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导数与积分

《分析教程》出版两年后，柯西发表了《皇家综合理工学院无穷小计算教程概要》（1823）。他用四十节简短的课，以极限概念重建了微分学和积分学。这在本质上就是今天微积分教科书依然遵循的提纲。 导数 对拉格朗日来说，$f$ 的导数是 $f(x + i)$ 的幂级数中 $i$ 的系数。柯西把它定义为一个极限： $$f'(x) = \lim_{i \to 0} \frac{f(x + i) - f(x)}{i}.$$对 $f(x) = x^2$：$\frac{(x + i)^2 - x^2}{i} = \frac{2xi + i^2}{i} = 2x + i$，它趋于 $2x$。不需要假定 $i$ 是“无穷小”，也不需要扔掉任何东西：对 $i \neq 0$ 算出商，再看它趋向何处。 积分 在那以前，积分主要是求原函数：积分是导数的逆运算。柯西把顺序颠倒过来，直接定义积分。设 $f$ 在 $[x_0, X]$ 上连续，用点 $x_0 < x_1 < \cdots < x_n = X$ 分割区间，作和 $$S = (x_1 - x_0) f(x_0) + (x_2 - x_1) f(x_1) + \cdots + (X - x_{n-1}) f(x_{n-1}).$$柯西证明，当所有小段都变小时，$S$ 趋近于一个与分割方式无关的极限。这个极限就是积分 $\int_{x_0}^{X} f(x)\,dx$。三十年后，黎曼把这个定义推广到不连续函数，允许在每一小段中任意取点。

October 31, 2026 阅读
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《方法》与重写本

阿基米德的书里有完美的证明，却不说他是怎样得到这些结果的。许多世纪以来，数学家们一直怀疑他有一种秘密的方法。他们猜对了，而这种方法是在最意想不到的地方找到的。 致埃拉托色尼的信 有些东西我最初是用力学的方法弄清楚的，之后还必须用几何来证明，因为用这种方法所做的研究并不构成证明。但是，先用这种方法对问题有了一些了解，再去找证明，当然比毫无了解时容易得多。 — 阿基米德，《方法》，致埃拉托色尼的信 我们称之为《关于力学定理的方法》的这篇著作，是写给地理学家昔兰尼的埃拉托色尼的一封信。在信中，阿基米德透露了他的做法：把图形想象成由无穷多个极薄的薄片组成，并在杠杆上称量它们，把它们与一个已知图形的薄片逐片比较。 称量球 最漂亮的例子是球。把半径为 $r$ 的球，以及底面半径为 $2r$、高为 $2r$ 的圆锥和圆柱，沿杠杆的臂放置，使它们的轴与臂重合。在距支点 $x$ 处，用一个垂直于臂的平面把它们都切开。用一点几何知识可知，球的截面面积为 $\pi\left(2rx - x^2\right)$，圆锥的为 $\pi x^2$，圆柱的为 $\pi (2r)^2 = 4\pi r^2$。于是 $$\text{球的截面} + \text{圆锥的截面} = \pi \cdot 2rx.$$阿基米德把球和圆锥的截面移到杠杆另一端、距支点 $2r$ 处，而把圆柱的截面留在原处，距离为 $x$。两边力矩相等： $$2r \cdot \pi \cdot 2rx = x \cdot 4\pi r^2.$$由于每一片都是如此，整个球和圆锥挂在距离 $2r$ 处，就与重心在距离 $r$ 处的整个圆柱平衡。根据杠杆定律： $$2r\,(V_{\text{球}} + V_{\text{圆锥}}) = r\,V_{\text{圆柱}} \quad\Longrightarrow\quad V_{\text{球}} = \frac{1}{2}\cdot 8\pi r^3 - \frac{8}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi r^3.$$这正是他后来在球与圆柱中严格证明的体积。把无穷多个薄片加起来，这是积分学的核心思想，比牛顿和莱布尼茨早了十八个世纪。 祈祷书 大约公元 950 年，君士坦丁堡的一位抄写员把阿基米德的几部著作抄在羊皮纸上。1229 年，一位修士需要羊皮纸来做一本祈祷书：他拆开这部抄本，刮掉墨迹，把每页从中间裁开，转过来，在上面写下祷文。这样重复使用的抄本叫作重写本。

October 29, 2026 阅读
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约翰·伯努利的遗产

