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约翰·伯努利的一生

年表 16677 月 27 日生于巴塞尔，是尼古劳斯·伯努利的第十个孩子。 1682被送到纳沙泰尔学做生意，却毫无天分。 1683进入巴塞尔大学，学医，同时跟哥哥雅各布学数学。 1691解决悬链线问题。先去日内瓦，后到巴黎。 1692开始给洛必达侯爵讲授微积分。 1694获得医学博士学位。与洛必达签约，并与多罗特娅·法尔克纳结婚。 1695成为荷兰格罗宁根的数学教授。 1696发起最速降线挑战。洛必达用他的课写成的书出版。 1705回到巴塞尔。雅各布去世，约翰继承了他的教席。 1717在给瓦里尼翁的信中提出虚功原理。 1720开始指导年轻的莱昂哈德·欧拉。 1734与儿子丹尼尔分享巴黎科学院奖，随后把他赶出家门。 17481 月 1 日在巴塞尔去世，终年 80 岁。 ◀ 上一站 沿路线走一遍 下一站 ▶ 1667–1682 巴塞尔出生，是尼古劳斯·伯努利的第十个孩子，父亲想让他经商。 1682 纳沙泰尔被送去学做生意，却毫无天分。 1683–1691 巴塞尔学习医学，并和哥哥雅各布一起钻研莱布尼茨的微积分。解决了悬链线问题。 1691 日内瓦前往巴黎途中经过日内瓦。 1691–1692 巴黎结识马勒伯朗士的圈子，开始给洛必达侯爵讲授微积分，也在乌克的城堡里上课。 1695–1705 格罗宁根在荷兰任数学教授。1696 年提出最速降线问题的挑战。 1705–1748 巴塞尔回到家乡，接任雅各布的教席，指导年轻的欧拉，并与儿子丹尼尔反目。1748 年去世，享年 80 岁。 请启用 JavaScript 以查看地图。各站列在下方。 约翰·伯努利往返于巴塞尔、巴黎和格罗宁根之间。 地图：© OpenStreetMap 贡献者 1667–1682 · 巴塞尔1682 · 纳沙泰尔1683–1691 · 巴塞尔1691 · 日内瓦1691–1692 · 巴黎1695–1705 · 格罗宁根1705–1748 · 巴塞尔 约翰·伯努利往返于巴塞尔、巴黎和格罗宁根之间。 不想卖香料的小儿子 约翰是香料商人、巴塞尔市议员尼古劳斯·伯努利的第十个孩子。父亲已经输掉了一场仗：本该当牧师的长子雅各布满脑子都是数学。对小儿子可不能再这样了。15 岁时，约翰被送到纳沙泰尔学法语，学经商。

October 13, 2026 阅读
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雅各布·伯努利的一生

年表 16551 月 6 日生于巴塞尔，一个香料商人家庭。 1671获得哲学硕士学位。遵从父亲的意愿，继续攻读神学。 1676完成神学学业，开始游历。在日内瓦教一位盲人女孩数学。 1681访问英国，结识罗伯特·玻意耳和罗伯特·胡克。撰文讨论 1680 年的大彗星。 1683回到巴塞尔，讲授实验物理，研究复利问题。 1684与朱迪特·斯图帕努斯结婚。开始阅读莱布尼茨关于微积分的论文。 1687成为巴塞尔大学数学教授，一直任职到去世。 1689发表关于无穷级数的第一篇论文，其中讨论了调和级数。 1690解决等时曲线问题，第一次使用 integral（积分）一词。 1694描述双纽线。 1697因最速降线问题与弟弟约翰公开决裂。 17058 月 16 日在巴塞尔去世，《猜度术》尚未完成。 1713侄子尼古劳斯出版《猜度术》。 ◀ 上一站 沿路线走一遍 下一站 ▶ 1655–1676 巴塞尔生于香料商人家庭。遵父命学神学，自己偷偷学数学。 1676 日内瓦担任盲女伊丽莎白·冯·瓦尔德基希的家庭教师，教她读书、写字和一点数学。 1677–1680 法国研究笛卡尔和马勒伯朗士的哲学。 1681 荷兰结识新实验哲学的科学家们。 1681 英格兰结识罗伯特·玻意耳和罗伯特·胡克，写了一本关于 1680 年大彗星的小书。 1683–1705 巴塞尔回到家乡，自学莱布尼茨的微积分，在大学任教直到 1705 年去世。 请启用 JavaScript 以查看地图。各站列在下方。 雅各布·伯努利的游学岁月：从巴塞尔到英格兰，再回到巴塞尔。 地图：© OpenStreetMap 贡献者 1655–1676 · 巴塞尔1676 · 日内瓦1677–1680 · 法国1681 · 荷兰1681 · 英格兰1683–1705 · 巴塞尔 雅各布·伯努利的游学岁月：从巴塞尔到英格兰，再回到巴塞尔。 一个商人家庭 伯努利家族原是安特卫普的新教徒，十六世纪末为躲避西班牙的迫害而出逃，最后落脚在瑞士的巴塞尔，靠经营香料发了家。雅各布的父亲尼古劳斯·伯努利是商人，也是市议会议员。他对儿子们早有安排：长子当牧师，小儿子约翰经商。

