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威廉·罗恩·哈密顿的一生

年表 18058 月 3 日夜至 4 日凌晨生于都柏林，父亲是一名律师。 1808搬到特里姆，跟随叔叔詹姆斯生活。叔叔是牧师兼教师，教他学习语言。 1818与美国心算神童泽拉·科尔伯恩较量，这次失败把他引向了数学。 1823以第一名的成绩考入都柏林三一学院。 1827还是学生时就被任命为爱尔兰皇家天文学家。前往湖区拜访华兹华斯。 1832预言锥形折射，不久后由汉弗莱·劳埃德观察到。 1833与海伦·贝利结婚。提出把复数看作数对。 1834发表动力学中的一般方法。 1835被封为爵士，成为 Sir William。 1837当选皇家爱尔兰学院院长。 184310 月 16 日发现四元数，并把公式刻在一座桥上。 1853出版《四元数讲义》。 1857发明周游世界游戏。 1865成为第一位当选美国国家科学院的外国人。9 月 2 日在邓辛克去世。 ◀ 上一站 沿路线走一遍 下一站 ▶ 1805–1808 都柏林1805 年 8 月 3 日夜至 4 日凌晨生于多米尼克街，父亲是一名律师。三岁时被送到叔叔家生活。 1808–1823 特里姆在叔叔詹姆斯身边长大，叔叔是牧师和教师，教他学习语言。十三岁时，据说他已懂十几种语言，从拉丁语到波斯语。 1823–1827 三一学院在都柏林求学，在古典学和科学两方面都获得最高奖项。还是学生时，就提出了光线系统理论。 1827 赖德尔山庄前往湖区拜访威廉·华兹华斯。两人结下终身友谊，诗人劝他把诗歌让给科学。 1827–1865 邓辛克天文台21 岁成为爱尔兰皇家天文学家。他在这里写下了光学、力学和四元数。1865 年 9 月 2 日在天文台去世。 1843 布鲁姆桥10 月 16 日，他和妻子沿皇家运河散步时，找到了四元数的规则，并把它刻在桥的一块石头上。 请启用 JavaScript 以查看地图。各站列在下方。 从都柏林到邓辛克，途中绕道湖区，拜访华兹华斯的家。 地图：© OpenStreetMap 贡献者

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四元数：桥上的公式

在证明复数就是实数对、复数乘法会旋转平面之后，哈密顿想在空间中做同样的事。他在寻找三元数 $a + bi + cj$，以及一种满足模的定律的乘法：乘积的大小应等于大小的乘积。他试了很多年，尤其是在 1843 年，以至于孩子们每天早上都问他会不会乘三元数了。 为什么三个不行 算术里藏着一个障碍。如果存在一种满足模的定律、系数为整数的三元数乘法规则，那么两个三平方和的乘积就总会是三平方和。但是 $$3 = 1^2 + 1^2 + 1^2, \qquad 5 = 2^2 + 1^2 + 0^2, \qquad 3 \times 5 = 15,$$而 $15$ 不是三个平方数之和（试试看：可用的平方数是 $0, 1, 4, 9$，任何三个的组合都凑不出 $15$）。用四个平方数，困难就消失了：$15 = 9 + 4 + 1 + 1$。而且从 1748 年起，人们就知道欧拉的四平方恒等式：两个四平方和的乘积总是四平方和。大自然似乎要求四个部分，而不是三个。 那次散步 1843 年 10 月 16 日是星期一，哈密顿和妻子沿着皇家运河从邓辛克步行去都柏林，去主持皇家爱尔兰学院的一次会议。二十二年后，他亲自向儿子讲述了当时的情景： 虽然她不时和我说话，但我心里一直有一股思想的暗流在涌动，它终于得出了一个结果，说我立刻感到了它的重要性也不为过。仿佛一条电路接通了，迸出了一个火花。[……] 我也无法抗拒那股冲动，尽管它也许并不怎么合乎哲学：在我们经过布鲁厄姆桥时，用小刀在桥的一块石头上刻下了带有符号 i、j、k 的基本公式。 — 威廉·罗恩·哈密顿，致儿子阿奇博尔德的信（1865） 这个公式是 $$i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1.$$ 都柏林布鲁姆桥（旧称布鲁厄姆桥）上的纪念牌：“1843 年 10 月 16 日，威廉·罗恩·哈密顿爵士从这里经过时，灵光一闪，发现了四元数乘法的基本公式 i² = j² = k² = ijk = −1，并把它刻在了这座桥的一块石头上”。Cone83 · Wikimedia Commons · CC BY-SA 4.0 乘法表 一个四元数是 $q = a + bi + cj + dk$，含四个实数。所有乘积都可以从桥上的公式推出。把 $ijk = -1$ 的右边乘以 $k$：$ijk^2 = -k$，即 $-ij = -k$，于是 $ij = k$。同样可得：

