导数的四种写法

如果 $y=x^3$，导数就是 $3x^2$。这一点大家写法都一样。不同的是给这个导数起的名字。在物理书里，你会读到 $\dot y$；在微积分书里，是 $\frac{dy}{dx}$ 或 $f'(x)$；在微分方程的书里，是 $Dy$。这是同一个对象的四个符号，没有哪一个战胜了其他几个。

四种写法

第1章在莱布尼茨与微积分那一篇里，已经讲过牛顿的点和莱布尼茨的 $d$ 之争。这里关心的是另一个问题：每种写法显示了什么，又遗漏了什么。

牛顿的点显示变量是时间。不写 $dt$，因为在牛顿看来，一切量都随时间流动。这是一种经济的写法：$\ddot x$ 是加速度，第二定律就成了 $m\ddot x=F$。但当变量不是时间时，它说不出是对什么求导，所以它只在物理学中存活下来。

莱布尼茨的 $\frac{dy}{dx}$ 显示了两个变量：谁在变（$y$），相对于谁变（$x$）。而且它有分数的形状，让计算自己往前走，比如链式法则。它是四种写法中最能动的一种，也是最会误导人的一种；第3篇会说明在什么时候。

拉格朗日的 $f'(x)$ 显示导数是一个新函数，是 $f$ 的“孩子”。它不谈变化，不谈无穷小，也不谈时间：只谈一个函数生出另一个函数。这正是拉格朗日的用意。

阿博加斯特的 $D$ 显示求导是一种运算，就像乘法。写 $Df$ 会引诱人对 $D$ 做对数做的事：平方、相加、因式分解。第4篇会说明这能走多远。

十八世纪末，微积分用起来很好，解释起来却很糟。没有人说得清 $dx$ 是什么：它不能是零，因为要除以它；它也不能不是零，因为最后要把它略去。拉格朗日尝试了一条激进的出路。他假设每个函数都能写成幂级数：

$$f(x+h)=f(x)+p\,h+q\,h^2+\cdots$$

$h$ 的系数 $p$ 是 $x$ 的一个新函数，他称之为导函数，写作 $f'(x)$。我们今天用的“导数”一词就由此而来。对于 $f(x)=x^3$：

$$(x+h)^3=x^3+3x^2\,h+3x\,h^2+h^3,$$

$h$ 的系数是 $3x^2$。没有无穷小，没有极限：只有代数。记号 $f'$ 承载着这种哲学：那一撇的意思是“……的导数”，而不是“小量之比”。

拉格朗日的计划失败了，因为有些函数不能写成幂级数；到了十九世纪，柯西的极限成了基础。但记号比创造它的哲学活得更久。

今天四种写法并存，每个领域都选了最适合自己的那一种：

一个好的数学读者会在不知不觉中从一种写法换到另一种。初学者却得学会这四种说的是同一件事，而这并不显然：$\dot y$ 的样子里没有任何东西让人想起 $f'(x)$。

练习：同一个计算的四种写法

用四种记号写出 $y=x^3$ 的二阶导数；对牛顿的记号，假设 $x$ 是时间。

牛顿：$\ddot y=6x$。莱布尼茨：$\frac{d^2y}{dx^2}=6x$。拉格朗日：$f''(x)=6x$。阿博加斯特：$D^2y=6x$。对象始终相同，都是函数 $6x$；变的是每种写法所暗示的到达它的路径。

练习：拉格朗日的导数

用拉格朗日的方法求 $f(x)=x^2+5x$ 的导数。

$f(x+h)=(x+h)^2+5(x+h)=x^2+5x+(2x+5)\,h+h^2$。$h$ 的系数是 $2x+5$，所以 $f'(x)=2x+5$。注意，这里既不需要除以 $h$，也不需要让 $h$ 趋于零。