约翰·伯努利没有写出一部伟大的书，不像哥哥写了《猜度术》，也不像牛顿写了《原理》。他最有名的书是以别人的名义出版的。他留下的是一种工作方式：把每个物理或几何问题变成一个方程，再用莱布尼茨的微积分去解。他还留下了学生。 莱布尼茨的斗士 在牛顿与莱布尼茨谁发明了微积分的争论中，约翰是莱布尼茨一方最好斗的战士。1713 年初，牛顿担任会长的皇家学会发表了一份报告，把优先权判给牛顿。莱布尼茨用一份匿名传单《飞页》（Charta volans）回应，其中引用了"一位杰出数学家"的判断：那就是约翰。此后几年，约翰不断用难题挑战英国数学家，他认为这些题用牛顿的方法是解不出来的。莱布尼茨于 1716 年去世，约翰又独自吵了好多年。这场争论让英国数学与欧洲大陆的数学隔绝了将近一个世纪。 “函数"这个词 数学意义上的 函数 一词，诞生于 1690 年代莱布尼茨与约翰之间的通信。1718 年，约翰发表了第一个定义： 我把一个变量的函数称为由这个变量和常数以任何方式组成的量。 — 约翰·伯努利，《巴黎科学院论文集》（1718） 他用希腊字母 $\varphi$ 表示 $x$ 的函数，有时写作 $\varphi x$，不加括号。是他的学生欧拉在 1734 年开始写成 $f(x)$。本站旧的函数课程中有这些记号的年表： 年份 作者 记号 1694 约翰·伯努利 用一个字母，例如 $n$，表示依赖于 $x$ 的量 1698 约翰·伯努利 用 $X$ 或 $\xi$ 表示 $x$ 的函数 1718 约翰·伯努利 $\varphi x$ 1734 莱昂哈德·欧拉 $f\left(\frac xa+c\right)$ 一个学派 约翰教出的重要数学家，比他那个世纪的任何其他老师都多。其中有： 洛必达侯爵，他把约翰的课写成了第一本微积分教科书。 儿子尼古劳斯二世、丹尼尔和约翰二世。 丹尼尔创立了流体动力学，提出了以伯努利命名的原理；约翰二世继承了父亲的教席。 莱昂哈德·欧拉，那个世纪最伟大的数学家，约翰每逢星期六指导他。 皮埃尔-路易·莫罗·德·莫佩尔蒂，提出了最小作用量原理；以及 亚历克西·克莱罗，研究了地球的形状。 通过欧拉，这条师承一直延续到在柏林接替欧拉的拉格朗日，又从那里延续到十九、二十世纪数学的很大一部分。 留下了什么 微积分。 洛必达法则、对数求导法、指数演算，以及函数的定义。 曲线。 悬链线和最速降线，以及运动与光之间的类比。 变分法。 最速降线挑战和与雅各布关于等周问题的争论，为欧拉和拉格朗日开辟了道路。 力学。 虚功原理，静力学和《分析力学》的基础。 教学。 一代数学家，欧拉居首。 全集 1742 年，75 岁的约翰在洛桑和日内瓦出版了四卷本的《全集》（Opera omnia）。编辑工作由加布里埃尔·克莱姆主持，就是线性方程组克莱姆法则的那位。《水力学》就收在其中，带着约翰选定的 1732 年日期，好让它看起来早于儿子的《流体动力学》。

October 13, 2026 阅读
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伯努利数：七分钟算出一千个幂的和