October 27, 2026 阅读
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用四元数在空间中旋转

模为 1 的复数旋转平面。哈密顿希望他的数在空间中也能做到这一点。它们确实能做到，但方式比他最初设想的更微妙。 方法 把空间中的点 $(x, y, z)$ 写成纯四元数 $v = xi + yj + zk$。要绕单位向量 $u = u_1 i + u_2 j + u_3 k$ 给出的轴旋转角 $\theta$，取 $$q = \cos\frac{\theta}{2} + \sin\frac{\theta}{2}\,(u_1 i + u_2 j + u_3 k)$$并计算 $$v \;\longmapsto\; q\,v\,q^{-1}, \qquad q^{-1} = \cos\frac{\theta}{2} - \sin\frac{\theta}{2}\,(u_1 i + u_2 j + u_3 k).$$结果又是一个纯四元数：旋转后的点。选择轴和角度： 请启用 JavaScript 以使用这个交互图形。完整的推理见正文。 有两点值得注意。第一是半角：$q$ 在“三明治” $q v q^{-1}$ 中出现了两次，每一边贡献一半的转角。第二由此而来：当 $\theta = 360°$ 时，物体回到原位，但 $q = \cos 180° = -1$。四元数 $q$ 和 $-q$ 给出同一个旋转。要转两整圈，四元数才会也回到起点。这一性质在一个世纪后的电子自旋中再次出现。

October 27, 2026 阅读
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向量与标量：哈密顿创造的词

在四元数 $q = a + bi + cj + dk$ 中，有两个性质不同的部分。数 $a$ 停留在实数直线上；而 $bi + cj + dk$ 这一部分指向空间中的某个方向。1846 年，哈密顿给它们起了名字：前者是标量（scalar），因为它可以在一把标尺上读出，从小到大；后者是向量（vector），来自拉丁语 vector，意思是“运送者”，因为它把一个点运送到另一个点。这两个词都流传了下来，今天连从没听说过四元数的人也在用。 两个乘积合二为一 用桥上的规则把两个纯向量 $u = u_1 i + u_2 j + u_3 k$ 和 $v = v_1 i + v_2 j + v_3 k$ 相乘。把九个乘积展开并合并同类项，结果是 $$uv = -(u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3) + (u_2 v_3 - u_3 v_2)\,i + (u_3 v_1 - u_1 v_3)\,j + (u_1 v_2 - u_2 v_1)\,k.$$标量部分是点积 $u \cdot v$ 的相反数；向量部分是叉积 $u \times v$：

October 27, 2026 阅读
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凯莱–哈密顿定理

每个四元数 $q = a + v$（标量部分为 $a$，向量部分为 $v$）都满足一个实系数的二次方程。由于 $v^2 = -\lvert v \rvert^2$（见向量）， $$q^2 = a^2 + 2av + v^2 = a^2 - \lvert v \rvert^2 + 2av,$$由此 $$q^2 - 2a\,q + \lvert q \rvert^2 = 0, \qquad \lvert q \rvert^2 = a^2 + \lvert v \rvert^2.$$一个四元数是一个二次实系数多项式的根，正如复数 $z$ 是 $z^2 - 2\operatorname{Re}(z)\,z + \lvert z \rvert^2 = 0$ 的根。在 1853 年的《四元数讲义》中，哈密顿更进一步，证明了四元数的某些线性函数也满足它们自己的一个多项式方程，并用它来计算这些函数的逆。 对于矩阵 五年后的 1858 年，阿瑟·凯莱发表了奠定矩阵代数的《矩阵理论论文》，并在其中一般地陈述了这个结果：每个方阵 $A$ 都使它的特征多项式 $p(\lambda) = \det(\lambda I - A)$ 等于零。凯莱验证了 $2 \times 2$ 的情形，说他核对过 $3 \times 3$ 的情形，却没有费心去证明一般情形。第一个完整的证明出自费迪南德·格奥尔格·弗罗贝尼乌斯，1878 年。这个定理以凯莱和哈密顿的名字命名。

