核对过。答案一览题号内容答案 1 等差数列与等比数列 $n = 4$ 2 走过所有桥的路线（欧拉路径） 32（每个方向 16） 3 含对数绝对值的不等式 $-4 < x < -\frac14$ 或 $\frac14 < x < 4$ 4 正定矩阵 $-1 < b < 1$ 5 关于 $x = 1$ 对称的多项式 $1 \pm \sqrt{3}$ 和 $1 \pm i\sqrt{6}$ 6 立体内最长的线段 $\frac{4\sqrt{161}}{5}$ 7 与 $y$ 轴相切的圆 $(x - 4 - \sqrt{6})^2 + (y - 3 + \sqrt{6})^2 = (4 + \sqrt{6})^2$ 8 顶点在抛物线上的梯形 $\frac{483}{64}$ 9 复数根与面积 $4\sqrt{5}$ 10 半角的正切 $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$、$\frac{\sqrt{5}}{5}$ 和 $\frac{5 - \sqrt{5}}{10}$ 第 1 题：等比数列前几项之和为 −80？题目设 $(a_n)$ 是等差数列，$(b_n)$ 是等比数列。若 $(a_n)$ 的公差为 $r$（$r \ne 0$），$(b_n)$ 的公比为 $q = 1/r$，$a_1 = b_1 = 4$，且

October 28, 2026 阅读

ITA 2024 – 第一阶段：数学题详解

来源： ITA ——第一阶段试卷和官方答案。文件见 ITA 历年试题页面。 ITA 2024 第一阶段共有 60 道选择题，每科 12 道（物理、葡萄牙语、英语、数学、化学）。本文收录其中的数学题，题号沿用试卷的 37 至 48。试卷约定。 $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}$；$A - B$ 为集合 $A$ 与 $B$ 的差集；$i^2 = -1$； $M_n(\mathbb{R})$ 为 $n \times n$ 实矩阵的集合；$\overline{AB}$ 为线段，$AB$ 为过 $A$、$B$ 的直线； $m(\overline{AB})$ 为 $\overline{AB}$ 的长度；$A\hat{B}C$ 为以 $B$ 为顶点的角；$\det A$ 为行列式， $A^T$ 为 $A$ 的转置。答案一览题号内容答案 37 集合运算 B 38 矩阵方程组 E 39 含反正切的二倍角 A 40 计数：抽屉原理 B 41 多项式：120 个多项式的根之和 D 42 成等比数列的根 C 43 圆柱与等比数列 E 44 多面体：欧拉公式 D 45 平面几何：四边形的面积 C 46 复数：$a^m = b^m$ D 47 解析几何：外角平分线 A 48 包含一个圆的椭圆 C 第 37 题：三个集合恒等式题目设 $A, B, C \subseteq \mathbb{R}$，且 $C \subseteq A$。考虑以下命题：

October 28, 2026 阅读

ITA 2023 – 第二阶段：数学题详解

来源： ITA ——第二阶段数学试卷。文件见 ITA 历年试题页面。 ITA 2023 第二阶段数学试卷共有 10 道解答题。ITA 不公布第二阶段的官方解答；下面的解答由我们完成，每个答案都用第二种方法（代入、另一个公式或计算机）核对过。答案一览题号内容答案 1 齐次线性方程组 $b = 2a$；$\{(-15t, -16t, 17t) : t \in \mathbb{R}\}$ 2 矩阵：$M$ 何时可逆 $\alpha \notin \{0, 2, 3 - \sqrt{15}, 3 + \sqrt{15}\}$ 3 底数含变量的对数不等式 $]-2, 0[$ 4 多项式除法与根 $q = x^6 + x^5 - x - 1$，$r = 0$；根为 $\operatorname{cis}\frac{\pi}{5}, \operatorname{cis}\frac{3\pi}{5}, \operatorname{cis}\frac{7\pi}{5}, \operatorname{cis}\frac{9\pi}{5}$ 5 三角：和差化积 $\sin(\alpha - \beta) = \frac{2AB}{A^2 + B^2}$ 6 内切圆半径 $\frac{6\sqrt{7} - 3\sqrt{3}}{10}$ 7 椭圆：两焦半径夹角为 60° $\left(\pm\frac{4\sqrt{2}}{3}, \pm\frac{1}{3}\right)$ 8 等边圆柱与球 $400\pi$ cm² 和 $\frac{4000\pi}{3}$ cm³ 9 正弦定理：三角形的边 $6 + \sqrt{11}$ 和 $6 - \sqrt{11}$ 10 计数：十边形的对角线对 175 第 1 题：齐次方程组何时有非零解题目设 $a$、$b$ 为正实数。考虑关于未知数 $x$、$y$、$z$ 的线性方程组：