借助这张表，我用了不到半刻钟（七分半钟）就求出：前一千个数的十次幂之和等于 91 409 924 241 424 243 424 241 924 242 500。 — 雅各布·伯努利，《猜度术》（1713），第二部分 传说少年 高斯 把第一个数和最后一个数配对，几秒钟就算出了 1 到 100 的和：$1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}2$。平方和与立方和也有公式，从阿基米德和阿拉伯数学家起就已为人所知： $$\begin{aligned}1^2+2^2+\cdots+n^2&=\frac{n(n+1)(2n+1)}6,\\ 1^3+2^3+\cdots+n^3&=\left(\frac{n(n+1)}2\right)^2.\end{aligned}$$那么四次、五次、十次幂呢？十七世纪，好几位数学家一个一个地推导这些公式，写满了一页又一页。法国人伊斯梅尔·布里奥在 1682 年出版了一部厚书，费尽力气也只推到六次幂。雅各布·伯努利找到了一条能给出 所有 公式的规则。 那张表 在《猜度术》的第二部分，雅各布把这些公式一个接一个地写下来，仔细端详： $$\begin{aligned}\sum_{k=1}^n k&=\tfrac12n^2+\tfrac12n\\ \sum_{k=1}^n k^2&=\tfrac13n^3+\tfrac12n^2+\tfrac16n\\ \sum_{k=1}^n k^3&=\tfrac14n^4+\tfrac12n^3+\tfrac14n^2\\ \sum_{k=1}^n k^4&=\tfrac15n^5+\tfrac12n^4+\tfrac13n^3-\tfrac1{30}n\\ \sum_{k=1}^n k^5&=\tfrac16n^6+\tfrac12n^5+\tfrac5{12}n^4-\tfrac1{12}n^2\end{aligned}$$这里有规律。$m$ 次幂之和总是 $m+1$ 次多项式。第一个系数是 $\frac1{m+1}$，与积分 $\int_0^n x^m\,dx=\frac{n^{m+1}}{m+1}$ 一样。第二个系数总是 $\frac12$。后面的系数看起来像 二项式 $(n+1)^{m+1}$ 的系数，只是分别乘上了某些固定的数。 神秘的数 雅各布意识到，只需要一列数，今天记作 $B_0,B_1,B_2,\dots$，称为 伯努利数，就能一次写出所有公式： $$\boxed{\sum_{k=1}^n k^m=\frac1{m+1}\sum_{j=0}^{m}\binom{m+1}{j}B_j\,n^{m+1-j}}$$怎样求出 $B_j$？有个简单的诀窍：公式必须对 $n=1$ 成立，此时和只是 $1^m=1$。令 $n=1$，$n$ 的所有幂都变成 1，剩下 $$\sum_{j=0}^{m}\binom{m+1}{j}B_j=m+1.$$从 $B_0=1$ 开始，每个 $m$ 值给出下一个数： $m=1$：$1+2B_1=2$，所以 $B_1=\frac12$。 $m=2$：$1+3\cdot\frac12+3B_2=3$，所以 $B_2=\frac16$。 $m=3$：$1+4\cdot\frac12+6\cdot\frac16+4B_3=4$，所以 $B_3=0$。 $m=4$：$1+5\cdot\frac12+10\cdot\frac16+0+5B_4=5$，所以 $B_4=-\frac1{30}$。 继续下去，$B_6=\frac1{42}$，$B_8=-\frac1{30}$，$B_{10}=\frac5{66}$，而下标为大于 1 的奇数的都等于零。这些数没有明显的规律：$B_{12}=-\frac{691}{2730}$，此后增长得非常快。

October 11, 2026 阅读
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历史图片 全部来自维基共享资源（Wikimedia Commons）。我们使用共享资源提供的缩略图，未作编辑。 约翰·伯努利像，荷兰国家博物馆藏版画：原始页面 · CC0。 纪尧姆·德·洛必达像：原始页面 · 公有领域。 《无穷小分析》扉页，巴黎，1696 年：原始页面 · 公有领域。 丹尼尔·伯努利像，Johann Jakob Haid 据 Johann Rudolf Huber 原作所刻版画：原始页面 · 公有领域。 链子与拱，乔瓦尼·波莱尼的图，Memorie istoriche della gran cupola del Tempio Vaticano，1748 年：原始页面 · 公有领域。 本站绘图 封面以及同一对点之间摆线与直线的示意图，都是本站原创插图，并为网站的每种语言制作了相应版本。示意图按比例绘制：两条坐标轴使用相同单位。遗产一文中函数记号的表格，是根据本站旧函数课程中的一张表重新整理的。 记录 文件 data/johann_bernoulli_imagens.json 记录了每张下载图片的来源、许可、核实日期和 SHA-256 哈希值。各主题的历史资料来源列在每篇文章末尾。 约翰·伯努利的全部主题 · ← 约翰·伯努利的遗产

October 13, 2026 阅读
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雅各布·伯努利的遗产

