Euler's Eyes
2026-10-27
四元数：桥上的公式
在证明复数就是实数对、复数乘法会旋转平面之后，哈密顿想在空间中做同样的事。他在寻找三元数 $a + bi + cj$，以及一种满足模的定律的乘法：乘积的大小应等于大小的乘积。他试了很多年，尤其是在 1843 年，以至于孩子们每天早上都问他会不会乘三元数了。
为什么三个不行
算术里藏着一个障碍。如果存在一种满足模的定律、系数为整数的三元数乘法规则，那么两个三平方和的乘积就总会是三平方和。但是
$$3 = 1^2 + 1^2 + 1^2, \qquad 5 = 2^2 + 1^2 + 0^2, \qquad 3 \times 5 = 15,$$而 $15$ 不是三个平方数之和（试试看：可用的平方数是 $0, 1, 4, 9$，任何三个的组合都凑不出 $15$）。用四个平方数，困难就消失了：$15 = 9 + 4 + 1 + 1$。而且从 1748 年起，人们就知道欧拉的四平方恒等式：两个四平方和的乘积总是四平方和。大自然似乎要求四个部分，而不是三个。
那次散步
1843 年 10 月 16 日是星期一，哈密顿和妻子沿着皇家运河从邓辛克步行去都柏林，去主持皇家爱尔兰学院的一次会议。二十二年后，他亲自向儿子讲述了当时的情景：
虽然她不时和我说话，但我心里一直有一股思想的暗流在涌动，它终于得出了一个结果，说我立刻感到了它的重要性也不为过。仿佛一条电路接通了，迸出了一个火花。[……] 我也无法抗拒那股冲动，尽管它也许并不怎么合乎哲学：在我们经过布鲁厄姆桥时，用小刀在桥的一块石头上刻下了带有符号 i、j、k 的基本公式。
— 威廉·罗恩·哈密顿，致儿子阿奇博尔德的信（1865）
这个公式是
$$i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1.$$
乘法表
一个四元数是 $q = a + bi + cj + dk$，含四个实数。所有乘积都可以从桥上的公式推出。把 $ijk = -1$ 的右边乘以 $k$：$ijk^2 = -k$，即 $-ij = -k$，于是 $ij = k$。同样可得：
$$ij = k, \quad jk = i, \quad ki = j, \qquad ji = -k, \quad kj = -i, \quad ik = -j.$$大胆之处就在这里：$ij = k$，但 $ji = -k$。**因数的顺序改变了乘积。**自古以来，人们知道的每一种数都满足 $ab = ba$。哈密顿是第一个有意识地构造出一种不满足这一点的有用代数的人，他付出这个代价，换来了一份回报：模的定律成立。对 $q = a + bi + cj + dk$，其大小为 $\lvert q \rvert = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 + d^2}$，并且
$$\lvert pq \rvert = \lvert p \rvert\,\lvert q \rvert.$$这恰恰就是欧拉的四平方恒等式，现在有了代数上的意义。
练习：顺序很重要
计算 $(1 + i)(1 + j)$ 和 $(1 + j)(1 + i)$。
$(1 + i)(1 + j) = 1 + j + i + ij = 1 + i + j + k$。$(1 + j)(1 + i) = 1 + i + j + ji = 1 + i + j - k$。两个乘积只在 $k$ 的符号上不同，但确实不同。两者的大小都是 $\sqrt{4} = 2 = \sqrt2 \cdot \sqrt2$，正如模的定律所要求的。
练习：推出 jk = i
从 $i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1$ 出发，证明 $jk = i$。
在 $ijk = -1$ 的左边乘以 $i$：$i^2 jk = -i$，即 $-jk = -i$，于是 $jk = i$。注意必须在正确的一边相乘：在非交换代数中，左乘和右乘是不同的运算。
来源： William Rowan Hamilton 致 Archibald Hamilton 的信（1865），载 R. P. Graves, Life of Sir William Rowan Hamilton，第 2 卷（1885）· William Rowan Hamilton, Lectures on Quaternions（1853）· John Baez, “The Octonions”, Bulletin of the AMS（2002）· 哈密顿传记，MacTutor。
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