October 11, 2026 阅读
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戈特弗里德·威廉·莱布尼茨的一生

年表 16467 月 1 日生于神圣罗马帝国的莱比锡。 166114 岁进入莱比锡大学。 1666出版《论组合术》。莱比锡大学拒绝授予他法学博士学位；次年阿尔特多夫大学授予了他。 1672作为外交使节前往巴黎。开始跟随克里斯蒂安·惠更斯认真学习数学。 1673在伦敦展示他的计算机器，当选皇家学会会员。 1675在 10 月和 11 月的手稿中创造了符号 $\int$ 和 $d$。 1676迁居汉诺威，在那里担任图书馆馆长和顾问长达 40 年。 1684在《学术纪事》上发表第一篇关于微分学的论文。 1700创建柏林科学院并任首任院长。 1703发表关于二进制算术的阐述。 171611 月 14 日在汉诺威去世。 ◀ 上一站 沿路线走一遍 下一站 ▶ 1646–1666 莱比锡在莱比锡出生、求学。大学以他太年轻为由拒绝授予他法学博士学位。 1666–1667 阿尔特多夫在纽伦堡附近几个月就拿到博士学位，并谢绝了提供给他的教授职位。 1668–1672 美因茨进入美因茨选帝侯大主教的宫廷，担任法学家和顾问。 1672–1676 巴黎他带着外交使命来到巴黎，跟惠更斯学习数学。1675 年创造了符号 $\int$ 和 $d$。 1673 伦敦在皇家学会展示他的计算机器，并当选为会员。 1676 海牙在前往汉诺威的途中，拜访哲学家斯宾诺莎。 1676–1716 汉诺威担任公爵的图书馆员和顾问四十年。发表微积分（1684）和二进制算术（1703）。1716 年去世。 1687–1690 罗马为撰写公爵家族史，他花了三年时间走访德意志、奥地利和意大利的档案馆。 1700 柏林创立柏林科学院，并成为首任院长。 请启用 JavaScript 以查看地图。各站列在下方。 外交官、图书馆员和数学家莱布尼茨的旅程。 地图：© OpenStreetMap 贡献者

October 6, 2026 阅读
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艾萨克·牛顿的一生