雅各布·伯努利只活了五十岁，生前发表的东西不多，几乎都是《学者学报》上的短文。即便如此，很少有数学家像他一样，留下这么多我们至今天天在用的词语、符号和思想：积分、伯努利试验、二项分布、伯努利数、大数定律、随机。 “积分"这个词 莱布尼茨把导数的逆运算称为 calculus summatorius，即求和的演算，并用 $\int$ 来写它，这是 summa（和）的首字母 S 拉长后的样子。1690 年 5 月，雅各布在解决等时曲线问题时写道，两个表达式有"相等的积分”。这是 积分（integral）一词第一次出现在印刷的数学文本里。约翰采用了这个术语；1696 年，莱布尼茨同意把他的"求和演算"改称伯努利兄弟的 积分学。符号沿用莱布尼茨的，名称则来自雅各布。 年份 作者 记号或名称 出处 1659 彼得罗·门戈利 omnia $x$ Geometriae speciosae elementa 1675 莱布尼茨 $\int x$ 1675 年 10 月 29 日的手稿 1690 雅各布·伯努利 “integral” 《学者学报》 1696 莱布尼茨与约翰·伯努利 calculus integralis 通信 1822 傅里叶 $\int_a^b f(x)\,dx$ 《热的解析理论》 悬挂的链子 在 1690 年的同一篇文章里，雅各布问：两端悬挂的链子是什么形状？伽利略曾以为是抛物线。1691 年，约翰、莱布尼茨和惠更斯发表了正确答案，即 悬链线，今天用双曲余弦写作 $y=a\cosh\frac xa$。雅各布在这场比赛中输给了弟弟，但问题是他提出的。悬链线 的故事在约翰的学习路线里。 棣莫弗与正态曲线 黄金定理指出频率会接近概率，但雅各布对所需观察次数的估计过于夸大。1733 年，流亡伦敦的法国人亚伯拉罕·棣莫弗为 $n$ 很大时的二项式各项寻找更好的近似，发现了钟形曲线 $$y=\frac1{\sqrt{2\pi}}\,e^{-x^2/2}.$$这是 正态曲线 的首次出现，后来拉普拉斯和高斯把它放到了统计学的中心。有了它，雅各布的罐子只需大约 6 500 次抽取，而不是他算出的 25 550 次。

October 11, 2026 阅读
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历史图片 全部来自维基共享资源（Wikimedia Commons）。我们使用共享资源提供的缩略图，未作编辑。 雅各布·伯努利像，1687 年由他的弟弟尼克劳斯·伯努利所绘：原始页面 · 公有领域。 《猜度术》扉页，巴塞尔，1713 年：原始页面 · 公有领域。 雅各布·伯努利的墓碑，位于巴塞尔大教堂回廊，Wladyslaw Sojka 摄：原始页面 · 自由艺术许可。 鹦鹉螺壳剖面，Florian Elias Rieser 摄：原始页面 · CC BY-SA 4.0。 本站绘图 封面、两种螺线的示意图，以及模拟抛硬币中正面比例的图表，都是本站原创插图，并为网站的每种语言制作了相应版本。遗产一文中积分记号的表格，是根据本站旧微积分课程中的一张表重新整理的。 记录 文件 data/bernoulli_imagens.json 记录了每张下载图片的来源、许可、核实日期和 SHA-256 哈希值。各主题的历史资料来源列在每篇文章末尾。 雅各布·伯努利的全部主题 · ← 雅各布·伯努利的遗产

