基本定理：当 d 与 ∫ 相互抵消
在微积分之前，切线和面积是两个毫不相干的问题。求一条曲线的切线是一门技艺；求它下方的面积是另一门。十七世纪的伟大发现——属于艾萨克·巴罗、牛顿和莱布尼茨——是一个是另一个的逆。这就是微积分基本定理，而莱布尼茨的记号把它写得几乎理所当然。
莱布尼茨：如同和与差 莱布尼茨把 $\int$ 看作和，把 $d$ 看作差。把差加起来，就抵消了差，就像楼梯：台阶高度之和就是总高度。他写道，$\int$ 和 $d$ 互为逆运算，“就像普通计算中的乘方与开方”。用符号写：
$$d\!\int y\,dx=y\,dx,\qquad\int dy=y.$$$d$ 和 $\int$ 像 $+3$ 和 $-3$ 一样“相互抵消”。这是最强意义上的能动记号：微积分中最重要的定理，表现为一条化简规则。
现代写法中的两半 今天，这个定理分两部分来写。
第一部分：对面积求导。 如果 $A(x)=\displaystyle\int_a^x f(t)\,dt$ 是从 $a$ 到 $x$ 累积的面积，那么
$$\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt=f(x).$$面积增长的速率，就是曲线在当前位置的高度。注意积分里面的字母是 $t$，不是 $x$：$x$ 已经被上限占用了。写成 $\int_a^x f(x)\,dx$，就会犯第3章讲过的变量捕获错误。
第二部分：对导数积分。 如果 $F'=f$，那么
$$\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)=\Big[F(x)\Big]_a^b.$$带上下限的括号是一种过渡记号：在还要代入数字的时候，先把 $F$ 留住。有了它，上一篇中需要无穷多个矩形的面积，一行就算出来了：
$$\int_0^2x^2\,dx=\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2=\frac83-0=\frac83.$$记号隐藏了什么 $d$ 与 $\int$ 的抵消并不完美。在不定积分中，
$$\int\frac{dF}{dx}\,dx=F(x)+C,$$出现了一个抵消规则没有预告的常数 $C$。求导会抹去常数；积分不知道该还回哪个常数。忘了写 $+C$ 是微积分课上最常见的错误，而它的根源是符号学的：记号暗示了一个完美的逆，实际上却只有一个相差常数的逆。
辞去教席的巴罗
牛顿在剑桥的老师艾萨克·巴罗，1670 年发表了基本定理的一个几何版本，只有图形，没有任何代数记号。定理就在那里，却深藏在几何里，几乎没有人注意到它的重要性。此前不久的 1669 年，巴罗把教席让给了牛顿。同一个想法，用 $d$ 和 $\int$ 写出来，成了一门理论的核心；用图形写出来，只是众多命题中的一个。 练习：对变上限的面积求导计算 $\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_0^{x^2}\cos t\,dt$。
令 $A(u)=\int_0^u\cos t\,dt$，$A'(u)=\cos u$。表达式是 $A(x^2)$，由链式法则，它的导数是 $A'(x^2)\cdot2x=2x\cos(x^2)$。用第二部分验证：$\int_0^{x^2}\cos t\,dt=\sin(x^2)$，其导数为 $2x\cos(x^2)$。
