Hero Image
乘积法则：一次计算中的两种变化

如果你知道 $u$ 如何变化、$v$ 如何变化，那么乘积 $uv$ 如何变化？最自然的猜测是把变化相乘：$d(uv)=du\cdot dv$。看起来多么对称、多么优雅…… 莱布尼茨也做过同样的猜测。 莱布尼茨的检验与失误 在 1675 年 11 月 11 日那份开始使用字母 $d$ 的手稿中，莱布尼茨问自己：$d(xy)$ 是否等于 $dx\,dy$，$d\!\left(\frac xy\right)$ 是否等于 $\dfrac{dx}{dy}$？他没有轻信优雅，而是用一个例子检验了一下，发现并不成立。几天后，他找到了正确的法则。 这是重要的一课：即使是微积分的发明者也会犯错，而拯救他们的是验算。 你自己也试试。取 $u=x$、$v=x$，乘积是 $x^2$，导数是 $2x$。但导数之积是 $1\cdot1=1$。对不上。 变大的矩形 把 $u$ 和 $v$ 想象成一个矩形的两条边，$uv$ 是它的面积。现在把两条边都稍微增加一点：$u$ 变成 $u+du$，$v$ 变成 $v+dv$。 新面积是 $(u+du)(v+dv)$。它增加了多少？ $$d(uv)=(u+du)(v+dv)-uv=v\,du+u\,dv+du\,dv.$$从几何上看，矩形多出了三块：一条面积为 $v\,du$ 的长条，另一条面积为 $u\,dv$ 的长条，以及角上一个面积为 $du\,dv$ 的小方块。 小方块是两个无穷小量的乘积，因此比长条无穷地小。莱布尼茨把它略去，得到 $$d(uv)=u\,dv+v\,du.$$而猜测的 $du\,dv$，恰恰是无关紧要的那一块。 用极限的写法 今天我们写 $p(x)=f(x)\,g(x)$，并把增量除以 $h\ne0$： $$\frac{\Delta p}{h}=g\,\frac{\Delta f}{h}+f\,\frac{\Delta g}{h}+\frac{\Delta f}{h}\,\Delta g.$$当 $h\to0$ 时，前两项分别趋于 $gf'$ 和 $fg'$。最后一项趋于零，因为 $\dfrac{\Delta f}{h}$ 趋于一个固定的数 $f'$，而 $\Delta g$ 趋于零。因此

October 6, 2026 阅读
Hero Image
流数：如何度量瞬时变化

一辆汽车从一座城市出发，一小时后到达 90 公里外的另一座城市。平均速度是 90 公里/小时。但每一瞬间，速度表上的读数都不一样。它到底在测量什么？速度是距离除以时间，可在一个瞬间里，既没有走过距离，也没有经过时间。零除以零给不出答案。 这正是牛顿在 1665 年想要回答的问题。他的答案就是流数法。 流动的量 牛顿把每个变化的量想象成随时间流动的东西，就像河里的水。流动的量，他称为流量（fluent）；它流动的速率，称为流数（fluxion）。为了标记流数，他在字母上方加一个小点。在 1704 年出版的《曲线求积论》中，他写道： 设 $x$、$y$、$z$ 为流量，它们的流数分别记作 $\dot x$、$\dot y$、$\dot z$。 — 艾萨克·牛顿，《曲线求积论》（1704） 如果 $x$ 是位置，$\dot x$ 就是速度。换句话说，速度是从空间中“流”出来的。两个点 $\ddot x$ 表示流数的流数：加速度。 牛顿的算法 为了弄清 $y=x^2$ 如何变化，牛顿让一个极小的时间间隔流过，他把它记作 $o$。在这段时间里，$x$ 变成 $x+\dot x\,o$，$y$ 变成 $y+\dot y\,o$。由于关系 $y=x^2$ 仍然成立： $$y+\dot y\,o=(x+\dot x\,o)^2=x^2+2x\dot x\,o+\dot x^2o^2.$$两边减去 $y=x^2$，再除以 $o$： $$\dot y=2x\dot x+\dot x^2\,o.$$接下来是大胆的一步：既然 $o$ 是“无穷小”，牛顿就把最后一项丢掉了。剩下 $\dot y=2x\dot x$，也就是说，$y$ 的变化速度是 $x$ 的 $2x$ 倍。 消逝量的幽灵 先除以 $o$，再假装 $o$ 等于零，这一步让很多人不安。1734 年，爱尔兰主教乔治·贝克莱出版了《分析学家》，对微积分发起攻击。他问：这些时而存在、时而消失的量，难道不是“消逝量的幽灵”吗？这一批评是中肯的。答案直到 19 世纪才出现，那就是柯西和魏尔斯特拉斯的极限定义。 同样的计算，今天的写法 借助极限，我们可以不靠“幽灵”重新论证。在 $x$ 与 $x+h$ 之间（$h\neq0$），割线的斜率是

