在四元数 $q = a + bi + cj + dk$ 中，有两个性质不同的部分。数 $a$ 停留在实数直线上；而 $bi + cj + dk$ 这一部分指向空间中的某个方向。1846 年，哈密顿给它们起了名字：前者是标量（scalar），因为它可以在一把标尺上读出，从小到大；后者是向量（vector），来自拉丁语 vector，意思是“运送者”，因为它把一个点运送到另一个点。这两个词都流传了下来，今天连从没听说过四元数的人也在用。

两个乘积合二为一

用桥上的规则把两个纯向量 $u = u_1 i + u_2 j + u_3 k$ 和 $v = v_1 i + v_2 j + v_3 k$ 相乘。把九个乘积展开并合并同类项，结果是

$$uv = -(u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3) + (u_2 v_3 - u_3 v_2)\,i + (u_3 v_1 - u_1 v_3)\,j + (u_1 v_2 - u_2 v_1)\,k.$$

标量部分是点积 $u \cdot v$ 的相反数；向量部分是叉积 $u \times v$：

$$uv = -\,u \cdot v + u \times v.$$

每个学物理的学生都要学的两种乘积，一种衡量两个向量指向同一侧的程度，另一种给出与两者都垂直的方向，原来是一起诞生的，是四元数乘法的两半。哈密顿还引入了今天写作 $\nabla$ 的微分算子，梯度、散度和旋度都作为同一个符号的不同部分出现了。

四元数之战

哈密顿死后，苏格兰人彼得·格思里·泰特成为四元数的头号拥护者，并试图说服他的朋友詹姆斯·克拉克·麦克斯韦用四元数来写电磁学。麦克斯韦在 1873 年的《论著》中部分使用了这种记号，但并不热心。1880 年代，美国人约西亚·威拉德·吉布斯和英国人奥利弗·亥维赛做了哈密顿不愿做的事：他们把两种乘积分开，扔掉了完整的四元数，只保留向量、点积和叉积。随后，两种记号的支持者在《自然》杂志上展开了激烈的论战。吉布斯和亥维赛的向量在物理教科书中获胜；四元数则在一个世纪后，在计算机里回归。

四元数是哈密顿在他真正出色的工作完成之后才搞出来的；它们虽然精巧得令人赞叹，却给每一个以任何方式碰过它们的人带来了纯粹的祸害，包括克拉克·麦克斯韦。

— 开尔文勋爵，1892 年的一封信
练习：一个完整的乘积

把 $(2i + j)(i - k)$ 作为四元数相乘，并用点积和叉积验证。

$(2i + j)(i - k) = 2i^2 - 2ik + ji - jk = -2 + 2j - k - i$。按公式：$u \cdot v = 2 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 0 \cdot (-1) = 2$，$u \times v = (1 \cdot (-1) - 0 \cdot 0,\; 0 \cdot 1 - 2 \cdot (-1),\; 2 \cdot 0 - 1 \cdot 1) = (-1, 2, -1)$。所以 $uv = -2 - i + 2j - k$。结果一致。

练习：垂直的向量反交换

证明两个向量 $u$ 和 $v$ 垂直，当且仅当 $uv = -vu$。

由于 $u \times v = -\,v \times u$，$u \cdot v = v \cdot u$，有 $vu = -u \cdot v - u \times v$。于是 $uv = -vu$ 意味着 $-u \cdot v + u \times v = u \cdot v + u \times v$，即 $u \cdot v = 0$：两个向量垂直。这就是 $ij = -ji$ 的原因。

来源： William Rowan Hamilton, “On Quaternions”, Philosophical Magazine（1844–1850）· Michael J. Crowe, A History of Vector Analysis（1967）· J. Willard Gibbs, Elements of Vector Analysis（1881–1884）· Oliver Heaviside, Electromagnetic Theory，第 1 卷（1893）。

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