October 11, 2026 阅读
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莱布尼茨的遗产

微积分之争 莱布尼茨在 1684 年和 1686 年发表了微积分。牛顿早在 1665–1666 年就得到了同样的思想，却把一切都留在手稿里。十五年间，没有人争什么。 1699 年，牛顿的朋友、瑞士数学家尼古拉·法蒂奥·德迪利耶在一本书中暗示莱布尼茨借鉴了牛顿。1708 年，苏格兰人约翰·基尔更进一步，指控莱布尼茨剽窃。理由是：1676 年莱布尼茨访问伦敦时，见过牛顿《分析》的一份抄本。 身为皇家学会会员的莱布尼茨请求学会进行公正调查。1712 年，一个委员会认定牛顿是第一发明人。莱布尼茨从未被请去陈述自己的理由，而那份报告是由学会会长牛顿本人秘密写成的。 莱布尼茨以一本匿名小册子回应，并试图把争论变成一场数学挑战。他于 1716 年去世，问题悬而未决。据说牛顿听到他的死讯时说，自己“伤透了莱布尼茨的心”。 今天历史学家的结论很清楚：两人是各自独立发明微积分的。莱布尼茨的手稿一步一步地记录了他得出这些思想的过程，那是一条不同于牛顿的道路。牛顿先得到，莱布尼茨先发表，而且记号更好。 在牛顿的遗产一篇中，可以看到从牛顿一方讲述的同一个故事。 胜出的记号 这场争执有一个意外的赢家：记号。欧洲大陆的数学家，如伯努利家族、欧拉和拉格朗日，使用莱布尼茨的 $dx$ 和 $\int$，在 18 世纪把微积分推向了很远。在英国，出于对牛顿的忠诚，人们坚守小点记号，英国数学因此落后。1812 年，剑桥学生创立了分析学会，正是为了采用莱布尼茨的记号，他们戏称这是在推崇“纯粹的 d 主义”，反对大学里的“点时代”。 莱布尼茨留给数学的有： 符号 $dx$、$\dfrac{dy}{dx}$ 和 $\int$； 数学意义上的函数和坐标这两个词； 用点“$\cdot$”表示乘法、用冒号“:”表示除法； 相似符号 $\sim$ 和全等符号 $\cong$（与今天相近的形式）。 数学之外 莱布尼茨也是历史上伟大的哲学家之一，著有《单子论》和《神义论》。在物理学中，他与笛卡儿的追随者争论如何度量运动物体的“力”，他的“活力”（$mv^2$）是动能概念的前身。在计算领域，二进制和用计算来推理的梦想预示了直到 20 世纪才实现的思想。 控制论的创始人诺伯特·维纳称莱布尼茨为这一领域的“守护神”。在德国，最重要的科学研究奖项就叫戈特弗里德·威廉·莱布尼茨奖。 要点回顾 莱布尼茨生于 1646 年，卒于 1716 年，除了是数学家，还是法学家、外交官、图书馆馆长和哲学家。 他成年后才在巴黎跟随惠更斯认真学习数学。 他在 1675 年创造了符号 $d$ 和 $\int$，并于 1684 年和 1686 年发表了微积分。 链式法则 $\dfrac{dz}{dx}=\dfrac{dz}{dy}\cdot\dfrac{dy}{dx}$ 借助记号看起来就像约分。 乘积的导数是 $u\,dv+v\,du$，而不是 $du\,dv$。 $\int$ 和 $d$ 是互逆运算：把差加起来就得到总量。 他系统整理了二进制算术，并于 1703 年发表。 他用阶梯轮造出了一台会做乘法的机器。 他发现了 $\dfrac\pi4=1-\dfrac13+\dfrac15-\cdots$，马德哈瓦和格雷戈里此前已知道。 牛顿和莱布尼茨各自独立发明了微积分。 资料来源： 生平与著作，MacTutor · 戈特弗里德·威廉·莱布尼茨图书馆藏莱布尼茨文献。