October 6, 2026 阅读
Hero Image
极大值、极小值与拐点

《分析讲义》第二册讲微分学，它的主要应用之一就是每个学生都要学的：求极大值和极小值。阿涅西用几十个关于曲线和几何问题的例子讲授这种方法，步骤总是一样：写出所求的量，求微分，令微分等于零，再加以检验。 最高点 在极大值点或极小值点，曲线在那一瞬间是水平的：切线的斜率为零。由于切线的斜率就是导数，极大值和极小值的候选点就是 $y' = 0$ 的点。 对 $a = 1$ 的阿涅西曲线，$y = \frac{1}{1 + x^2} = (1 + x^2)^{-1}$。由链式法则， $$y' = -(1 + x^2)^{-2} \cdot 2x = -\frac{2x}{(1 + x^2)^2}.$$导数只在 $x = 0$ 处为零。$x < 0$ 时导数为正（曲线上升），$x > 0$ 时为负（曲线下降）。所以 $x = 0$ 是极大值点，$y = 1$。 曲线在哪里改变弯曲方向 在顶部附近，箕舌线向下弯，像一个盖子。远离顶部、接近横轴的地方，它向上弯，像一只碗。弯曲方向改变的点叫作拐点。阿涅西和当时的数学家一样，用二阶微分来找拐点：在 $y''$ 改变符号的地方，弯曲方向改变。 用商的求导法则对 $y'$ 求导： $$\begin{aligned} y'' &= \frac{-2(1 + x^2)^2 + 2x \cdot 2(1 + x^2) \cdot 2x}{(1 + x^2)^4} \\ &= \frac{-2(1 + x^2) + 8x^2}{(1 + x^2)^3} = \frac{6x^2 - 2}{(1 + x^2)^3}. \end{aligned}$$分母总是正的，所以符号由 $6x^2 - 2$ 决定，它在下面的点处为零：

