Hero Image
乘积法则：一次计算中的两种变化

如果你知道 $u$ 如何变化、$v$ 如何变化，那么乘积 $uv$ 如何变化？最自然的猜测是把变化相乘：$d(uv)=du\cdot dv$。看起来多么对称、多么优雅…… 莱布尼茨也做过同样的猜测。 莱布尼茨的检验与失误 在 1675 年 11 月 11 日那份开始使用字母 $d$ 的手稿中，莱布尼茨问自己：$d(xy)$ 是否等于 $dx\,dy$，$d\!\left(\frac xy\right)$ 是否等于 $\dfrac{dx}{dy}$？他没有轻信优雅，而是用一个例子检验了一下，发现并不成立。几天后，他找到了正确的法则。 这是重要的一课：即使是微积分的发明者也会犯错，而拯救他们的是验算。 你自己也试试。取 $u=x$、$v=x$，乘积是 $x^2$，导数是 $2x$。但导数之积是 $1\cdot1=1$。对不上。 变大的矩形 把 $u$ 和 $v$ 想象成一个矩形的两条边，$uv$ 是它的面积。现在把两条边都稍微增加一点：$u$ 变成 $u+du$，$v$ 变成 $v+dv$。 新面积是 $(u+du)(v+dv)$。它增加了多少？ $$d(uv)=(u+du)(v+dv)-uv=v\,du+u\,dv+du\,dv.$$从几何上看，矩形多出了三块：一条面积为 $v\,du$ 的长条，另一条面积为 $u\,dv$ 的长条，以及角上一个面积为 $du\,dv$ 的小方块。 小方块是两个无穷小量的乘积，因此比长条无穷地小。莱布尼茨把它略去，得到 $$d(uv)=u\,dv+v\,du.$$而猜测的 $du\,dv$，恰恰是无关紧要的那一块。 用极限的写法 今天我们写 $p(x)=f(x)\,g(x)$，并把增量除以 $h\ne0$： $$\frac{\Delta p}{h}=g\,\frac{\Delta f}{h}+f\,\frac{\Delta g}{h}+\frac{\Delta f}{h}\,\Delta g.$$当 $h\to0$ 时，前两项分别趋于 $gf'$ 和 $fg'$。最后一项趋于零，因为 $\dfrac{\Delta f}{h}$ 趋于一个固定的数 $f'$，而 $\Delta g$ 趋于零。因此

October 6, 2026 阅读
Hero Image
流数：如何度量瞬时变化

一辆汽车从一座城市出发，一小时后到达 90 公里外的另一座城市。平均速度是 90 公里/小时。但每一瞬间，速度表上的读数都不一样。它到底在测量什么？速度是距离除以时间，可在一个瞬间里，既没有走过距离，也没有经过时间。零除以零给不出答案。 这正是牛顿在 1665 年想要回答的问题。他的答案就是流数法。 流动的量 牛顿把每个变化的量想象成随时间流动的东西，就像河里的水。流动的量，他称为流量（fluent）；它流动的速率，称为流数（fluxion）。为了标记流数，他在字母上方加一个小点。在 1704 年出版的《曲线求积论》中，他写道： 设 $x$、$y$、$z$ 为流量，它们的流数分别记作 $\dot x$、$\dot y$、$\dot z$。 — 艾萨克·牛顿，《曲线求积论》（1704） 如果 $x$ 是位置，$\dot x$ 就是速度。换句话说，速度是从空间中“流”出来的。两个点 $\ddot x$ 表示流数的流数：加速度。 牛顿的算法 为了弄清 $y=x^2$ 如何变化，牛顿让一个极小的时间间隔流过，他把它记作 $o$。在这段时间里，$x$ 变成 $x+\dot x\,o$，$y$ 变成 $y+\dot y\,o$。由于关系 $y=x^2$ 仍然成立： $$y+\dot y\,o=(x+\dot x\,o)^2=x^2+2x\dot x\,o+\dot x^2o^2.$$两边减去 $y=x^2$，再除以 $o$： $$\dot y=2x\dot x+\dot x^2\,o.$$接下来是大胆的一步：既然 $o$ 是“无穷小”，牛顿就把最后一项丢掉了。剩下 $\dot y=2x\dot x$，也就是说，$y$ 的变化速度是 $x$ 的 $2x$ 倍。 消逝量的幽灵 先除以 $o$，再假装 $o$ 等于零，这一步让很多人不安。1734 年，爱尔兰主教乔治·贝克莱出版了《分析学家》，对微积分发起攻击。他问：这些时而存在、时而消失的量，难道不是“消逝量的幽灵”吗？这一批评是中肯的。答案直到 19 世纪才出现，那就是柯西和魏尔斯特拉斯的极限定义。 同样的计算，今天的写法 借助极限，我们可以不靠“幽灵”重新论证。在 $x$ 与 $x+h$ 之间（$h\neq0$），割线的斜率是