October 28, 2026 阅读

ITA 2023 – 第一阶段：数学题详解

来源： ITA ——第一阶段试卷和官方答案。文件见 ITA 历年试题页面。 ITA 2023 第一阶段共有 60 道选择题，每科 12 道（物理、葡萄牙语、英语、数学、化学）。本文收录其中的数学题，题号沿用试卷的 37 至 48。试卷约定。 $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}$；$i^2 = -1$；$M_n(\mathbb{R})$ 为 $n \times n$ 实矩阵的集合；$\overline{AB}$ 为线段，$AB$ 为过 $A$、$B$ 的直线；$m(\overline{AB})$ 为 $\overline{AB}$ 的长度；$A\hat{O}B$ 为以 $O$ 为顶点的角；$\det A$ 为 $A$ 的行列式。答案一览题号内容答案 37 行列式与有唯一解的方程 C 38 复数：迭代 $f(z) = z^2 + i$ E 39 凸多边形与等差数列 B 40 多项式：根的调和平均数 C 41 指数函数：不等式 B 42 平面几何：三角形中的矩形 D 43 复数：幂之和 D 44 双曲线：与焦点构成的三角形 A 45 概率：硬币游戏 B 46 旋转体：两个圆锥 E 47 三角方程 A 48 多项式：次数为 3 的倍数的项的系数 C 第 37 题：含行列式且有唯一解的方程题目设 $A \in M_3(\mathbb{R})$，使得恰有一个实数 $x$ 满足方程 $\det(\sqrt[3]{2}\,x^2 A) + \det(xA^3) = \det A^2$。则 $x + \det A$ 等于

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ITA 2022 – 第二阶段：数学题详解

来源： ITA ——第二阶段数学试卷。文件见 ITA 历年试题页面。 ITA 2022 第二阶段数学试卷共有 10 道解答题。ITA 不公布第二阶段的官方解答；下面的解答由我们完成，每个答案都用第二种方法（代入、另一个公式或数值计算）核对过。记号约定与第一阶段相同：$i^2 = -1$，$m(\overline{AB})$ 为线段 $\overline{AB}$ 的长度， $A\hat{O}B$ 为以 $O$ 为顶点的角。答案一览题号内容答案 1 多项式：矩形的周长 $a = \frac{164}{125}$，$b = \frac{336}{125}$ 2 复数：虚部为零 $z = -\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{3}}{2}i$ 3 递推定义的矩阵 725 4 计数：井字棋 120 5 反三角函数 $\frac{\pi}{4}$ 和 $\frac{3\pi}{4}$ 6 解析几何：直线夹角与距离 $Q = \left(-\frac{4}{5}, \frac{6}{5}\right)$ 7 立体几何：正六棱台 $112 + \frac{224\sqrt{3}}{3}$ 8 圆内接四边形：外接圆半径 $r = \frac{7\sqrt{3}}{3}$ 9 有公共水平切线的三个圆 $\left\{\left(1, \frac{21}{4}\right)\right\}$ 10 依次内接的正八面体与立方体 $\frac{l_{10}}{l_1} = \frac{1}{3^9}$ 第 1 题：周长为 8 的矩形的边长题目设 $x \in \mathbb{R}$。矩形 $R$ 的两边长为 $a = 9x^2 - 5x^4$ 和 $b = 8x - 8x^3$。已知 $R$ 的周长为 8，求 $a$ 和 $b$。