October 29, 2026 阅读
Hero Image
最速降线：1696 年的挑战

给定竖直平面上的两点 A 和 B，求一条曲线 AMB，使运动物体 M 仅凭自身重量下降，沿此曲线从 A 到 B 所用时间最短。 — 约翰·伯努利，《学者学报》（1696 年 6 月） 1696 年 6 月，约翰·伯努利在《学者学报》上向"全世界最敏锐的数学家"发起挑战。这个问题听起来像游乐场里的事：两点之间最快的滑梯是什么形状？问题的名字来自希腊语：brachistos，最短；chronos，时间。最速降线，即用时最短的曲线。 约翰给了六个月的期限，并宣布自己已经有了答案。这是对所有人的挑战，但有两个目标：一个是正与他公开交战的哥哥雅各布，另一个是被莱布尼茨的朋友们指控抄袭微积分的艾萨克·牛顿。 答案不是直线 直线是 最短 的路径，但不是 最快 的。一个无摩擦下滑的小球在下落中不断加速。所以先陡峭地往下冲、尽早获得速度是划算的，即使路程因此变长。另一方面，冲得太猛又会让路程过长。最好的路径是一种折中，而找到它，就是在无穷多条可能的曲线中找出一整条曲线。 让 $x$ 轴水平，$y$ 轴 朝下，起点为 $A=(0,0)$。由能量守恒，下落高度 $y$ 后的速度是 $$\frac12mv^2=mgy\quad\Longrightarrow\quad v=\sqrt{2gy}.$$它只取决于高度，与路径无关。 约翰的想法：小球是一束光 约翰有一个绝妙的主意。费马已经证明，光从一种介质进入另一种介质时，走的是 用时最短的路径，由此得出斯涅尔折射定律： $$\frac{\sin\alpha_1}{v_1}=\frac{\sin\alpha_2}{v_2},$$其中 $\alpha$ 是光线与竖直方向的夹角，$v$ 是光在各介质中的速度。光也想尽快到达！ 于是约翰设想把 $A$ 与 $B$ 之间的空间切成极薄的水平层，像一层层玻璃板，每层有一个速度 $v=\sqrt{2gy}$，越往下越大。穿过这些层的光线每经过一层就弯折一次。层无限薄时，光线就成了一条光滑曲线，斯涅尔定律在每一点都成立： $$\frac{\sin\alpha}{v}=\text{常数}.$$这就是曲线的方程。由于 $\alpha$ 是切线与竖直方向的夹角，$\sin\alpha=\dfrac{1}{\sqrt{1+y'^2}}$。代入 $v=\sqrt{2gy}$ 并平方， $$\boxed{\ y\left(1+y'^2\right)=2a\ }$$其中 $a>0$ 为常数。 答案：摆线 约翰认出了这个方程：它是 摆线 的方程。摆线是轮子沿直线滚动时，轮缘上一点画出的曲线，这里是倒过来的。半径为 $a$ 的轮子转过角 $\theta$ 时， $$x=a(\theta-\sin\theta),\qquad y=a(1-\cos\theta).$$我们来验证。两导数相除，$y'=\dfrac{\sin\theta}{1-\cos\theta}=\cot\dfrac\theta2$，又因为 $1-\cos\theta=2\sin^2\dfrac\theta2$，

October 13, 2026 阅读
Hero Image
奇妙的螺线与双纽线

有了莱布尼茨的微积分，伯努利兄弟开始四处"猎取"曲线。对每一条曲线，他们都要问：切线是什么，长度是多少，面积是多少，曲率是多少？其中许多曲线从古希腊起就为人所知，但直到这时，这些问题才能用一条普遍的规则来回答。有两条曲线从此永远带上了雅各布的名字。 形状不变的螺线 笛卡儿和托里拆利已经研究过 对数 螺线。在极坐标中，每个点由它到中心的距离 $r$ 和角度 $\theta$ 确定，这条螺线是 $$r=a\,e^{b\theta}.$$每转一整圈，角度增加 $2\pi$，半径总是乘以同一个因子 $e^{2\pi b}$。所以各圈之间不是等距的：每一圈都按同样的比例比前一圈大。 由此得出让雅各布着迷的性质：把螺线 旋转 一个角度 $\alpha$，效果与把它 放大 $e^{b\alpha}$ 倍相同。如果把这条螺线的照片放大，得到的还是同一条螺线，只是转了一下。它在任何尺度下都与自身相同。 左边是雅各布要求刻在墓碑上的对数螺线：每一圈都比前一圈宽。右边是石匠刻下的阿基米德螺线：各圈间距相等。Euler’s Eyes 绘图 不变的角 在螺线上的一点，从中心出发的半径与曲线的切线成一个角 $\psi$。当角 $\theta$ 增加一点点 $d\theta$ 时，这个点在垂直于半径的方向上移动 $r\,d\theta$，沿半径方向移动 $dr$。所以 $$\tan\psi=\frac{r\,d\theta}{dr}=\frac{r}{dr/d\theta}=\frac{r}{b\,r}=\frac1b.$$$r$ 被约掉了：这个角在 所有 点上都一样。所以这条曲线也叫 等角螺线。一只昆虫如果始终与灯保持固定的角度飞行，就像人们说飞蛾对月亮那样，它就会画出这样一条螺线，最后撞到灯上。 雅各布还发现了更多。由螺线各点曲率中心构成的曲线，是另一条与原来相同的对数螺线。从中心发出、经螺线反射的光线，又形成一条相同的螺线。无论从哪里看，这条曲线都会以同样的样子重生。他称之为 spira mirabilis，奇妙的螺线。 鹦鹉螺壳的剖面。每转一圈，腔室几乎按同样的比例增大，形状接近对数螺线。Florian Elias Rieser · Wikimedia Commons · CC BY-SA 4.0 大自然出于同样的原因偏爱这条曲线。像鹦鹉螺这样一层层生长而形状不变的动物，会长出对数螺线形的壳。许多星系的旋臂和飓风的云带也呈现类似的形状。 Eadem mutata resurgo 雅各布把这条螺线看作复活的象征：身体会变，人却复生如故。所以他要求把它刻在墓碑上，配上座右铭 Eadem mutata resurgo，“虽经变化，我复生如故”。石匠刻成了阿基米德螺线，而它没有这个性质：放大后各圈间距变大，曲线就变了。这块刻错的墓碑至今还在巴塞尔大教堂。 双纽线：横躺的 8 字 1694 年，雅各布在《学者学报》的一篇文章里提出了一条新曲线。取两个定点，即 焦点 $F_1=(-c,0)$ 和 $F_2=(c,0)$。椭圆上的点到两焦点距离之 和 为常数。雅各布把和换成了 积：

