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ウィリアム・ローワン・ハミルトンの生涯

年表 18058 月 3 日から 4 日にかけての夜、事務弁護士の息子としてダブリンに生まれる。 1808聖職者で教師のおじジェームズのもと、トリムで暮らし始める。おじから語学を教わる。 1818アメリカの計算の天才少年ゼラ・コルバーンと対決する。この敗北が彼を数学へ導く。 1823ダブリンのトリニティ・カレッジに首席で入学する。 1827学生のまま、アイルランド王室天文官に任命される。湖水地方にワーズワースを訪ねる。 1832円錐屈折を予言し、まもなくハンフリー・ロイドがそれを観測する。 1833ヘレン・ベイリーと結婚する。複素数を数の対として示す。 1834動力学の一般的方法を発表する。 1835ナイトに叙され、Sir ウィリアムとなる。 1837王立アイルランド・アカデミーの会長となる。 184310 月 16 日、四元数を発見し、その公式を橋に刻む。 1853『四元数講義』を出版する。 1857イコシアン・ゲームを発明する。 1865アメリカ合衆国の米国科学アカデミーに選ばれた最初の外国人となる。9 月 2 日、ダンシンクで死去。 ◀ 前へ 旅をたどる 次へ ▶ 1805–1808 ダブリン1805 年 8 月 3 日から 4 日にかけての夜、ドミニク通りで事務弁護士の息子として生まれる。三歳でおじの家に預けられる。 1808–1823 トリム聖職者で教師のおじジェームズのもとで育ち、語学を教わる。十三歳のときには、ラテン語からペルシア語まで十あまりの言語を知っていたという。 1823–1827 トリニティ・カレッジダブリンで学び、古典と科学の両方で最高の賞をとる。学生のうちに光線系の理論を発表する。 1827 ライダル・マウント湖水地方にウィリアム・ワーズワースを訪ねる。二人は生涯の友となり、詩人は彼に、詩よりも科学に打ち込むよう勧める。 1827–1865 ダンシンク天文台21 歳でアイルランド王室天文官となる。ここで光学、力学、四元数を書く。1865 年 9 月 2 日、天文台で亡くなる。 1843 ブルーム橋10 月 16 日、妻とロイヤル運河沿いを歩いているときに四元数の規則を見つけ、橋の石に刻む。 地図を見るには JavaScript を有効にしてください。各地点は下の一覧にあります。 ダブリンからダンシンクへ。途中、湖水地方のワーズワースの家に立ち寄る。 地図：© OpenStreetMap 協力者

October 27, 2026 読んだ
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四元数：橋の上の公式

複素数が実数の対であり、その掛け算が平面を回すことを示したあと、ハミルトンは同じことを空間で行いたいと考えた。彼は三つ組 $a + bi + cj$ と、絶対値の法則を満たす掛け算を探していた。積の大きさは大きさの積でなければならない。何年も、とりわけ 1843 年には熱心に試み、子どもたちが毎朝、三つ組はもう掛けられるようになったかと尋ねるほどだった。 三つではなぜだめか 算術の中に障害が隠れている。もし絶対値の法則を満たし、係数が整数である三つ組の掛け算の規則があれば、三つの平方の和どうしの積は、いつも三つの平方の和になるはずだ。ところが $$3 = 1^2 + 1^2 + 1^2, \qquad 5 = 2^2 + 1^2 + 0^2, \qquad 3 \times 5 = 15$$であり、$15$ は三つの平方の和ではない（試してみよう。使える平方は $0, 1, 4, 9$ で、どの三つを組み合わせても $15$ にはならない）。四つの平方なら難しさは消える。$15 = 9 + 4 + 1 + 1$ である。しかも 1748 年以来、オイラーの四平方恒等式が知られていた。四つの平方の和どうしの積はいつも四つの平方の和になる、というものだ。自然は三つではなく四つの部分を求めているように見えた。 散歩 1843 年 10 月 16 日、月曜日、ハミルトンは王立アイルランド・アカデミーの会議の議長を務めるため、妻とともにロイヤル運河沿いをダンシンクからダブリンへ歩いていた。二十二年後、彼は自らその場面を息子に語っている。 妻はときどき話しかけてきたが、わたしの心の中では思考の底流が続いていて、それがついに一つの結果をもたらした。その重要さをすぐに感じたと言っても言いすぎではない。電気の回路が閉じたように思われ、火花が飛んだ。[……] そして、哲学的とは言えなかったかもしれないが、ブルーアム橋を通りかかったとき、記号 i、j、k を使った基本公式をナイフでその石に刻みたいという衝動を、わたしは抑えることができなかった。 — ウィリアム・ローワン・ハミルトン、息子アーチボルドへの手紙（1865） その公式は $$i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1$$である。

