一辆汽车下午 2 点经过 120 公里处，3 点经过 210 公里处。它的平均速度是

$$\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{210-120}{15-14}=90\ \text{km/h}.$$

希腊字母 $\Delta$，大写的德尔塔，是希腊语的 $D$，代表差。$\Delta s$ 不是“德尔塔乘以 $s$”：它是一个整体符号，意思是“$s$ 变了多少”。这是一个用真实数字做的计算，用尺子和钟表就能完成。

但速度表显示的不是一小时内的平均速度，而是此刻的速度。“此刻”没有长度：$\Delta t=0$，而除以零没有意义。微积分用一次极限过程化解了这个僵局，而它的记号在这个过程中始终保持形状不变。

缩小的分数

取 $y=x^2$ 和一点 $x=a$。向右移动 $\Delta x$，$y$ 的变化为

$$\Delta y=(a+\Delta x)^2-a^2=2a\,\Delta x+(\Delta x)^2,$$

平均变化率为

$$\frac{\Delta y}{\Delta x}=2a+\Delta x.$$

现在让 $\Delta x$ 缩小。变化率趋近于 $2a$，余下的 $\Delta x$ 消失了。剩下的东西得到了莱布尼茨给的名字：

$$\frac{dy}{dx}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=2a.$$

注意记号做了什么。分数 $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ 变成了分数 $\frac{dy}{dx}$：形状保留了，只是希腊字母换成了拉丁字母。$d$ 就是缩小了的 $\Delta$。这种视觉上的连续性是一大优势：会处理有限差分数的人，已经对怎样处理导数有了直觉。它也是错误的根源：导数不是两个数的分数，下一篇会说明这种相似在哪里失效。

Δy 不是 dy

在现代写法中，$\Delta y$ 和 $dy$ 是不同的东西，值得把它们分开。对一个步长 $\Delta x$：

  • $\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)$ 是函数真实的变化；
  • $dy=f'(x)\,\Delta x$ 是沿切线的变化，即线性近似。

对 $y=x^2$，在 $x=3$ 处取 $\Delta x=0.1$：$\Delta y=3.1^2-3^2=0.61$，而 $dy=6\cdot0.1=0.6$。两者之差 $0.01=(\Delta x)^2$，与 $\Delta x$ 相比很小，而且随步长缩小而越来越小。这就是在近似计算中可以用 $dy$ 代替 $\Delta y$ 的理由。

这种近似是科学中最常用的工具之一。$\sqrt{4.1}$ 是多少？取 $f(x)=\sqrt x$，$f'(x)=\frac1{2\sqrt x}$，在 $x=4$ 处：

$$\sqrt{4.1}\approx\sqrt4+\frac{1}{2\sqrt4}\cdot0.1=2+0.025=2.025.$$

真实值是 $2.02485\ldots$，误差出现在小数点后第五位。

练习：y = x³ 的 Δ

对 $y=x^3$，在 $a=1$ 处取 $\Delta x=0.1$，计算 $\frac{\Delta y}{\Delta x}$，再求极限。

$\Delta y=1.1^3-1=1.331-1=0.331$，所以 $\frac{\Delta y}{\Delta x}=3.31$。一般地，$\frac{(1+\Delta x)^3-1}{\Delta x}=3+3\Delta x+(\Delta x)^2$，它趋于 $3$。$x^3$ 在 $x=1$ 处的导数是 $3\cdot1^2=3$。

练习：用 dy 代替 Δy

用微分估计 $1.02^5$。

取 $f(x)=x^5$，$f'(x)=5x^4$，在 $x=1$ 处取 $\Delta x=0.02$：$dy=5\cdot0.02=0.1$，所以 $1.02^5\approx1.1$。准确值是 $1.10408\ldots$ 误差来自含 $(\Delta x)^2$ 及更高次幂的项，微分把它们忽略了。

本章目录 · ← 导数的四种写法 · dy/dx 是分数吗？ →