October 11, 2026 阅读
Hero Image
积分号 ∫：从求和到累积

1675 年 10 月 29 日，莱布尼茨在巴黎研究一个面积问题。在此之前，他沿用意大利人卡瓦列里的做法，写 omn.（拉丁文 omnia“全部”的缩写）来表示一个图形中所有线段之和。写到页面中间时，他写道： 用 ∫ 代替 omn. 会很有用。 — 莱布尼茨，1675 年 10 月 29 日手稿 符号 $\int$ 是一个拉长的 S，取自 summa，即“和”。在当时的手写中，长 s 是一个普通字母。从那以后，这个符号再也没有被取代。 把薄片加起来 莱布尼茨的想法是把一个区域切成极细的竖直薄片。每片几乎是一个高为 $y$、宽为 $dx$ 的矩形，面积为 $y\,dx$。总面积就是所有薄片之和： $$\int y\,dx.$$这个符号一下子说明了一切：把高（$y$）乘以微小的宽（$dx$）全部加起来（$\int$）。求和的上下限写在上方和下方：$\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ 就是从 $x=a$ 到 $x=b$ 所有薄片之和。 请启用 JavaScript 以使用这个交互图形。完整的推理见正文。 谁起了“积分”这个名字？ 莱布尼茨把他的发明称为 calculus summatorius，即“求和的计算”。积分（integral）一词出现在雅各布·伯努利 1690 年的一篇论文中。莱布尼茨和约翰·伯努利讨论过该用哪个名字，最后同意用“积分”，但符号仍然是莱布尼茨的 S。 把差加起来，得到总量 还记得传记中惠更斯给莱布尼茨出的那道题吗？在那里，一串差之和几乎全部抵消： $$(F_1-F_0)+(F_2-F_1)+(F_3-F_2)+\cdots+(F_n-F_{n-1})=F_n-F_0.$$把一个量的所有微小变化加起来，剩下的只有总变化：终值减初值。莱布尼茨意识到，对于无穷小的差，情况也一样。如果 $dF=f(x)\,dx$，那么 $$\int_a^b f(x)\,dx=\int_a^b dF=F(b)-F(a).$$换句话说，$\int$ 和 $d$ 互相抵消，就像加法和减法。这就是微积分基本定理，以最简短的方式写了出来。牛顿则沿着流数的道路得到了同样的结论。 例子：抛物线下的面积 求 $y=x^2$ 在 $0$ 与 $3$ 之间的面积，我们要找满足 $dF=x^2\,dx$ 的 $F$。由于 $d\!\left(\frac{x^3}{3}\right)=x^2\,dx$：

