直角三角形中的三角比
让我们证明将直角三角形的边的测量值与角的测量值联系起来的三个属性。它们将我们迄今为止研究的循环三角学与一切开始的三角形三角学联系起来。
故事 据说，米利都传说（公元前六世纪）通过将埃及大金字塔的影子与棍子的影子进行比较来测量埃及大金字塔的高度：在同一时刻，太阳与两个物体形成相同的角度，并且两者的高度和影子之间的比例相同。这正是本章的思想——一旦角度固定，直角三角形两条边之间的比率就固定了——尽管对于泰勒斯来说，这些比率仍然没有名称或表格。这个故事是由后来的作家写给我们的，比如第欧根尼·拉尔修斯和普鲁塔克。
米利都的泰勒斯是谁？
传说（约公元前 624–546 BC）生活在米利都，这是一座位于今土耳其海岸的富裕希腊城市，希腊人将他视为七贤之一。他被认为是第一个尝试在不求助诸神的情况下解释自然的人——对他来说，一切都来自于水——并且是第一个展示几何性质而不是仅仅使用它们的人。历史学家希罗多德说，他在公元前 585 预言了一次日食，中断了吕底亚人和米底人之间的战斗。两件轶事展示了他名气的两个方面。柏拉图说，泰勒斯在夜里散步看星星时掉进了井里，一个奴隶嘲笑他只想知道天上有什么，却看不到脚下有什么。亚里士多德说，泰勒斯指责哲学毫无用处，他通过天文学预测橄榄会大丰收，并提前租用了该地区所有的橄榄压榨机并致富——只是为了证明哲学家可以随时赚钱。 泰勒斯和大金字塔：在同一时刻，金字塔和一根棍子的高度和阴影的比例是相同的。改变太阳的高度：阴影改变，计算的高度不变。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa.
**书中的直角三角形。**在巴格达影子碑和现代碑之间，带有它们名字的直角三角形被绘制并重新绘制：
c. 850Habash al-Hasib（艾哈迈德·伊本·阿卜杜拉）在他的天文学手稿中使用阴影和半弦。 1220比萨的列奥纳多（斐波那契）在实践几何中，将弦和三角形应用于土地的测量。 1551Rheticus，在正则三角学说中，通过直角三角形的边定义了六个函数。 1558Francesco Maurolico 编辑了墨涅拉俄斯的球面，包括球面桌子和三角形。 1620Edmund Gunter，在卡农三角中，介绍了余正弦和余切线。 来源： 故事 (MacTutor) · 第欧根尼·拉尔修斯 (Diogenes Laertius)，杰出哲学家的传记，I.27 · 亚里士多德，政治，I.11。
在日常生活中 **用手机测量建筑物的高度。**测角仪应用程序可测量与顶部的角度。在距离建筑物 30 米处，对于 $40^\circ$，眼睛上方的高度为 $30\operatorname{tg} 40^\circ \approx 25{,}2$ 米。 飞机着陆。 最终下降发生在距跑道约 $3^\circ$: 10 公里处，飞机高度为 $10\,000\operatorname{tg} 3^\circ \approx 524$ 米。 **土地坡度。**测量员和工程师根据坡度的切线（以百分比表示）对土地进行分类，以确定可以建造的位置。 用手机测量建筑物的高度：距离、角度和切线。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa.