October 6, 2026 阅读
Hero Image
极大值、极小值与拐点

《分析讲义》第二册讲微分学，它的主要应用之一就是每个学生都要学的：求极大值和极小值。阿涅西用几十个关于曲线和几何问题的例子讲授这种方法，步骤总是一样：写出所求的量，求微分，令微分等于零，再加以检验。 最高点 在极大值点或极小值点，曲线在那一瞬间是水平的：切线的斜率为零。由于切线的斜率就是导数，极大值和极小值的候选点就是 $y' = 0$ 的点。 对 $a = 1$ 的阿涅西曲线，$y = \frac{1}{1 + x^2} = (1 + x^2)^{-1}$。由链式法则， $$y' = -(1 + x^2)^{-2} \cdot 2x = -\frac{2x}{(1 + x^2)^2}.$$导数只在 $x = 0$ 处为零。$x < 0$ 时导数为正（曲线上升），$x > 0$ 时为负（曲线下降）。所以 $x = 0$ 是极大值点，$y = 1$。 曲线在哪里改变弯曲方向 在顶部附近，箕舌线向下弯，像一个盖子。远离顶部、接近横轴的地方，它向上弯，像一只碗。弯曲方向改变的点叫作拐点。阿涅西和当时的数学家一样，用二阶微分来找拐点：在 $y''$ 改变符号的地方，弯曲方向改变。 用商的求导法则对 $y'$ 求导： $$\begin{aligned} y'' &= \frac{-2(1 + x^2)^2 + 2x \cdot 2(1 + x^2) \cdot 2x}{(1 + x^2)^4} \\ &= \frac{-2(1 + x^2) + 8x^2}{(1 + x^2)^3} = \frac{6x^2 - 2}{(1 + x^2)^3}. \end{aligned}$$分母总是正的，所以符号由 $6x^2 - 2$ 决定，它在下面的点处为零：

October 29, 2026 阅读
Hero Image
导数与积分

《分析教程》出版两年后，柯西发表了《皇家综合理工学院无穷小计算教程概要》（1823）。他用四十节简短的课，以极限概念重建了微分学和积分学。这在本质上就是今天微积分教科书依然遵循的提纲。 导数 对拉格朗日来说，$f$ 的导数是 $f(x + i)$ 的幂级数中 $i$ 的系数。柯西把它定义为一个极限： $$f'(x) = \lim_{i \to 0} \frac{f(x + i) - f(x)}{i}.$$对 $f(x) = x^2$：$\frac{(x + i)^2 - x^2}{i} = \frac{2xi + i^2}{i} = 2x + i$，它趋于 $2x$。不需要假定 $i$ 是“无穷小”，也不需要扔掉任何东西：对 $i \neq 0$ 算出商，再看它趋向何处。 积分 在那以前，积分主要是求原函数：积分是导数的逆运算。柯西把顺序颠倒过来，直接定义积分。设 $f$ 在 $[x_0, X]$ 上连续，用点 $x_0 < x_1 < \cdots < x_n = X$ 分割区间，作和 $$S = (x_1 - x_0) f(x_0) + (x_2 - x_1) f(x_1) + \cdots + (X - x_{n-1}) f(x_{n-1}).$$柯西证明，当所有小段都变小时，$S$ 趋近于一个与分割方式无关的极限。这个极限就是积分 $\int_{x_0}^{X} f(x)\,dx$。三十年后，黎曼把这个定义推广到不连续函数，允许在每一小段中任意取点。