October 27, 2026 阅读
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威廉·罗恩·哈密顿的遗产

哈密顿原理已经成为现代物理学的基石，物理学家期望每一种物理现象都与之相符。 — 埃尔温·薛定谔（1943） 哈密顿相信四元数会是他的伟大作品，是未来物理学的语言。他在细节上错了，在本质上对了。物理学采用了吉布斯和亥维赛的向量，但哈密顿自己认为不那么重要的力学，却成了此后几乎一切的基础。 在物理学中 量子力学。 在薛定谔方程中，系统的能量是一个算符，即哈密顿量 $\hat H$。计算一个原子的能级，就是求它的哈密顿量的本征值。 统计力学与混沌。 哈密顿的相空间，其中每个状态是一个点，是统计热力学和混沌理论的舞台。刘维尔定理，即相空间中的体积守恒，是哈密顿方程的直接推论。 光学。 特征函数仍被用于光学系统的设计，而锥形折射在二十一世纪又借助激光重新得到研究。 在数学与计算中 代数。 哈密顿放弃交换律，打开了通往抽象代数的大门：矩阵、八元数、李代数、克利福德代数。认为可以按照一个问题的需要发明一种代数，这一思想在很大程度上出自他。 图形与导航。 四元数让电子游戏角色、电影摄像机、机器人手臂、太空望远镜以及你口袋里的手机转动起来。 图论。 哈密顿回路是计算复杂性理论的核心问题之一。 在都柏林 爱尔兰在 1943 年 11 月为纪念四元数发现一百周年发行的半便士邮票。爱尔兰邮政 · Wikimedia Commons · 公有领域 1943 年，在那座桥的百年纪念时，爱尔兰发行了两枚印有哈密顿头像的邮票，曾当过数学教师的政府首脑埃蒙·德瓦莱拉推动了纪念活动。当时住在都柏林、在德瓦莱拉创办的高等研究院工作的薛定谔，就哈密顿的工作做了演讲。1958 年，布鲁姆桥上安放了取代已消失刻字的纪念牌。自 1990 年起，每年 10 月 16 日，数学家们都会进行哈密顿散步，从邓辛克天文台走到那座桥，重走 1843 年的路线。获得诺贝尔奖的物理学家默里·盖尔曼和史蒂文·温伯格，以及数学家安德鲁·怀尔斯，都曾参加过。 J. 柯克伍德根据 C. 格雷的素描制作的威廉·罗恩·哈密顿爵士蚀刻像。Wellcome Collection · Wikimedia Commons · CC BY 4.0 怎样评价他 哈密顿是一个没有熄灭的神童：21 岁时他已有自己的原创理论，38 岁时在一次散步中做出了最伟大的发现。他也是一个个人生活艰难的人，饮酒过度，在凌乱中工作。但他留下的启示是一种自由：算术的规则并不神圣。当一个问题需要一种新的代数时，只要它是自洽的，就可以把它发明出来。二十世纪的数学正是凭着这种自由建立起了它的种种结构。 改变了含义的词 除了“向量”和“标量”，哈密顿还创造了 tensor（张量）一词，用来指四元数的大小，即把它“拉伸”的那个数。1898 年，德国物理学家沃尔德马·福格特把这个词借来描述晶体中的应力，带着这个新含义，它进入了爱因斯坦的广义相对论。哈密顿创造的三个词中，只有“张量”失去了原来的意思。

October 27, 2026 阅读
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哈密顿、吉布斯与亥维赛：箭头之战