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ITA 2022 – 第一阶段：数学题详解

来源： ITA ——第一阶段试卷和官方答案。文件见 ITA 历年试题页面。 ITA 2022 第一阶段共有 70 道选择题：物理 15 道、葡萄牙语 15 道、英语 10 道、数学 15 道、化学 15 道。本文收录其中的数学题，题号沿用试卷的 41 至 55。试卷约定。 $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}$；$i$ 为虚数单位（$i^2 = -1$）； $M_n(\mathbb{R})$ 为 $n \times n$ 实矩阵的集合；$\overline{AB}$ 为以 $A$、$B$ 为端点的线段， $m(\overline{AB})$ 为其长度；$A\hat{O}B$ 为以 $O$ 为顶点、由射线 $\overrightarrow{OA}$ 与 $\overrightarrow{OB}$ 构成的角。答案一览题号内容答案 41 对数：换底公式 B 42 平面几何：垂直平分线与勾股定理 E 43 同解的线性方程组 C 44 复数：关于实数的命题 A 45 多项式与复平面上的面积 D 46 矩阵：交换性与行列式 E 47 正切与等差数列 D 48 圆锥曲线：双曲线的中心 C 49 立体几何：立方体中的棱锥与外接球 D 50 空间中的位置关系 A 51 二进制表示与概率 C 52 概率：过立方体顶点的直线 A 53 三角形中的三角函数 C 54 三角方程 C 55 正弦定理与外接圆 C 第 41 题：以 120 和 14400 为底的对数之和题目若

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FUVEST 2026 – 第二阶段：解决数学问题

来源： FUVEST – 第二阶段第二天测试（具体测试；数学有问题 M01 至 M06）以及预期的数学答案。 FUVEST 集合 2026 中的文件。在 FUVEST 2026 的第二阶段中，第二天包括每个项目的具体论文测试面积；数学测试有 M01 至 M06 六题，每题都有项目 a)、b) 和 c)。对于本次测试，FUVEST 发布了预期答案；的以下决议是我们的，我们以第二种方式检查了每一项，并且所有符合官方预期答案。模板问题主题答案 M01 概率：抽出 ARARA 字母 a) $\frac{3}{10}$; b) $\frac{1}{10}$; c) $\frac{1}{120}$ M02 线性系统：销售酒瓶 a）45和5； b) R$ 7,80; c) 不可能的 M03 三角学：潜艇声纳 a) 3 m; b) $120 - 5\sqrt{2} \approx 112{,}93$ m; c) 100 m M04 百分比：先增加后折扣 a) $33{,}\overline{3}\%$; b) $y = \frac{100x}{100 + x}$; c) $m = 25$ M05 空间几何：内切于立方体的金字塔 a) 1 m; b) 4 m; c) $2\sqrt{3}$ m M06 模块化功能和区域 a) $(1,1)$ e $(-1,1)$; b) 4; c) $d^3$ 问题 M01：画出 ARARA 的字母（概率）陈述 ARARA 这个词除了鸟儿的美丽和回文结构之外，还被广泛使用。用于组合分析和概率练习，因为它是由五个字母，其中只有两个不同的字母。假设这个单词的字母位于一个瓮中，其中每个字母被移除的可能性相同，回答：

September 28, 2026 阅读

FUVEST 2026 – 第一阶段：解决数学问题

来源： FUVEST – 测试 V1 和模板常识测试（第一阶段），应用于23/11/2025。文件位于 FUVEST 集合 2026。 FUVEST 第一阶段 2026 有来自所有人的 90 多项选择题学科。这篇文章带来了数学问题。这里使用的编号是证明 V1；在版本 V2、V3 和 V4 中，相同的问题出现在另一个版本中订单（官方模板包含对应表）。模板问题主题模板 3 逻辑推理：决胜局选举取消 4 对数：香农熵 A 6 空间几何：正金字塔 E 7 三角学：双弧方程 D 18 指数函数和对数 E 30 空间几何：圆柱体积 B 36 直角三角形中的三角函数 E 37 解析几何：圆方程 A 55 完美数、素数和级数 B 74 函数图变换 D 问题3：多少票保证选举？问题已被 FUVEST 取消。在官方答卷中，测试 V1 中的问题 3 带有星号（无效）出现。 FUVEST没有透露取消的原因。陈述在由 5 名成员组成的理事会的选举中，有 7 位候选人已登记选民总数为 35 名。得票最多的 5 候选人当选，决定胜负的是年龄，也就是说，如果只有一个地方可以容纳两个人票数相同的候选人中，年龄最大的候选人当选，更年轻，不。阿莱夫是所有候选人中最年轻的分析他需要多少票才能保证他的当选。

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