October 6, 2026 阅读
Hero Image
面积与积分：流数的逆运算

测量曲边图形的面积是数学中最古老的问题之一。大约公元前 250 年，阿基米德证明了抛物线弓形的面积是其内接三角形面积的 $\frac43$。这是天才之举，但它是“量身定做”的：每遇到一条新曲线，就需要一个新想法。 到了 17 世纪，费马、卡瓦列里、沃利斯等人已经能对许多 $n$ 值计算 $y=x^n$ 下的面积。所缺的是一条普遍法则；所缺的，还有牛顿和莱布尼茨各自领悟到的一点：求面积与求变化率是互逆运算。 面积是一个会增长的量 设想曲线 $y=f(x)$ 下方从 $0$ 到某点 $x$ 的面积，记作 $A(x)$。把右边界从 $x$ 推到 $x+h$，面积就多出一条细窄的条带。 这条带几乎是一个高为 $f(x)$、宽为 $h$ 的矩形。所以 $$A(x+h)-A(x)\approx f(x)\cdot h\qquad\Longrightarrow\qquad\frac{A(x+h)-A(x)}{h}\approx f(x).$$条带越细，近似越好。取极限： $$A'(x)=f(x).$$用牛顿的语言说：面积的流数就是曲线的高度。面积增长的速度恰好由高度给出。要求面积，只需找到一个流数为 $f$ 的函数，也就是反方向走一遍。 严格地说，我们把条带夹在两个矩形之间：一个取 $f$ 在该区间上的最小高度，另一个取最大高度。若 $f$ 连续，当 $h\to0$ 时这两个高度都趋于 $f(x)$，条带便被夹在中间。 《分析》中的法则 1669 年，牛顿写了一篇名为《分析》（De analysi）的短论。其中第一条法则用今天的记号来说就是：$y=ax^{m/n}$ 下方从 $0$ 到 $x$ 的面积为 $$\frac{an}{m+n}\,x^{(m+n)/n}.$$看起来复杂，其实就是你熟悉的法则：$x^k$ 下方的面积是 $\dfrac{x^{k+1}}{k+1}$。例如，$y=x^2$ 在 $0$ 与 $2$ 之间： $$\int_0^2 x^2\,dx=\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2=\frac{8}{3}.$$阿基米德需要一整套证明才能得到这个数，有了这条法则，只要一行。 作为面积的对数 把这条法则与广义二项式结合起来，牛顿算出了别人不会算的面积。双曲线 $y=\dfrac{1}{1+x}$ 可以化为幂的和： $$\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+\cdots$$接下来只需逐项求每个幂下的面积： $$\int_0^x\frac{dt}{1+t}=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots$$这块面积就是自然对数 $\ln(1+x)$。取 $x=0.1$，四项给出 $0.0953083$，正确值是 $0.0953102$。

October 6, 2026 阅读
Hero Image
指数演算：求 x 的 x 次幂的导数

莱布尼茨的微积分会对指数固定的幂求导，比如 $x^3$ 或 $x^{1/2}$：$x^n$ 的导数是 $nx^{n-1}$。但在 1694 年给莱布尼茨的一封信里，约翰·伯努利摆出了一个怪东西：表达式 $$y=x^x,$$其中底数 和 指数同时变化。$x^n$ 的法则用不上，因为指数不固定；$a^x$ 的法则也用不上，因为底数不固定。1697 年，约翰在《学者学报》上发表了"指数演算原理"，给出了处理这类幂的方法。他把它们称为 游动的（percurrent），因为指数在各个值之间游动。 对数的诀窍 思路是把幂变成我们会求导的乘积。设 $x>0$，两边取自然对数： $$\ln y=x\ln x.$$现在两边对 $x$ 求导。左边由链式法则得到 $\dfrac{y'}y$。右边由乘积法则得到 $1\cdot\ln x+x\cdot\dfrac1x=\ln x+1$。于是 $\dfrac{y'}{y}=\ln x+1$， $$\boxed{\frac{d}{dx}\,x^x=x^x\,(\ln x+1).}$$这种对函数的对数而不是函数本身求导的技巧，后来被称为 对数求导法。它对任何 $f>0$ 的 $y=f(x)^{g(x)}$ 都适用： $$\ln y=g\ln f\quad\Longrightarrow\quad y'=f^{\,g}\left(g'\ln f+g\,\frac{f'}f\right).$$括号里的两项分别记录了两种变化：指数的变化 $g'\ln f$，和底数的变化 $g\frac{f'}f$。如果底数固定，只剩第一项，回到 $\frac{d}{dx}a^x=a^x\ln a$；如果指数固定，只剩第二项，回到 $nx^{n-1}$。 x 的 x 次幂在哪里最小 由于 $x^x$ 总是正的，导数的符号就是 $\ln x+1$ 的符号。当 $x<\frac1e$ 时为负，当 $x>\frac1e$ 时为正。函数一直下降到 $x=\frac1e\approx0.368$，然后上升。最小值是 $$\left(\frac1e\right)^{1/e}=e^{-1/e}\approx0.692.$$也就是说：在所有正数中，没有哪个数的自身次幂小于 $0.692$。例如 $0.5^{0.5}=\sqrt{0.5}\approx0.707$，$0.3^{0.3}\approx0.697$，都略高一点。 在零附近呢？ 当 $x$ 趋近零时，$x^x$ 会怎样？底数趋于零，往下拉；指数趋于零，往 1 拉。谁赢？写成 $x^x=e^{x\ln x}$，用 洛必达法则 计算指数：