1843 年 10 月 16 日，爱尔兰人威廉·罗恩·哈密顿和妻子沿着都柏林的皇家运河散步时，突然解决了一个折磨他十五年的问题。他从口袋里掏出小刀，把公式刻在了布鲁姆桥的一块石头上： $$i^2=j^2=k^2=ijk=-1.$$刻痕早已磨灭，但现在那里有一块纪念牌，每年 10 月 16 日，数学家们都会步行到这座桥。很少有哪个记号的诞生被记录得这样清楚。 会指方向的数 哈密顿的问题来自更早的一个发现。1797 年，挪威—丹麦的测量员卡斯帕·韦塞尔证明，复数可以读作平面上的方向。乘以 $-1$ 就是掉头（$180^\circ$）；乘以虚数单位——韦塞尔称之为 $\varepsilon$，今天我们叫它 $i$——就是转四分之一圈（$90^\circ$）。而两个方向的乘积，其角度是两个角度的和： $$i\cdot i=-1\quad\text{因为}\quad 90^\circ+90^\circ=180^\circ.$$这和纳皮尔的对数是同一个奇迹，只是换成了角度：乘法变成了加法。哈密顿想在三维空间里做同样的事。他多年来尝试由三部分组成的数 $a+bi+cj$，却始终无法让计算自洽。那天在桥上找到的办法是接受四个部分 $q=a+bi+cj+dk$，并且接受一件看似荒谬的事：乘法的顺序是有关系的。 $$ij=k,\qquad ji=-k.$$这和伽罗瓦的群表是同样的惊奇，只不过这次是数。哈密顿把他的造物叫作四元数（quaternion），来自拉丁文 quaternio，“四个一组”。 标量、向量、旋量 哈密顿很会起名字。在 1846 年的一篇文章中，他把四元数分成两部分，并分别命名： 代数上为实的部分，可以叫作标量部分，或简称四元数的标量。[……]代数上为虚的部分，在几何上由一条直线构成，一般来说它在空间中有确定的长度和确定的方向，可以叫作向量部分，或简称四元数的向量。 — 威廉·罗恩·哈密顿，《哲学杂志》（1846） 标量（scalar）来自 scala，梯子或带刻度的尺：一个标在刻度上的数。向量（vector）来自 vehere，运载：向量是把一个点“运到”另一个点的东西。后来，哈密顿把只旋转、不伸缩的四元数叫作旋量（versor，来自 vertere，转）。这三个词都流传了下来，即使四元数后来不再流行。 记号之战 哈密顿和他的苏格兰弟子彼得·格思里·泰特想用四元数改写整个物理学。19 世纪 60 年代正在统一电与磁的詹姆斯·克拉克·麦克斯韦，饶有兴趣地看着，却心存疑虑：要描述电场，三个部分 $bi+cj+dk$ 就够了，标量部分只会碍事。在 1865 年提出这一理论的论文中，麦克斯韦把电磁学方程按分量写出：二十个方程，二十个未知量。在 1873 年的《电磁通论》中，他用了一部分四元数记号，但并没有全盘采用。 两个人在没有商量的情况下，同时解决了这个问题。在美国，物理学家约西亚·威拉德·吉布斯在 1881 至 1884 年间自费为学生印了一本小册子《向量分析初步》。在英国，自学成才的电报工程师奥利弗·亥维赛在《电工》杂志上做了同样的事。两人都丢掉了四元数的标量部分，只保留向量，并创造了两种不同的乘积，各有各的符号： $$\begin{aligned}\vec a\cdot\vec b&\quad\text{点积：得到一个数；}\\ \vec a\times\vec b&\quad\text{叉积：得到一个向量。}\end{aligned}$$有了这种记号，麦克斯韦的二十个方程装进了四个： $$\begin{aligned} \nabla\cdot\vec E&=\frac{\rho}{\varepsilon_0}, & \nabla\times\vec E&=-\frac{\partial\vec B}{\partial t},\\ \nabla\cdot\vec B&=0, & \nabla\times\vec B&=\mu_0\vec J+\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\vec E}{\partial t}. \end{aligned}$$这也许是物理学中能动的记号最惊人的例子。内容还是麦克斯韦的，但现在电场与磁场之间的对称一目了然：两个方程带 $\nabla\cdot$（左边），两个带 $\nabla\times$（右边）。正是看着这种对称，二十世纪初的物理学家（包括爱因斯坦）开始提出那些通向相对论的问题。

October 10, 2026 阅读