年表 16431 月 4 日生于英格兰伍尔索普。按当时英国的记录，日期是 1642 年 12 月 25 日。 1661以穷学生身份进入剑桥大学三一学院。 1665–1667大学因瘟疫关闭，他回到家乡。期间发展了级数、流数、颜色理论，并产生了关于引力的最初想法。 166926 岁时接替艾萨克·巴罗，成为卢卡斯数学教授。 1672展示他的反射望远镜，并发表光与颜色的理论。 1687出版《原理》，印刷费用由埃德蒙·哈雷自掏腰包。 1696进入伦敦皇家铸币厂，先任督办，1699 年升任厂长。 1703当选皇家学会会长。 1704出版《光学》。 17273 月 31 日在伦敦去世，安葬于威斯敏斯特教堂。 ◀ 上一站 沿路线走一遍 下一站 ▶ 1643–1661 伍尔斯索普生于一座农庄，是农夫的遗腹子。在附近的格兰瑟姆上学。 1661–1665 剑桥作为靠服侍同学来抵学费的穷学生进入三一学院。 1665–1667 伍尔斯索普大学因瘟疫关闭，他回到家乡，发展了级数、流数、颜色理论和最初的引力思想。 1667–1696 剑桥担任卢卡斯教授，制造反射望远镜，写出《自然哲学的数学原理》（1687）。 1696–1727 伦敦在伦敦塔主管皇家造币厂，并担任皇家学会会长。1727 年去世，葬于威斯敏斯特教堂。 请启用 JavaScript 以查看地图。各站列在下方。 牛顿的三个地方：从伍尔斯索普到剑桥和伦敦。 地图：© OpenStreetMap 贡献者 1643–1661 · 伍尔斯索普1661–1665 · 剑桥1665–1667 · 伍尔斯索普1667–1696 · 剑桥1696–1727 · 伦敦 牛顿的三个地方：从伍尔斯索普到剑桥和伦敦。 生于 1642 年还是 1643 年？ 两个都对。1642 年的英国还在使用儒略历，比当时欧洲大部分地区已采用的格里高利历晚十天。按英国的历法，牛顿生于 1642 年圣诞节；按我们今天的历法，是 1643 年 1 月 4 日。

October 6, 2026 阅读
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光线系统与锥形折射

十九世纪初，光学是一堆个案的集合：平面镜、曲面镜、透镜、棱镜，各有各的公式。还是学生的哈密顿问自己：它们背后难道没有一个统一的想法吗？结果就是《光线系统理论》，1827 年在皇家爱尔兰学院宣读，此后几年又不断扩充。 一个函数统辖所有光线 出发点是费马的一个原理：光从一点到另一点走的是用时最少的路径，更准确地说，是用时取驻定值的路径。哈密顿把这个时间看作端点的函数。对两点 $A$ 和 $B$，令 $V(A, B)$ 为它们之间光路的“光程”：在每种介质中走过的距离乘以该介质的折射率。他把 $V$ 称为特征函数。 令人惊讶的是，这一个函数包含了一切。$V$ 对 $B$ 的坐标求导，给出到达 $B$ 的光线方向；对 $A$ 的坐标求导，给出离开 $A$ 的光线方向。知道了 $V$，就知道了整个系统。 例如，在折射率为 $n$ 的均匀介质中，光沿直线传播， $$V(A, B) = n\,\lvert AB \rvert = n\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}.$$对 $x_B$ 和 $y_B$ 求导， $$\frac{\partial V}{\partial x_B} = n\,\frac{x_B - x_A}{\lvert AB \rvert}, \qquad \frac{\partial V}{\partial y_B} = n\,\frac{y_B - y_A}{\lvert AB \rvert},$$这就是光线方向上的单位向量乘以 $n$。特征函数的梯度指向光的方向。 从时间得出斯涅尔定律 一条光线从空气中的 $A$ 出发，到达水中的 $B$，在距离为 $x$ 的一点穿过水面。所用时间正比于

October 27, 2026 阅读
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悬链线：悬挂的链子