October 7, 2026 阅读
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牛顿的遗产

牛顿是有史以来最伟大的天才，也是最幸运的：宇宙只有一个，而发现它的机会也只有一次。 — 约瑟夫-路易·拉格朗日，据同时代人记述 微积分之争 牛顿在 1665–1666 年创立了流数法，但没有发表。莱布尼茨在 1675 年独立地得到了微积分，并于 1684 年发表。最初几年里，没有人争执。1676 年，两人甚至通过亨利·奥尔登堡友好地通信，牛顿还把自己的想法藏在一个字谜里。 大约 1700 年，气氛开始恶化。牛顿的追随者暗示莱布尼茨抄袭了他在伦敦见过的手稿。莱布尼茨向皇家学会申诉，请求公正调查。皇家学会任命了一个委员会，并于 1712 年发表报告，裁定牛顿胜诉。 当时很少有人知道：皇家学会会长正是牛顿本人，报告也是他亲手写的。之后，他还匿名发表了一篇赞扬这份报告的书评。 今天的历史学家一致认为，两人是各自独立发明微积分的。牛顿先得到，莱布尼茨先发表，并创造了最终胜出的记号。这场争执代价高昂：出于民族自尊，英国数学家一百多年里坚守牛顿的小点记号，而欧洲大陆则借助莱布尼茨的 $dx$，在伯努利家族和欧拉手中突飞猛进。直到 1812 年，一群剑桥学生成立了分析学会，才把莱布尼茨的记号重新带回英国。 在莱布尼茨专题中可以看到这个故事的另一面。 牛顿力学的边界 两百多年里，牛顿定律似乎处处成立。20 世纪初，两大理论揭示了它的界限： 相对论。 在接近光速时，时间和空间不再像牛顿所设想的那样是绝对的。在相对论中，运动时钟测得的时间间隔 $t'$，对于静止的观察者对应更长的时间间隔： $$t=\frac{t'}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}.$$当速度 $v$ 远小于光速 $c$ 时，根号几乎等于 1，我们回到了牛顿的世界：$\displaystyle\lim_{v\to0}t=t'$。而当 $v\to c$ 时，差别无限增大。 量子力学。 对于原子和粒子，明确的运动轨迹不再有意义。 这并不意味着牛顿在日常生活中是错的。对于桥梁、汽车、飞机和火箭，他的力学精确到至今仍是首选工具。相对论没有抹去牛顿，而是指明了他适用的范围。 纪念 “他的才智超越了全人类” 剑桥三一学院的礼拜堂里有一尊牛顿手持棱镜的大理石雕像，由路易-弗朗索瓦·鲁比利亚克于 1755 年创作。底座上刻着罗马诗人卢克莱修的一句话：Qui genus humanum ingenio superavit，“他的才智超越了全人类”。曾在那里求学的诗人华兹华斯形容这尊雕像是“一颗心灵的大理石标志，它永远独自航行在思想的奇异海洋之中”。 牛顿安葬在威斯敏斯特教堂，与历代君王为邻。他的墓碑上刻着手持棱镜、反射望远镜和新铸钱币的小天使，还有一个标出 1680 年彗星轨迹的天球。 要点回顾 按当时英国的历法，牛顿生于 1642 年；按我们的历法，生于 1643 年。 22 岁时，因瘟疫隔离在家，他创立了二项式级数、流数法和颜色理论。 二项式 $(1+x)^\alpha$ 对任意指数成立，只要 $|x|<1$。 流数 $\dot x$ 度量变化率；面积是它的逆运算。 牛顿法沿着切线逼近方程的根：$x_{n+1}=x_n-f(x_n)/f'(x_n)$。 《原理》（1687）包含三大运动定律和万有引力定律。 月球检验表明地球引力随距离的平方减弱。 棱镜分开的是白光中本来就有的颜色，而不是制造颜色。 牛顿和莱布尼茨各自独立发明了微积分。 资料来源： 手稿导读，牛顿项目 · MacTutor 传记。

October 6, 2026 阅读
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参考文献与图片来源

延伸阅读 Cajori, Florian. A History of Mathematical Notations. 2 卷。Chicago: Open Court, 1928–1929。牛顿、莱布尼茨、拉格朗日和阿博加斯特的记号，$\int$ 和傅里叶的上下限，沃利斯的 $\infty$。 Lagrange, Joseph-Louis. Théorie des fonctions analytiques. Paris: Imprimerie de la République, 1797。 Arbogast, Louis F. A. Du calcul des dérivations. Strasbourg: Levrault, 1800。 Wallis, John. De sectionibus conicis. Oxford, 1655。以及 Arithmetica infinitorum. Oxford, 1656。 Boole, George. On a general method in analysis. Philosophical Transactions of the Royal Society, 134, 1844, 第 225–282 页。 Heaviside, Oliver. Electromagnetic Theory. 3 卷。London: The Electrician, 1893–1912。 Child, J. M. The Early Mathematical Manuscripts of Leibniz. Chicago: Open Court, 1920。1675 年 10 月的手稿，有“omn.”和第一个 $\int$。 Robinson, Abraham. Non-standard Analysis. Amsterdam: North-Holland, 1966。 Tall, David; Vinner, Shlomo. Concept image and concept definition in mathematics with particular reference to limits and continuity. Educational Studies in Mathematics, 12, 1981, 第 151–169 页。 Thompson, Silvanus P. Calculus Made Easy. London: Macmillan, 1910。这本书把 $dx$ 当作“$x$ 的一小点”来讲授微积分。 Earliest Uses of Symbols of Calculus，Jeff Miller。 图片来源 图片 来源 许可 拉格朗日《解析函数论》（1797）扉页 Wikimedia Commons 公有领域 奥利弗·亥维赛，作者不详的肖像 Wikimedia Commons 公有领域 符号 ∞ 的最早用例，沃利斯《论圆锥曲线》（1655） Wikimedia Commons 公有领域 约翰·沃利斯，依据戈弗雷·内勒的画像 Wikimedia Commons 公有领域 交互图形（变成切线的割线和黎曼和）是为本书制作的，在本站的四种语言中都能使用。下载图片的记录及每个文件的哈希值见 data/semiotica_imagens.json。