October 13, 2026 阅读
Hero Image
猜度术：计算机会

猜度一件事，就是度量它的概率。因此我们把猜度术，或称随机术，定义为尽可能准确地度量事物概率的技艺，使我们在判断和行动中，总能选择或遵循在我们看来更好、更令人满意、更稳妥或更审慎的做法。 — 雅各布·伯努利，《猜度术》（1713），第四部分 1654 年，帕斯卡和费马 通信讨论一局中断的赌博该如何分配赌注。1657 年，荷兰人克里斯蒂安·惠更斯出版了一本十五页的小册子，讲掷骰子游戏中的计算。这些都是客厅里的问题：骰子、纸牌、赌注。 雅各布·伯努利想要的远不止这些。在他看来，概率是对 确定程度 的度量，是一个介于 0（不可能）和 1（必然）之间的数，可以用来在法庭上衡量证词、预测一个人还能活多久、评估一份保险，或者判断一种药是否有效。他花了二十年写一本书来说明如何做到。他把它称为 Ars conjectandi，《猜度术》。 《猜度术》的扉页，1713 年在巴塞尔出版，距雅各布去世已有八年。Wikimedia Commons · 公有领域 四部分的书 《猜度术》分为四部分。第一部分重印了惠更斯的书，雅各布写的评注比原文还长。第二部分是一门完整的 组合学 课程：排列、组合，以及其中如今以雅各布命名的 幂和。第三部分把这些应用到几十种游戏上。第四部分没有完成，讨论概率在公民、道德和经济生活中的应用，黄金定理 就在这里。 伯努利试验 书中最简单的想法，成了统计学中用得最多的想法之一。设想一个只有两种可能结果的试验：硬币是不是正面，病人是否痊愈，零件是不是次品。其中一种结果叫 成功，概率为 $p$；另一种叫 失败，概率为 $q=1-p$。这个词只是一个标签：在工厂里，被计数的"成功"可能是发现一个次品。 如今这样的试验叫作 伯努利试验。雅各布的问题是：在相同条件下把试验重复 $n$ 次，且各次结果互不影响，恰好得到 $k$ 次成功的概率是多少？ 一步步推出公式 先看一个小例子。掷一颗骰子 3 次，“成功"是掷出 6，$p=\frac16$。恰好掷出两个 6 的机会是多少？ 一种可能的序列是 6、6、其他。它的概率是每次投掷机会的乘积： $$\frac16\cdot\frac16\cdot\frac56=\frac5{216}.$$但还有其他含两个 6 的顺序：6、其他、6 和 其他、6、6。每一种的概率都是 $\frac5{216}$，因为同样的因子只是换了顺序。共有 3 种顺序，所以 $$P(\text{两个 6})=3\cdot\frac5{216}=\frac{15}{216}\approx6.9\%.$$顺序的个数，就是选出 哪几次 投掷成功的方法数：从 3 次中选 2 次，即 $\binom32=3$。一般地，每个含 $k$ 次成功、$n-k$ 次失败的序列概率为 $p^kq^{n-k}$，这样的序列有 $\binom nk$ 个。加起来：