October 31, 2026 阅读
Hero Image
dy/dx 是分数吗？

微积分老师常常同时说两句话：“$\frac{dy}{dx}$ 不是分数”和“可以像分数那样把 $du$ 约掉”。两句都对，而这正是莱布尼茨记号的力量和危险所在。它看起来像分数，而且在大多数计算中表现得像分数。知道这种相似在哪里成立、在哪里失效，是阅读数学最精细的能力之一。 在哪里成立 链式法则。 如果 $y$ 依赖于 $u$，$u$ 依赖于 $x$： $$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}.$$两个 $du$ 像分数那样“约掉”。对 $y=(x^2+1)^{10}$，取 $u=x^2+1$：$\frac{dy}{du}=10u^9$，$\frac{du}{dx}=2x$，所以 $\frac{dy}{dx}=20x(x^2+1)^9$。 反函数。 如果 $y=e^x$，那么 $x=\ln y$，且 $$\frac{dx}{dy}=\frac{1}{dy/dx}=\frac1{e^x}=\frac1y.$$把分数倒过来，就得到 $\ln y$ 的导数。在别的记号里需要一个定理的规则，在这里把纸翻过来就出来了。 分离变量。 对 $\frac{dy}{dx}=ky$，把 $dx$“移到另一边”： $$\frac{dy}{y}=k\,dx\quad\Longrightarrow\quad\ln y=kx+C\quad\Longrightarrow\quad y=Ce^{kx}.$$严格的数学家对“移到另一边”皱眉头，但结果是对的，而且有一个定理保证，在这类计算中结果总是对的。 在哪里失效 二阶导数。 写法 $\frac{d^2y}{dx^2}$ 似乎是在说“$d^2y$ 除以 $dx^2$”，于是很容易得出 $\frac{d^2y}{dx^2}=\left(\frac{dy}{dx}\right)^2$。对 $y=x^2$：$\frac{d^2y}{dx^2}=2$，而 $\left(\frac{dy}{dx}\right)^2=4x^2$。两者毫不相干。更糟的是，二阶导数的链式法则不是二阶导数的乘积： $$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d^2y}{du^2}\left(\frac{du}{dx}\right)^2+\frac{dy}{du}\cdot\frac{d^2u}{dx^2},$$多出的那一项，没有任何“约分”预告过它。 偏导数。 对理想气体，$pV=nRT$。三个量中的每一个都可以写成另外两个的函数，偏导数为 $$\frac{\partial p}{\partial V}=-\frac{p}{V},\qquad\frac{\partial V}{\partial T}=\frac{nR}{p},\qquad\frac{\partial T}{\partial p}=\frac{V}{nR}.$$如果它们是分数，乘积会约成 $1$。但是 $$\frac{\partial p}{\partial V}\cdot\frac{\partial V}{\partial T}\cdot\frac{\partial T}{\partial p}=-\frac pV\cdot\frac{nR}p\cdot\frac{V}{nR}=-1.$$负号来自记号所隐藏的东西：每个 $\partial$ 固定的是不同的变量，而这个变量没有写出来。第一个因子里的 $\partial p$ 和第三个因子里的 $\partial p$ 不是同一个对象。物理学家知道这一点，在热力学中把固定的变量写成下标：$\left(\frac{\partial p}{\partial V}\right)_T$。

