《分析讲义》第二册讲微分学，它的主要应用之一就是每个学生都要学的：求极大值和极小值。阿涅西用几十个关于曲线和几何问题的例子讲授这种方法，步骤总是一样：写出所求的量，求微分，令微分等于零，再加以检验。

最高点

在极大值点或极小值点，曲线在那一瞬间是水平的：切线的斜率为零。由于切线的斜率就是导数，极大值和极小值的候选点就是 $y' = 0$ 的点。

对 $a = 1$ 的阿涅西曲线，$y = \frac{1}{1 + x^2} = (1 + x^2)^{-1}$。由链式法则，

$$y' = -(1 + x^2)^{-2} \cdot 2x = -\frac{2x}{(1 + x^2)^2}.$$

导数只在 $x = 0$ 处为零。$x < 0$ 时导数为正（曲线上升），$x > 0$ 时为负（曲线下降）。所以 $x = 0$ 是极大值点，$y = 1$。

曲线在哪里改变弯曲方向

在顶部附近，箕舌线向下弯，像一个盖子。远离顶部、接近横轴的地方，它向上弯，像一只碗。弯曲方向改变的点叫作拐点。阿涅西和当时的数学家一样，用二阶微分来找拐点：在 $y''$ 改变符号的地方，弯曲方向改变。

用商的求导法则对 $y'$ 求导：

$$\begin{aligned} y'' &= \frac{-2(1 + x^2)^2 + 2x \cdot 2(1 + x^2) \cdot 2x}{(1 + x^2)^4} \\ &= \frac{-2(1 + x^2) + 8x^2}{(1 + x^2)^3} = \frac{6x^2 - 2}{(1 + x^2)^3}. \end{aligned}$$

分母总是正的，所以符号由 $6x^2 - 2$ 决定，它在下面的点处为零：

$$x = \pm\frac{1}{\sqrt{3}} \approx \pm 0.577, \qquad y = \frac{1}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{3}{4}.$$

在两点之间，$y'' < 0$，曲线向下凹；在两点之外，$y'' > 0$，曲线向上凹。对任意直径 $a$，拐点都在 $x = \pm\frac{a}{\sqrt{3}}$，高度总是最大高度的四分之三。

移动这个点，观察切线：

注意，拐点恰好是切线最陡的地方。这不是巧合：斜率 $y'$ 在那里取到最大值（或最小值），因为 $y'$ 的导数，即 $y''$，在那里为零。

练习：面积最大的矩形

一个矩形下面两个顶点在 $x$ 轴上，上面两个顶点在曲线 $y = \frac{1}{1 + x^2}$ 上，且关于 $y$ 轴对称。它的面积最大是多少？

设上面两个顶点为 $(\pm x, y)$，面积为 $A(x) = 2x \cdot \frac{1}{1 + x^2} = \frac{2x}{1 + x^2}$。求导：$A'(x) = \frac{2(1 + x^2) - 2x \cdot 2x}{(1 + x^2)^2} = \frac{2(1 - x^2)}{(1 + x^2)^2}$，在 $x = 1$ 处为零。最大面积为 $A(1) = \frac{2}{2} = 1$：底为 2、高为 $\frac{1}{2}$ 的矩形。

练习：最陡的切线

曲线 $y = \frac{1}{1 + x^2}$ 在拐点 $x = \frac{1}{\sqrt{3}}$ 处的斜率是多少？

$y' = -\frac{2x}{(1 + x^2)^2} = -\frac{2/\sqrt{3}}{(4/3)^2} = -\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{9}{16} = -\frac{9}{8\sqrt{3}} = -\frac{3\sqrt{3}}{8} \approx -0.650$。曲线上没有别的切线这么陡。

来源： Maria Gaetana Agnesi，Instituzioni analitiche ad uso della gioventù italiana，第二卷（1749），第二册 · John Colson（译），Analytical Institutions，John Hellins 编（1801） · Judith V. Grabiner，The Origins of Cauchy’s Rigorous Calculus（1981）。

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