October 11, 2026 阅读
Hero Image
切线的反问题

微分学回答的问题是：已知一条曲线，它在每一点的切线是什么？17 世纪的数学家很快意识到，反过来的问题更难也更有用：已知切线必须具有的某种性质，曲线是什么？这个问题被称为切线的反方法，它是《分析讲义》第四册，也就是最后一册的主题。今天我们把它叫作解微分方程。 1638 年的一个问题 这类问题中最早的一个，是法国律师、业余数学家弗洛里蒙·德博纳在 1638 年向勒内·笛卡儿提出的。笛卡儿没能完全解出来。直到 1684 年，莱布尼茨发表了第一篇关于微积分的论文，证明所求的曲线涉及对数，问题才得到解决。这证明了新方法能解决旧几何力所不及的问题。 次切线为常数 当时的教科书里常见的一个经典例子用到了次切线。在曲线上的点 $(x, y)$ 处作切线，直到它与 $x$ 轴相交。次切线就是这个交点与纵坐标垂足之间的水平距离。切线在这段距离上升高了 $y$，所以斜率为 $y' = \frac{y}{s}$，即 $$s = \frac{y}{y'}.$$哪条曲线的次切线在每一点都相等，等于常数 $k$？条件是 $y' = \frac{y}{k}$。分离变量，也就是把依赖于 $y$ 的都放到一边，依赖于 $x$ 的放到另一边： $$\frac{dy}{y} = \frac{dx}{k} \quad\Longrightarrow\quad \ln y = \frac{x}{k} + C \quad\Longrightarrow\quad y = A\,e^{x/k}.$$次切线为常数的曲线是指数曲线，当时称为“对数曲线”。 箕舌线也是一个解 阿涅西曲线本身就是一个微分方程的解。取 $a = 1$，$y = \frac{1}{1 + x^2}$，其导数为 $$y' = -\frac{2x}{(1 + x^2)^2} = -2x \cdot \left(\frac{1}{1 + x^2}\right)^2 = -2x\,y^2.$$也就是说，箕舌线是这样一条曲线：每一点切线的斜率等于 $-2x$ 乘以高度的平方。在下面的练习里，我们走反方向：从这个性质出发，重新得到这条曲线。 微分方程的论著 1749 年《分析讲义》第二卷出版时，微分方程是数学中最活跃的课题。欧拉、达朗贝尔和丹尼尔·伯努利用它们研究振动的弦、流体和行星，并把结果发表在冗长艰深的论文里。阿涅西的第四册是最早为学生整理解法的著作之一，书中的问题由浅入深、循序渐进。

October 29, 2026 阅读
Hero Image
虚功原理

在任意力的任何平衡中，无论这些力以何种方式施加，正能量之和都等于负能量之和。 — 约翰·伯努利致皮埃尔·瓦里尼翁的信（1717 年 1 月 26 日） 从阿基米德起，每一种简单机械都有自己的一套解释。杠杆遵循力臂定律；斜面遵循斯蒂文发明的力的分解；滑轮靠关于绳子的推理；螺旋又是另一回事。1717 年，约翰·伯努利在给法国朋友皮埃尔·瓦里尼翁的信中证明，这些定律全都是 同一个原理 的特例。 想法：只动一点点 设想一台处于平衡的静止机械。现在设想你在思想中让它移动一段极小的距离，同时遵守它的约束：杠杆绕支点转动，绳子不伸长，木块不离开斜面。这种想象中的位移叫作 虚位移，因为它并不真的发生。 在每个受力 $F_i$ 的点上，该点沿力的方向移动了一点点 $\delta s_i$。乘积 $F_i\,\delta s_i$ 就是这个力的 虚功。约翰称之为 能量，这是这个词第一次以接近今天的含义出现。原理说： $$\boxed{\ \text{平衡时，}\quad\sum_i F_i\,\delta s_i=0\ \text{ 对一切虚位移成立。}\ }$$帮助运动的力所做的功，等于阻碍运动的力所做的功。静止的机械不能无中生有地产生功。 阿基米德的杠杆 一根杠杆上，重物 $P_1$ 和 $P_2$ 分别距支点 $a$ 和 $b$。让杠杆转过一个极小的角 $\delta\theta$。$P_1$ 一侧下降 $a\,\delta\theta$，$P_2$ 一侧上升 $b\,\delta\theta$。下降的重物做正功，上升的做负功： $$P_1\,a\,\delta\theta-P_2\,b\,\delta\theta=0\quad\Longrightarrow\quad P_1\,a=P_2\,b.$$这就是阿基米德定律，不需要任何相似三角形的图形：$\delta\theta$ 直接约掉了。 滑轮 在一组滑轮中，重物 $W$ 由 $n$ 段绳子吊着，一个人用力 $F$ 拉绳子的自由端。如果重物上升 $\delta h$，$n$ 段绳子每段都缩短 $\delta h$，这些绳子全都从自由端出来，自由端移动 $n\,\delta h$。所以 $$F\cdot n\,\delta h-W\,\delta h=0\quad\Longrightarrow\quad F=\frac Wn.$$用四段绳子，只需 25 千克的力就能提起 100 千克。但要在距离上付出代价：重物上升 1 米，就得拉动 4 米绳子。