October 27, 2026 読んだ
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四元数で空間を回す

絶対値 1 の複素数は平面を回す。ハミルトンは自分の数が空間で同じことをすると期待した。実際にそうなるのだが、そのやり方は彼がはじめに想像したより微妙だった。 手順 空間の点 $(x, y, z)$ を純四元数 $v = xi + yj + zk$ として書く。単位ベクトル $u = u_1 i + u_2 j + u_3 k$ で与えられる軸のまわりに角 $\theta$ だけ回すには、 $$q = \cos\frac{\theta}{2} + \sin\frac{\theta}{2}\,(u_1 i + u_2 j + u_3 k)$$をとり、 $$v \;\longmapsto\; q\,v\,q^{-1}, \qquad q^{-1} = \cos\frac{\theta}{2} - \sin\frac{\theta}{2}\,(u_1 i + u_2 j + u_3 k)$$を計算する。結果はふたたび純四元数で、それが回された点である。軸と角を選んでみよう。 この対話型の図を使うには JavaScript を有効にしてください。議論の全体は本文にあります。 二つのことが目につく。一つ目は半分の角である。$q$ は「サンドイッチ」$q v q^{-1}$ の中に二度現れ、それぞれの側が回転の半分ずつを受けもつ。二つ目はそこから出てくる。$\theta = 360°$ で物体はもとの位置に戻るが、$q = \cos 180° = -1$ となる。四元数 $q$ と $-q$ は同じ回転を与えるのだ。四元数のほうも出発点に戻るには、二回転が必要になる。この性質は一世紀後、電子のスピンに再び現れる。

October 27, 2026 読んだ
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ベクトルとスカラー：ハミルトンのことば

四元数 $q = a + bi + cj + dk$ には、性質の異なる二つの部分がある。数 $a$ は実数の直線の上にとどまり、$bi + cj + dk$ の部分は空間のある方向を指す。1846 年、ハミルトンはそれらに名前をつけた。前者はスカラーである。小さいものから大きいものへと目盛り（スケール）の上で読みとれるからだ。後者はベクトルで、ラテン語の vector「運ぶもの」から来ている。ある点を別の点へ運ぶからである。二つのことばは定着し、今では四元数を聞いたこともない人々が使っている。 二つの積が一つに 二つの純ベクトル $u = u_1 i + u_2 j + u_3 k$ と $v = v_1 i + v_2 j + v_3 k$ を、橋の規則で掛けてみる。九つの積を展開して整理すると、 $$uv = -(u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3) + (u_2 v_3 - u_3 v_2)\,i + (u_3 v_1 - u_1 v_3)\,j + (u_1 v_2 - u_2 v_1)\,k$$となる。スカラー部分は内積 $u \cdot v$ にマイナスをつけたもの、ベクトル部分は外積 $u \times v$ である。

October 27, 2026 読んだ
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ケイリー＝ハミルトンの定理

スカラー部分 $a$ とベクトル部分 $v$ をもつどんな四元数 $q = a + v$ も、実数係数の二次方程式を満たす。$v^2 = -\lvert v \rvert^2$ なので（ベクトルを参照）、 $$q^2 = a^2 + 2av + v^2 = a^2 - \lvert v \rvert^2 + 2av,$$したがって $$q^2 - 2a\,q + \lvert q \rvert^2 = 0, \qquad \lvert q \rvert^2 = a^2 + \lvert v \rvert^2.$$複素数 $z$ が $z^2 - 2\operatorname{Re}(z)\,z + \lvert z \rvert^2 = 0$ の根であるのと同じように、四元数は二次の実多項式の根なのである。1853 年の『四元数講義』で、ハミルトンはさらに進み、四元数のある種の線形関数もそれ自身の多項式方程式を満たすことを示し、それを使ってその逆を計算した。 行列では 五年後の 1858 年、アーサー・ケイリーは行列の代数を創始した『行列の理論についての論文』を発表し、そこでこの結果を一般的に述べた。どんな正方行列 $A$ も、自分の固有多項式 $p(\lambda) = \det(\lambda I - A)$ をゼロにする。ケイリーは $2 \times 2$ の場合を確かめ、$3 \times 3$ の場合も検証したと書いたが、一般の場合を証明する手間はとらなかった。最初の完全な証明は 1878 年のフェルディナント・ゲオルク・フロベニウスによる。定理はケイリーとハミルトンの名をもつ。

October 27, 2026 読んだ
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ウィリアム・ローワン・ハミルトンの遺産