Ut pendet continuum flexile, sic stabit contiguum rigidum inversum.（柔软的线怎样悬垂，刚硬的拱倒过来就怎样站立。） — 罗伯特·胡克，1705 年破解的字谜 拿一根细链子的两端，让它自然下垂。它会形成一条漂亮的曲线，看上去像抛物线。1638 年，伽利略认为它确实是抛物线，至少近似如此。荷兰人克里斯蒂安·惠更斯 17 岁时就证明了它不可能是。但它到底是什么曲线，没有人知道。 1690 年 5 月，雅各布·伯努利在《学者学报》上把这个问题作为挑战提给读者。他自己试了一年，没有成功。1691 年 6 月发表了三份正确的解答：莱布尼茨的、时年 62 岁的惠更斯的，以及雅各布最小的弟弟、24 岁的约翰的。约翰从不让人忘记这件事： 我哥哥的努力没有成功。至于我，我更幸运一些，因为我找到了完整解决它的本领——我说这话并非自夸，何必隐瞒真相呢？诚然，这番钻研让我整整一夜不得安歇。 — 约翰·伯努利致皮埃尔·雷蒙·德·蒙莫尔的信（1718） 看链子的一段 诀窍是不看整条链子，而只看其中一段。把原点放在最低点，$y$ 轴朝上，考虑从最低点到右边某点 $P$ 的那一段。 这一段静止不动，所以作用在它上面的力是平衡的。共有三个力： 在最低点，链子以水平力 $H$ 向左拉； 在 $P$ 点，链子沿切线方向以力 $T$ 拉； 这一段的重量 $w\,s$，其中 $w$ 是每米的重量，$s$ 是这一段的长度。 水平方向上，$T$ 的水平分量与 $H$ 平衡；竖直方向上，$T$ 的竖直分量与重量平衡。由于 $T$ 沿切线方向，两个分量之比就是斜率 $y'$： $$y'=\frac{\text{竖直}}{\text{水平}}=\frac{w\,s}{H}=\frac sa,\qquad a=\frac Hw.$$数 $a$ 具有长度的量纲，衡量链子被拉得有多紧。 链子的方程 现在对 $x$ 求导。由毕达哥拉斯定理应用于曲线的一小段，长度的增长率是 $\frac{ds}{dx}=\sqrt{1+y'^2}$。于是 $$y''=\frac1a\sqrt{1+y'^2}.$$令 $u=y'$，分离变量： $$\frac{du}{\sqrt{1+u^2}}=\frac{dx}{a}.$$左边的积分是 $\operatorname{arsinh}u$，即 双曲正弦 $\sinh z=\frac{e^z-e^{-z}}2$ 的反函数。由于最低点的斜率为零，$u(0)=0$，所以

October 13, 2026 阅读
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永不停止的利息与数 e

想象一家慷慨的银行，年利率 100%。你一月存入 1 元，到十二月就有 2 元。现在银行换个方式：不在年底一次付 100%，而是每半年付 50%，上半年的利息在下半年也能生息。这样划算吗？如果每月付、每天付、每秒付呢？能变得无限富有吗？ 这正是雅各布·伯努利在 1683 年前后问自己的问题，他在 1690 年把它发表在《学者学报》上。它看上去像记账，答案却是数学中最重要的数之一。 算一算 如果把一年分成 $n$ 个相等的时段，每个时段付 $\frac{100\%}{n}$，也就是余额乘以 $1+\frac1n$。经过 $n$ 个时段后，1 元变成 $$a_n=\left(1+\frac1n\right)^n.$$分两个时段，$a_2=1.5^2=2.25$，比 2 多。时段越多，结果越好： 付息方式 $n$ 年末余额 一次 1 2.000000 每半年 2 2.250000 每季度 4 2.441406 每月 12 2.613035 每天 365 2.714567 每小时 8 760 2.718127 余额在增长，但增长得越来越少。从按月付息改成按天付息，只多出大约一角钱；从按天改成按小时，还不到半分钱。余额似乎在逼近 $2.718$ 附近的一个上限。 为什么有上限 伯努利还没有今天意义上的"极限"一词，但他有 牛顿二项式。展开 $a_n$： $$a_n=1+n\cdot\frac1n+\frac{n(n-1)}{2}\cdot\frac1{n^2}+\frac{n(n-1)(n-2)}{2\cdot3}\cdot\frac1{n^3}+\cdots$$把每一项整理一下， $$\begin{aligned}a_n={}&1+1+\frac1{2!}\left(1-\frac1n\right)\\&+\frac1{3!}\left(1-\frac1n\right)\left(1-\frac2n\right)+\cdots\end{aligned}$$当 $n$ 增大时发生两件事。括号 $\left(1-\frac kn\right)$ 越来越接近 1，所以每一项都在 变大；同时又出现新的项，而且都是正的。因此 $a_n$ 只增不减。另一方面，每个括号都小于 1，所以 $$a_n<1+1+\frac1{2!}+\frac1{3!}+\frac1{4!}+\cdots$$而这个和很容易控制：因为 $3!=6>4$，$4!=24>8$，一般地 $k!\geq 2^{k-1}$， $$a_n<1+\left(1+\frac12+\frac14+\frac18+\cdots\right)=1+2=3.$$伯努利得出的正是这个结论：余额一直上升，但 始终介于 2 和 3 之间。不管银行把一年分得多细，1 元永远变不成 3 元。一个只增不减又越不过上限的数列，一定会趋近某个值：