October 19, 2026 阅读
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如何阅读微积分：指南与术语表

本章逐个阅读了微积分的符号。下面的指南汇集了有助于把它们放在一起读的问题。 关于微积分的五个问题 谁在变？相对于谁变？ 在 $\frac{dy}{dx}$ 中，两个字母都写出来了。在 $f'$ 中，变量是隐含的；在 $\dot x$ 中，变量是时间。如果不清楚，就把它写出来。 这是有限差还是极限？ $\Delta$ 和 $\Sigma$ 是用数字做的计算；$d$ 和 $\int$ 是计算无止境地缩小后剩下的东西。形状相似，意义不同。 这里可以约分吗？ 只有一个变量、一阶导数时，$\frac{dy}{dx}$ 表现得像分数。遇到二阶导数或偏导数，先核实再约分。 哪个字母是哑字母？ 在积分中，$d$ 后面的字母是约束的；在极限中，箭头上的字母也是。它们都不能出现在外面。 这个 $\infty$ 是方向还是数量？ 在 $x\to\infty$ 和 $\sum^\infty$ 中，它是方向，与它有关的计算需要取极限。只有康托尔的 $\aleph$ 才是数量。 对一个方程的完整解读 $$\frac{d}{dx}\int_0^{x}e^{-t^2}\,dt=e^{-x^2}.$$ 积分 $\int_0^xe^{-t^2}\,dt$ 是钟形曲线下从 $0$ 到 $x$ 的面积。它是 $x$ 的函数：每个 $x$ 对应一个面积。 $t$ 是一个哑字母。把它换成 $s$ 什么也不变。换成 $x$ 就错了，因为 $x$ 已经出现在上限里。 $\frac{d}{dx}$ 是一个算子：它问的是，当 $x$ 增大时，这块面积增长得多快。 $=$ 断言一个恒等式，对每个 $x$ 都成立。它是基本定理的第一部分。 值得注意的细节： 积分 $\int_0^xe^{-t^2}\,dt$ 不能用初等函数写成公式。尽管如此，它的导数一行就能写出来。记号让我们能谈论一个自己写不出来的函数。 术语表 差（$\Delta$）。 一个量的有限变化：$\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)$。 微分（$dy$）。 沿切线的变化：$dy=f'(x)\,dx$。步长小时，它近似于 $\Delta y$。 导数。 当 $\Delta x\to0$ 时 $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ 的极限。写作 $\frac{dy}{dx}$、$f'(x)$、$\dot y$ 或 $Dy$。 算子。 把一个函数变成另一个函数的规则，例如求导的 $D$。它可以相加、相乘，小心的话还可以因式分解。 特征方程。 在常系数线性微分方程中，把 $D$ 换成 $r$ 所得到的多项式。 黎曼和。 逼近积分的矩形面积之和 $\sum f(x_i)\,\Delta x$。 定积分。 黎曼和的极限：$\int_a^b f(x)\,dx$，一个数。 原函数（不定积分）。 满足 $F'=f$ 的函数 $F$。相差一个常数而确定：$\int f(x)\,dx=F(x)+C$。 微积分基本定理。 求导和积分是互逆的运算：$\frac{d}{dx}\int_a^xf=f(x)$，$\int_a^bF'=F(b)-F(a)$。 不定式。 像 $\infty-\infty$ 或 $\frac00$ 这样的表达式，其值取决于过程，而不只是形式。 级数。 有无穷多项的和。当部分和接近一个数时，级数收敛，那个数就叫级数的和。 条件收敛。 收敛、但重新排列各项后和会改变的级数。 练习：用一用指南读 $\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h}=\cos x$。 变的是 $h$，它被极限约束；$x$ 是自由的。这个分数是有限差除以步长，即 $\frac{\Delta y}{\Delta x}$，极限把它变成导数。$=$ 是一个恒等式，对每个 $x$ 都成立。用拉格朗日的记号，它就是 $\sin'=\cos$；用阿博加斯特的记号，是 $D\sin=\cos$。