ハミルトンの原理は現代物理学の礎石となった。物理学者は、あらゆる物理現象がそれに従うことを期待しているのである。 — エルヴィン・シュレーディンガー（1943） ハミルトンは、四元数こそ自分の大きな仕事であり、未来の物理学のことばになると信じていた。細部では誤り、本質では正しかった。物理学はギブズとヘヴィサイドのベクトルを採用したが、ハミルトン自身はそれほど重要と思っていなかった力学が、その後のほとんどすべての土台になったのである。 物理学で 量子力学。シュレーディンガー方程式では、系のエネルギーは演算子、つまりハミルトニアン $\hat H$ である。原子のエネルギー準位を計算することは、そのハミルトニアンの固有値を求めることだ。 **統計力学とカオス。**各状態が一つの点であるハミルトンの相空間は、統計熱力学とカオス理論の舞台である。相空間の体積が保存されるというリウヴィルの定理は、ハミルトンの方程式から直接出てくる。 **光学。**特性関数は今も光学系の設計に使われ、円錐屈折は二十一世紀に入ってレーザーを使って再び研究されている。 数学と計算で **代数。**交換法則を捨てることで、ハミルトンは抽象代数への扉を開いた。行列、八元数、リー代数、クリフォード代数。問題が求める規則をもつ代数を発明してよい、という考えは、かなりの部分が彼のものである。 **グラフィックスと航法。**四元数は、ビデオゲームのキャラクター、映画のカメラ、ロボットの腕、宇宙望遠鏡、そしてあなたのポケットの携帯電話を回している。 **グラフ。**ハミルトン閉路は計算量理論の中心的な問題の一つである。 ダブリンで 四元数の発見百年を記念して、1943 年 11 月にアイルランドが発行した半ペニー切手。アイルランド郵政 · Wikimedia Commons · パブリックドメイン 1943 年、橋の百周年に、アイルランドはハミルトンの顔をあしらった切手を二種類発行し、かつて数学教師だった政府首班イーモン・デ・ヴァレラが記念行事を推し進めた。当時デ・ヴァレラが創設したダブリン高等研究所にいたシュレーディンガーは、ハミルトンの仕事について講演した。1958 年には、失われた刻字に代わる銘板がブルーム橋に取りつけられた。そして 1990 年以来、毎年 10 月 16 日に、数学者たちはダンシンク天文台から橋までのハミルトン・ウォークを行い、1843 年の道筋をたどっている。マレー・ゲルマンやスティーヴン・ワインバーグのようなノーベル賞物理学者や、数学者アンドリュー・ワイルズも歩いた。 C・グレイの素描にもとづく J・カークウッドのエッチングによるサー・ウィリアム・ローワン・ハミルトン。Wellcome Collection · Wikimedia Commons · CC BY 4.0 彼をどう語るか ハミルトンは燃えつきなかった神童である。21 歳ですでに独自の理論をもち、38 歳で散歩の途中に最大の発見をした。私生活は苦しく、酒を飲みすぎ、乱雑の中で働いた人でもあった。だが彼が残した教訓は一つの自由である。算術の規則は神聖なものではない。問題が新しい代数を求めるなら、矛盾がないかぎり、それを発明してよい。二十世紀の数学がその構造を築いたのは、この自由によってであった。 意味の変わったことば 「ベクトル」と「スカラー」のほかに、ハミルトンはテンソルということばもつくった。四元数の大きさ、それを「引きのばす」数を表すためである。1898 年、ドイツの物理学者ヴォルデマール・フォークトはこのことばを結晶の応力を表す量に転用し、その新しい意味でアインシュタインの一般相対性理論に入っていった。ハミルトンの三つのことばのうち、もとの意味を失ったのは「テンソル」だけである。 練習：四元数か行列か回転は $3 \times 3$ 行列としても、単位四元数としても保存できる。二つの回転を合成するのに、それぞれ何回の数の掛け算が必要か。 二つの $3 \times 3$ 行列の積では、9 個の成分のそれぞれが 3 つの積の和なので、$27$ 回の掛け算になる。二つの四元数の積では、4 つの部分のそれぞれが 4 つの積の和なので、$16$ 回である。しかも四元数は 9 個ではなく 4 個の数を保存すればよく、丸め誤差も、自分の大きさで割るだけで簡単に直せる。

October 27, 2026 読んだ
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ハミルトン、ギブズ、ヘヴィサイド：矢印の戦争