October 13, 2026 阅读
Hero Image
黄金定理：大数定律

即使是最愚笨的人，也凭着某种天性，无需任何指点就自己相信：观察的次数越多，偏离目标的危险就越小。 — 雅各布·伯努利，《猜度术》（1713），第四部分 对一颗骰子，我们事先就知道每一面的机会：$\frac16$。可是，一个 40 岁的男人再活二十年的机会是多少？明天下雨的机会呢？一种药有效的机会呢？这些情形里没有相同的面可以数。雅各布提出了另一条路：多次观察，用频率来估计概率。如果在许多 40 岁的男人中，有一半活到了 60 岁，那么这个机会应该接近一半。 正如上面的引文所说，人人都已经这样想了。雅各布的问题更深一层：这能 证明 吗？随着观察次数增加，频率真的会接近概率吗，还是误差可能一直很大？要达到实际上的确定，需要多少次观察？他花了二十年才回答这个问题，并且对结果非常自豪，称之为 黄金定理。 罐子 雅各布用一个看不见内部的罐子来表述这个问题：罐中有 3 000 颗白石子和 2 000 颗黑石子。不能往里看的人想知道白石子所占的比例，也就是 $\frac35$。为此，他取出一颗石子，记下颜色，放回去，再重复。 $n$ 次抽取中有 $S_n$ 次白色，观察到的频率就是 $\frac{S_n}n$。精确的问题是：需要抽多少次，才能 道德上确定，也就是以至少 $\frac{1000}{1001}$ 的机会保证频率落在 $\frac{29}{50}$ 与 $\frac{31}{50}$ 之间，即与 $\frac35$ 相差不到 $\frac1{50}$？ 定理说了什么 雅各布的回答有两部分。第一部分是定性的：对任何误差范围 $\varepsilon$，不论多小，当 $n$ 增大时，频率偏离 $p$ 超过 $\varepsilon$ 的机会趋于零。用今天的语言写， $$\boxed{\lim_{n\to\infty}P\left(\left|\frac{S_n}n-p\right|>\varepsilon\right)=0.}$$这是 大数定律 的第一个版本，这个名称是泊松在 1837 年起的。第二部分是数值的：雅各布算出，对这个罐子，25 550 次抽取 就足以达到道德上的确定。 模拟的抛硬币。起初正面所占比例波动很大；抛了几千次后，它接近 1/2。横轴采用对数刻度。Euler’s Eyes 绘图 用今天的工具证明 雅各布的证明用了好几章篇幅，讨论二项式各项之间的不等式。今天，同样的想法用几行就能写完，用到的是俄国人切比雪夫在 1867 年发表的一个不等式。 每次抽取，白石子记为 $1$，黑石子记为 $0$。每次抽取的均值是 $p$，它的 方差，即围绕均值波动的程度，是 $p(1-p)$。把 $n$ 次独立抽取相加再除以 $n$，均值仍是 $p$，方差却除以了 $n$：

October 11, 2026 阅读