October 19, 2026 阅读
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永无止境的和：级数的等号

写下 $$1+\frac12+\frac14+\frac18+\cdots=2.$$它看起来就像 $3+4=7$ 那样的计算：左边是加数，右边是结果。但从来没有人把所有这些项都加起来，以后也不会有。这里的等号做的工作，与第4章列出的都不一样。它断言的是部分和 $$1,\quad1.5,\quad1.75,\quad1.875,\quad\ldots$$能任意地接近 $2$。用符号写： $$\sum_{n=0}^{\infty}\frac1{2^n}=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=0}^{N}\frac1{2^n}=2.$$$\Sigma$ 上方的 $\infty$，就是上一篇中作为方向的那个 $\infty$：它不是最后一项，而是“继续下去”的指令。 0.999… = 1 最让学生不安的等式是 $$0.999\ldots=1.$$许多人认为 $0.999\ldots$“非常接近 $1$，但永远到不了”。这种反对有符号学上的根源：省略号似乎描述一个正在进行的过程，而过程是不会结束的。但 $0.999\ldots$ 不是一个过程，它是这个过程的极限的名字： $$0.999\ldots=\frac9{10}+\frac9{100}+\frac9{1000}+\cdots=\frac{9/10}{1-1/10}=1.$$研究者戴维·托尔和什洛莫·温纳在 1981 年一项后来成为经典的研究中，把这称为概念意象（学生看到符号时所想象的东西）与概念定义之间的冲突。意象是“某个越来越近的东西”；定义是“一切都越来越接近的那个数”。 会骗人的和 当部分和不接近任何东西时，带 $=$ 的写法依然不变，危险就在这里。 格兰迪级数。 1703 年，意大利神父圭多·格兰迪研究了 $$1-1+1-1+1-\cdots$$一种方式分组，$(1-1)+(1-1)+\cdots=0$。另一种方式，$1-(1-1)-(1-1)-\cdots=1$。格兰迪得出结论说和是 $\frac12$，并把它看作世界从无中被创造的象征。部分和 $1,0,1,0,\ldots$ 不接近任何东西：这个级数在极限意义下没有和。 欧拉的 $-1$。 几何级数的公式 $1+x+x^2+\cdots=\frac1{1-x}$ 在 $|x|<1$ 时成立。欧拉把它用在 $x=2$ 上，写下 $$1+2+4+8+\cdots=\frac1{1-2}=-1.$$一串正数之和竟是负数。写法毫无异议地接受了这次代入；直到十九世纪的数学家要求每一个带省略号的 $=$ 都附有收敛的证明。 顺序很重要 在有限和中，加数的顺序无关紧要：$3+4=4+3$。在无穷和中，顺序可能很重要。交错调和级数 $$1-\frac12+\frac13-\frac14+\frac15-\cdots=\ln2\approx0.693$$是收敛的。现在把同样的项重新排列，每个正项后面接两个负项： $$1-\frac12-\frac14+\frac13-\frac16-\frac18+\frac15-\frac1{10}-\frac1{12}+\cdots$$三个一组，每组是 $\frac1{2k-1}-\frac1{2(2k-1)}-\frac1{4k}=\frac12\left(\frac1{2k-1}-\frac1{2k}\right)$，整个和变成原来的一半：$\frac12\ln2$。伯恩哈德·黎曼证明，对这样的级数，适当的重排可以得到你想要的任何值。符号 $\Sigma$ 不显示各项的顺序，而在这里，顺序就是一切。 阿基里斯与乌龟 2500 年前埃利亚的芝诺提出的悖论，是一个伪装起来的级数。阿基里斯跑得比乌龟快十倍，乌龟先出发 100 米。当阿基里斯跑到乌龟原来的位置时，乌龟又前进了 10 米；当他跑到那里，乌龟又前进了 1 米；如此下去。芝诺的结论是阿基里斯永远追不上乌龟。级数 $100+10+1+0.1+\cdots=111.1\ldots$ 表明，他在跑了 $111\frac19$ 米后追上了它。悖论来自把无穷多个阶段误当成无穷长的时间。 练习：0.333… 与 0.999…把 $0.333\ldots$ 写成几何级数并求和。再用这个结果得出 $0.999\ldots$

October 18, 2026 阅读