1843 年 10 月 16 日、アイルランドのウィリアム・ローワン・ハミルトンは、妻とダブリンのロイヤル運河ぞいを散歩しているとき、十五年も彼を苦しめていた問題を突然解きました。彼はポケットからナイフを取り出し、ブルーム橋の石に公式を刻みつけました。 $$i^2=j^2=k^2=ijk=-1.$$刻んだ跡はとうに消えましたが、今ではその場所に記念の銘板があり、毎年 10 月 16 日には数学者たちが橋まで歩きます。誕生がこれほどはっきり記録されている記法はめったにありません。 方向を指す数 ハミルトンの問題は、それ以前のある発見から来ていました。1797 年、ノルウェー・デンマークの測量技師カスパー・ヴェッセルは、複素数を平面上の方向として読めることを示しました。$-1$ をかけるのは回れ右（$180^\circ$）、ヴェッセルが $\varepsilon$ と呼び今は $i$ と呼ぶ虚数単位をかけるのは四分の一回転（$90^\circ$）です。そして二つの方向の積の角度は、角度の和になります。 $$i\cdot i=-1\quad\text{なぜなら}\quad 90^\circ+90^\circ=180^\circ.$$これは、角度で起きるネイピアの対数と同じ奇跡です。かけ算がたし算になるのです。ハミルトンは同じことを三次元の空間でやりたいと考えました。何年も三つの部分からなる数 $a+bi+cj$ で試みましたが、計算がどうしてもつじつまが合いませんでした。あの日、橋の上で見つけた答えは、四つの部分 $q=a+bi+cj+dk$ を受け入れ、さらに一見ばかげたこと、つまりかけ算の順番が意味をもつことを受け入れることでした。 $$ij=k,\qquad ji=-k.$$ガロアの表と同じ驚きが、今度は数で起きたのです。ハミルトンは自分の生みだしたものを四元数（quaternion）と呼びました。ラテン語の quaternio、「四つ組」から来ています。 スカラー、ベクトル、ヴァーサー ハミルトンは名前をつけるのがうまい人でした。1846 年の論文で、彼は四元数を二つの部分に分け、それぞれに名前をつけました。 代数的に実である部分は、スカラー部分、あるいは単に四元数のスカラーと呼ぶことができる。［……］代数的に虚である部分は、幾何学的には一本の直線で作られ、一般に空間の中で決まった長さと決まった方向をもつので、ベクトル部分、あるいは単に四元数のベクトルと呼ぶことができる。 — ウィリアム・ローワン・ハミルトン『フィロソフィカル・マガジン』（1846） スカラー（scalar）は scala（はしご、目盛りのついた定規）から来ていて、目盛りの上に記される数です。ベクトル（vector）は vehere（運ぶ）から来ていて、ある点を別の点へ「運ぶもの」です。のちにハミルトンは、のびちぢみせずに回転だけする四元数をヴァーサー（versor、vertere「回す」から）と呼びました。三つの言葉はどれも、四元数がすたれたあとも生き残りました。 記法の戦争 ハミルトンとスコットランド人の弟子ピーター・ガスリー・テイトは、物理学全体を四元数で書き直そうとしました。1860 年代に電気と磁気を統一しつつあったジェームズ・クラーク・マクスウェルは、興味をもって見ていましたが、疑いもいだいていました。電場を記述するには三つの部分 $bi+cj+dk$ で十分で、スカラー部分はじゃまになるだけだったのです。理論を発表した 1865 年の論文で、マクスウェルは電磁気の方程式を成分ごとに書きました。二十の未知数についての二十の方程式です。1873 年の『電気磁気論』では、四元数の記法を一部使いましたが、全面的には採用しませんでした。 二人の人物が、示し合わせることなく、同時にこの問題を解決しました。アメリカでは、物理学者ジョサイア・ウィラード・ギブズが 1881 年から 1884 年にかけて、学生のために自費で小冊子『ベクトル解析要論』を印刷しました。イギリスでは、すべてを独学で身につけた電信技師オリヴァー・ヘヴィサイドが、雑誌『エレクトリシャン』の誌面で同じことをしました。二人とも四元数のスカラー部分を捨ててベクトルだけを残し、それぞれ独自の記号をもつ二種類の積をつくりました。 $$\begin{aligned}\vec a\cdot\vec b&\quad\text{内積：数になる；}\\ \vec a\times\vec b&\quad\text{外積：ベクトルになる。}\end{aligned}$$この記法で、マクスウェルの二十の方程式は四つに収まりました。 $$\begin{aligned} \nabla\cdot\vec E&=\frac{\rho}{\varepsilon_0}, & \nabla\times\vec E&=-\frac{\partial\vec B}{\partial t},\\ \nabla\cdot\vec B&=0, & \nabla\times\vec B&=\mu_0\vec J+\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\vec E}{\partial t}. \end{aligned}$$おそらく物理学における生きた記法のいちばん劇的な例でしょう。内容はマクスウェルのものと同じですが、今では電場と磁場の対称性が一目でわかります。$\nabla\cdot$ をふくむ二つの式（左）と、$\nabla\times$ をふくむ二つの式（右）です。この対称性を見つめるところから、アインシュタインをふくむ 20 世紀はじめの物理学者たちは、相対性理論へつながる問いを立てはじめたのです。

October 10, 2026 読んだ