October 18, 2026 阅读
Hero Image
从 Δ 到 d：缩小的差

一辆汽车下午 2 点经过 120 公里处，3 点经过 210 公里处。它的平均速度是 $$\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{210-120}{15-14}=90\ \text{km/h}.$$希腊字母 $\Delta$，大写的德尔塔，是希腊语的 $D$，代表差。$\Delta s$ 不是“德尔塔乘以 $s$”：它是一个整体符号，意思是“$s$ 变了多少”。这是一个用真实数字做的计算，用尺子和钟表就能完成。 但速度表显示的不是一小时内的平均速度，而是此刻的速度。“此刻”没有长度：$\Delta t=0$，而除以零没有意义。微积分用一次极限过程化解了这个僵局，而它的记号在这个过程中始终保持形状不变。 缩小的分数 取 $y=x^2$ 和一点 $x=a$。向右移动 $\Delta x$，$y$ 的变化为 $$\Delta y=(a+\Delta x)^2-a^2=2a\,\Delta x+(\Delta x)^2,$$平均变化率为 $$\frac{\Delta y}{\Delta x}=2a+\Delta x.$$现在让 $\Delta x$ 缩小。变化率趋近于 $2a$，余下的 $\Delta x$ 消失了。剩下的东西得到了莱布尼茨给的名字： $$\frac{dy}{dx}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=2a.$$注意记号做了什么。分数 $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ 变成了分数 $\frac{dy}{dx}$：形状保留了，只是希腊字母换成了拉丁字母。$d$ 就是缩小了的 $\Delta$。这种视觉上的连续性是一大优势：会处理有限差分数的人，已经对怎样处理导数有了直觉。它也是错误的根源：导数不是两个数的分数，下一篇会说明这种相似在哪里失效。 请启用 JavaScript 以使用这个交互图形。完整的推理见正文。 Δy 不是 dy 在现代写法中，$\Delta y$ 和 $dy$ 是不同的东西，值得把它们分开。对一个步长 $\Delta x$：

October 18, 2026 阅读
Hero Image
导数的四种写法

如果 $y=x^3$，导数就是 $3x^2$。这一点大家写法都一样。不同的是给这个导数起的名字。在物理书里，你会读到 $\dot y$；在微积分书里，是 $\frac{dy}{dx}$ 或 $f'(x)$；在微分方程的书里，是 $Dy$。这是同一个对象的四个符号，没有哪一个战胜了其他几个。 四种写法 记号 作者 时间 读法 $\dot y$ 艾萨克·牛顿 17 世纪 60 年代，1704 年发表 $y$ 的流数，即 $y$ 随时间流动的速度 $\dfrac{dy}{dx}$ 戈特弗里德·莱布尼茨 1675 年，1684 年发表 两个无穷小差之比 $f'(x)$ 约瑟夫-路易·拉格朗日 1797 年 $f$ 的导函数在 $x$ 处的值 $Df$ 路易·阿博加斯特 1800 年 算子 $D$ 作用于函数 $f$ 第1章在莱布尼茨与微积分那一篇里，已经讲过牛顿的点和莱布尼茨的 $d$ 之争。这里关心的是另一个问题：每种写法显示了什么，又遗漏了什么。 每种写法显示了什么 牛顿的点显示变量是时间。不写 $dt$，因为在牛顿看来，一切量都随时间流动。这是一种经济的写法：$\ddot x$ 是加速度，第二定律就成了 $m\ddot x=F$。但当变量不是时间时，它说不出是对什么求导，所以它只在物理学中存活下来。 莱布尼茨的 $\frac{dy}{dx}$ 显示了两个变量：谁在变（$y$），相对于谁变（$x$）。而且它有分数的形状，让计算自己往前走，比如链式法则。它是四种写法中最能动的一种，也是最会误导人的一种；第3篇会说明在什么时候。 拉格朗日的 $f'(x)$ 显示导数是一个新函数，是 $f$ 的“孩子”。它不谈变化，不谈无穷小，也不谈时间：只谈一个函数生出另一个函数。这正是拉格朗日的用意。 阿博加斯特的 $D$ 显示求导是一种运算，就像乘法。写 $Df$ 会引诱人对 $D$ 做对数做的事：平方、相加、因式分解。第4篇会说明这能走多远。

October 18, 2026 阅读