October 11, 2026 阅读
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莱布尼茨的记号：描述变化的语言

在符号中可以看到一种有利于发现的优点：当符号简洁地表达出事物的确切本性，仿佛把它描绘出来时，这种优点最大；这时，思考的劳动便奇妙地减少了。 — 莱布尼茨致契恩豪斯的信（1678） 牛顿最先得到了微积分，但决定它怎么写的是莱布尼茨。而写法造成了天壤之别。 字母 d 1675 年 11 月 11 日，莱布尼茨在巴黎写的一份手稿中开始用字母 $d$ 表示一个无穷小的差。$d$ 来自拉丁文 differentia，源于动词 differre，意为“分开”。于是： $dx$ 是 $x$ 的两个非常接近的值之间的微小差； $dy$ 是 $y$ 相应的差； $\dfrac{dy}{dx}$ 是它们的比：$x$ 每变化一点点，$y$ 变化多少。 “微分学”（differential calculus）的名称由此而来：关于差的计算。 用 dx 来计算 莱布尼茨把 $dx$ 和 $dy$ 当作真正的量，只不过是无穷小的量。对于 $y=x^2$，如果 $x$ 变为 $x+dx$，那么 $$dy=(x+dx)^2-x^2=2x\,dx+(dx)^2.$$由于 $(dx)^2$ 比 $dx$ 无穷地小，他把它略去，得到 $dy=2x\,dx$，即 $$\frac{dy}{dx}=2x.$$这与牛顿用流数所做的计算相同，只是写法不同。今天我们用极限来说明“略去 $(dx)^2$”的合理性：有限差之比为 $2x+h$，当 $h\to0$ 时趋于 $2x$。 1684 年的论文 莱布尼茨 1684 年 10 月发表于《博学学报》的《求极大极小的新方法》第一页。这是微分学第一次付印。莱布尼茨 · Wikimedia Commons · 公有领域 1684 年 10 月，莱布尼茨在莱比锡的期刊《学术纪事》上发表了他的法则，标题很长：《一种求极大值与极小值以及切线的新方法，它不受分数或无理量的阻碍，以及一种为此而用的奇妙算法》。这是六页密密麻麻、错印很多的文字，几乎没人看得懂。雅各布·伯努利和约翰·伯努利兄弟看懂了，正是他们把微积分传遍了欧洲。

October 6, 2026 阅读
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《分析讲义》

18 世纪中叶，想学微积分的人会遇到一个难题。牛顿和莱布尼茨的发明才有七十年历史，它的成果散见于科学期刊上的论文、书信，以及用拉丁语、法语和英语写成的书里，记号也各不相同。唯一有名的教科书，洛必达侯爵 1696 年的《无穷小分析》，只讲微分学。没有一本书能带着学生一步一步地从代数走到微分方程。 阿涅西的《分析讲义》就是这样一本书。 两卷四册 全书约一千页，分为四册： 有限量的分析（第一卷，1748）：代数、方程的解法、解析几何、圆锥曲线和其他曲线，以及“方程的作图”，即借助几何图形解方程。箕舌线就出现在这里。 微分学（第二卷，1749）：导数、切线、极大值、极小值与拐点。 积分学：积分、面积、体积、曲线的长度和级数。参见曲线下的面积。 切线的反方法：也就是今天所说的微分方程。 阿涅西并不打算介绍自己的发现。这本书的价值在于它的编排：每个主题都放在它所依赖的内容之后，每种方法都配有许多解出的例题，全部微积分都用莱布尼茨的记号书写，即 $dx$ 和 $\int$，后来证明这是最实用的记号。 玛丽亚·加埃塔纳·阿涅西像，埃内斯塔·莱尼亚尼·比西根据玛丽亚·隆吉的素描所作的雕版画，1812 年。Ernesta Legnani Bisi，据 Maria Longhi · Wikimedia Commons · 公有领域 用直尺和圆规解方程 书中最古老的部分展示了当时一种如今已经消失的习惯：除了用计算解方程，数学家还喜欢作出解，也就是把它画成一条线段。 最简单的例子是方程 $x^2 = ab$，其中 $a$ 和 $b$ 是给定的线段。把 $a$ 和 $b$ 首尾相接放在一条直线上，以整条线段 $a + b$ 为直径画半圆。在 $a$ 与 $b$ 的连接点处作垂线，交半圆于一点。这条垂线的长度 $h$ 就是方程的解：$h^2 = ab$。 为什么？由直径两端和半圆上那一点构成的三角形是直角三角形（它内接于半圆），而直角三角形斜边上的高把斜边分成两段，这两段的乘积等于高的平方。阿涅西还处理了复杂得多的情形，比如用两条圆锥曲线的交点作出三次和四次方程的解。 非凡的反响 1749 年，巴黎科学院的一个委员会审阅了这本书，认为它是这个主题上写得最完整、编排最好的著作。第二卷于 1775 年译成法语，并附有夏尔·博叙的补充。剑桥教授约翰·科尔森的英译本于 1801 年出版。 为什么用意大利语？ 当时，严肃的数学书都用拉丁语或法语写作。阿涅西用意大利语写，是因为这本书正如书名所说，是 ad uso della gioventù italiana，供意大利青年使用的。她本人从小就精通拉丁语。这一选择使这本书成为意大利科学语言史上的里程碑，但在译本出现之前，也限制了它在意大利以外的流传。 练习：几何平均证明在上面的作图中，$h^2 = ab$。 设半圆上的点为 $C$，垂足为 $D$。圆心在直径的中点，半径为 $r = \frac{a + b}{2}$。$D$ 到圆心的距离是 $\left|\frac{a+b}{2} - a\right| = \frac{|b - a|}{2}$。在由圆心、$D$ 和 $C$ 构成的三角形中用勾股定理： $$h^2 = r^2 - \left(\frac{b-a}{2}\right)^2 = \frac{(a+b)^2 - (b-a)^2}{4} = \frac{4ab}{4} = ab.$$ 线段 $h = \sqrt{ab}$ 是 $a$ 和 $b$ 的几何平均。

October 28, 2026 阅读
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洛必达法则：卖给侯爵的课

我承认，我从伯努利两位先生的见识中获益良多，尤其是那位年轻的、现任格罗宁根教授的先生。我毫不客气地采用了他们的发现，以及莱布尼茨先生的发现。 — 洛必达侯爵，《无穷小分析》序言（1696） 1691 年，纪尧姆·德·洛必达侯爵 30 岁，有爵位，有城堡，还有一份热情：弄懂莱布尼茨的微积分。这门学问刚刚发表，在法国几乎没有人读得懂。当比几乎所有人都更懂微积分的瑞士青年约翰·伯努利来到巴黎时，侯爵聘他做了私人教师。 约翰回到瑞士后，课程通过书信继续。1694 年 3 月 17 日，洛必达给他写信，提出了一个不寻常的提议：每年 300 里弗尔的年金，条件是约翰回答他的问题，把自己的发现寄给他，并且不告诉任何其他人。约翰新婚不久，又没有职位，就答应了。 《用于理解曲线的无穷小分析》扉页（巴黎，1696），第一本微分学教科书。Wikimedia Commons · 公有领域 两年后，《用于理解曲线的无穷小分析》在巴黎出版，封面上没有作者姓名，但人人都知道是洛必达写的。这是历史上 第一本微分学教科书，条理清晰，在欧洲用作微积分教材将近一个世纪。第 9 章里有一条计算 $\frac00$ 型极限的法则。 问题：零除以零 我们常常想知道，当 $x$ 趋近某点 $a$，而 分子和分母 都趋于零时，分式 $\frac{f(x)}{g(x)}$ 趋于什么。例如 $$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}.$$代入 $x=0$ 得到 $\frac00$，这没有意义。分式可能趋于任何值，也可能不趋于任何值。必须比较两个函数趋于零的 快慢。 约翰的想法 在 $a$ 附近，可导函数很像它的切线： $$f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a),\qquad g(x)\approx g(a)+g'(a)(x-a).$$如果 $f(a)=g(a)=0$，剩下的是 $$\frac{f(x)}{g(x)}\approx\frac{f'(a)(x-a)}{g'(a)(x-a)}=\frac{f'(a)}{g'(a)}.$$造成 $\frac00$ 的因子 $(x-a)$ 约掉了。法则说：如果 $f(a)=g(a)=0$，且右边的极限存在，则 $$\boxed{\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}.}$$对正弦：$\lim\frac{\sin x}{x}=\lim\frac{\cos x}{1}=1$。如果新的商仍是 $\frac00$，就再用一次法则： $$\lim_{x\to0}\frac{e^x-1-x}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{2x}=\lim_{x\to0}\frac{e^x}{2}=\frac12.$$严格的证明要用到十九世纪的柯西中值定理。约翰用的是无穷小推理：在 $a$ 附近"几乎为零"的 $f$ 和 $g$ 各是一个无穷小，两个无穷小之比就是它们的微分之比 $\frac{df}{dg}$。

October 13, 2026 阅读
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调和级数与一份求助

正如无穷级数被有限的和所包含，在无界之中可以辨认出界限，无垠的灵魂也栖居于微小之中，而在最狭窄的界限里并无界限。 — 雅各布·伯努利，《无穷级数论》（1689） 1689 年到 1704 年间，雅各布·伯努利在巴塞尔发表了五篇关于 无穷级数 的论文，也就是有无穷多项的和。这是一个新颖而危险的题目。有些这样的和会得到一个数，例如 $$1+\frac12+\frac14+\frac18+\cdots=2.$$另一些则不停地增长。难就难在判断每个和属于哪一类，因为常识会骗人。 调和级数 考虑正整数倒数之和： $$1+\frac12+\frac13+\frac14+\frac15+\cdots$$音乐家称它为 调和 级数，因为 $\frac12,\frac13,\frac14,\dots$ 正是产生一个音的各个泛音的弦长。各项越来越小，趋于零。直觉告诉我们，这个和应该停在某处。可是它增长得太慢，让人看不出端倪： 项数 近似和 10 2.93 1 000 7.49 1 000 000 14.39 $10^{43}$ 100.0 要超过 $10^{43}$ 项才能达到 100。即便如此，雅各布证明了这个和会超过 任何 数。 雅各布的证明 他把级数分成以平方数结尾的若干段。取一个数 $a$，以及从 $\frac1a$ 到 $\frac1{a^2}$ 的各项。把 $\frac1a$ 放在一边，剩下 $a^2-a$ 项，每一项都至少是其中最小的 $\frac1{a^2}$。于是 $$\frac1a+\left(\frac1{a+1}+\cdots+\frac1{a^2}\right)\geq\frac1a+\frac{a^2-a}{a^2}=\frac1a+1-\frac1a=1.$$每一段都至少等于 1。接下来只要把它们一段段接起来：从 $\frac12$ 到 $\frac14$，从 $\frac15$ 到 $\frac1{25}$，从 $\frac1{26}$ 到 $\frac1{676}$，依此类推： $$1+\underbrace{\frac12+\frac13+\frac14}_{\geq1}+\underbrace{\frac15+\cdots+\frac1{25}}_{\geq1}+\underbrace{\frac1{26}+\cdots+\frac1{676}}_{\geq1}+\cdots$$段数无穷多，每段至少为 1，所以和会超过任何数。它 发散。 雅各布承认弟弟约翰比他更早找到了另一种证明，并把它发表在同一篇论文里。兄弟俩都不知道，法国人尼古拉·奥雷斯姆早在 1350 年前后就做过同样的事，他把各项分成 1、2、4、8……项一组。 请启用 JavaScript 以使用这个交互图形。完整的推理见正文。

October 11, 2026 阅读
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极大值与极小值：面积最大的矩形

你有 24 米长的篱笆，想围出一块面积尽可能大的矩形地。该怎么选边长？又长又窄的矩形浪费篱笆；正方形似乎更好。但怎样证明呢？ 费马大约在 1636 年发明了一种解决这类问题的方法，比牛顿早三十多年，比莱布尼茨发表微积分早将近五十年。 费马的问题 费马的第一个例子正是这个：把长为 $b$ 的线段分成两部分 $x$ 和 $b-x$，使乘积 $x(b-x)$ 尽可能大。这就是我们的地块：24 米篱笆，相邻两边之和为 $12$，面积为 $$A(x)=x(12-x)=12x-x^2,\qquad0

October 7, 2026 阅读